說明：本試卷分為a卷和b卷：a卷由本試卷的2２題組成，即10道選擇題，7道填空題、3道解答題和2道附加題；b卷由本試卷的前20題組成，即10道選擇題，7道填空題和3道解答題。
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一、選擇題（本大題共有10小題，每題只有乙個正確答案，將正確答案的序號填入題幹後的括號裡，多選、不選、錯選均不得分，每題5分，共50分）
1. 已知，則可化簡為（ d ）
a． b. c. d.
解答：因為，所以=
。正確答案為d。
2．如果複數的模為4，則實數a的值為（ c ）
a. 2 b. c. d.
解答：由題意得。正確答案為c。
3. 設a ，b為兩個互不相同的集合，命題p：， 命題q：或，則p是q的（ b ）
a. 充分且必要條件 b. 充分非必要條件
c. 必要非充分條件 d. 非充分且非必要條件
解答：p是q的充分非必要條件。正確答案為b。
4. 過橢圓的右焦點作傾斜角為弦ab，則為（ c ）
a. b. c. d.
解答：橢圓的右焦點為（1，0），則弦ab為代入橢圓方程得
。正確答案為c。
5. 函式，則該函式為（ a ）www .
a. 單調增加函式、奇函式 b. 單調遞減函式、偶函式
c. 單調增加函式、偶函式 d. 單調遞減函式、奇函式www .
解答：由單調性和奇偶性定義知道函式為單調增加的奇函式。正確答案為a。
6. 設有一立體的三檢視如下，則該立體體積為（ a ）
正檢視側檢視俯檢視（圓和正方形）
a. 4+ b. 4+ c. 4+ d. 4+
解答：該幾何體是乙個圓柱與乙個長方體的組成，其中重疊了一部分（），所以該幾何體的體積為。正確答案為a。
7．某程式框圖如右圖所示，現將輸出（值依
次記為：若程式執行中
輸出的乙個陣列是則陣列中的（ b ）
a．64 b．32 c．16 d．8
答案經計算。正確答案為 b。
8. 在平面區域上恒有，則動點所形成平面區域的面積為（ a ）
a. 4 b.8 c. 16 d. 32
解答：平面區域的四個邊界點（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）滿足，即有
由此計算動點所形成平面區域的面積為4。正確答案為 a。
9. 已知函式在上有兩個零點，則m的取值範圍為（ c ）
a. b c. d.
解答：問題等價於函式與直線在上有兩個交點，所以m的取值範圍為。正確答案為c。
10. 已知，則的解為（ c ）
a.或 b.或 c.或 d.
解答：不等式的左端看成的一次函式，
由或。正確答案為c。
二、填空題（本大題共有7小題，將正確答案填入題幹後的橫線上，每空7分，共49分）
11. 函式的最小正週期為______4____。
解答：最小正週期為4。
12. 已知等差數列前15項的和=30，則=____6_______.
解答：由，而。
13. 向量，，，則的取值範圍為 [1，3] 。
解答：其最大值為3，最小值為1，取值範圍為[1，3]。
14. 直三稜柱，底面是正三角形，p，e分別為，上的動點（含端點），d為bc邊上的中點，且。則直線的夾角為__。
解答：因為平面abc⊥平面，ad⊥bc，所以ad⊥平面，所以
ad⊥pe，又pe⊥pd，pe⊥平面apd，所以pe⊥pd。即夾角為。
15．設為實數，則_____4________。
解答：16. 馬路上有編號為1，2，3，…，2011的2011只路燈，為節約用電要求關閉其中的300隻燈，但不能同時關閉相鄰兩隻，也不能關閉兩端的路燈，則滿足條件的關燈方法共有種。（用組合數符號表示）
解答：問題等價於在1711只路燈中插入300只暗燈，所以共有種關燈方法。
17. 設為整數，且，則_3或57_。
解答：將代入得到
，因為都是整數，所以
前兩個方程組無解；後兩個方程組解得。所以3或57。
三、解答題（本大題共 3 小題，每小題 17 分，共計 51 分）
18. 設，求在上的最大值和最小值。
解答：當
當5分由此可知10分
當；當；
當17分
19. 給定兩個數列，滿足，，。證明對於任意的自然數n，都存在自然數，使得。
解答：由已知得到：
為等比數列，首項為2，公比為2，
所以5分
又由已知，
由所以取即可17分
20. 已知橢圓，過其左焦點作一條直線交橢圓於a，b兩點，d為右側一點，連ad、bd分別交橢圓左準線於m,n。若以mn為直徑的圓恰好過，求 a的值。
解答： 。
設，由得
10分設。由m、a、d共線。
又，得=整理得 。
17分四、附加題（本大題共2 小題，每小題25 分，共計 50 分）
21. 在銳角三角形abc中，，設在其內部同時滿足和的點p的全體形成的區域g的面積為三角形abc面積的。證明三角形abc為等邊三角形。
解答：做的外接圓o，做則g為四邊形aeof。又
所以10分
，等號成立當且僅當a、o、m共線，即為等邊三角形。
25分22. 設，且。求證：
，並指明等號成立的條件。
證明：由柯西不等式得到
1）10分
（1）式右邊的分子=
=20分
等號成立條件是。結論成立25分
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