姓名得分
一、選擇題
1．如果的三個內角的余弦值分別等於的三個內角的正弦值，則（ ）
a．和都是銳角三角形
b．和都是鈍角三角形
c．是鈍角三角形，是銳角三角形
d．是銳角三角形，是鈍角三角形
2．過原點的直線交雙曲線於p、q兩點，其中p點在第二象限，現將上、下兩個半平面沿軸折成直二面角，此時，點p的位置落到點上，則線段的最短長度是abcd. 4
3．設四稜錐p－abcd的底面不是平行四邊形，用平面α去截此四稜錐，使得截面四邊形是平行四邊形，則這樣的平面
a．不存在 b．只有1個 c．恰有4個 d．有無數多個
4．已知s 是由n(n≥3)個正整數組成的集合。若s中存在三個不同的元素可構成三角形的三邊，則稱s為「三角數集」，設有連續正整數組成的集合,它的所有10元子集都是三角數集，則m的最大值可能是（ ）
a．1003 b. 503 c. 253 d. 103
5．若對任意的長方體a，都存在乙個與a等高的長方體b，使得b與a的側面積之比和體積之比都等於λ，則λ的取值範圍是( )
(a) λ>0 (b)0<λ≤1 (c) λ>l (d) λ≥l
二、填空題
6．已知函式滿足：對於實數的某些值，可以找到相應正數，使得的定義域與值域相同，那麼符合條件的實數的個數是
7．對於一切實數，不等式恆成立，則的取值範圍是
8．將等差數列：an=4n-1中所有能被3或5整除的數刪去後，剩下的數自小到大排成乙個數列，則的值為
9．在雙曲線﹣=1的一支上不同三點，a、b(,6)、c與焦點f(0，5)的距離成等差數列，則線段ac的垂直平分線l經過的定點為
10．數列稱為等差比數列，當且僅當此數列滿足a0=0，構成公比為
q的等比數列．q稱為此等差比數列的差比．那麼，由100以內的自然數構成等差比數列
而差比大於1時，項數最多有項．
11．已知在三稜錐s-abc中，sc⊥cb，sa⊥ab，cb⊥ab，並且sa、sc與△abc所在平面所成的角相等．若ac=6，s到平面abc的距離為4，則異面直線ac與sb之間
的距離為
12．設圓：，直線，點，使得存在點，使(為座標原點),則的取值範圍是
二、解答題
1．整數列u0，u1，u2，u3，…滿足u0=l，且對於每個正整數n，有un+1un-1=kun,這裡k是某個固定的正整數．如果u2000=2000，求k的所有可能的值．
2．、、、四點都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點．已知與共線，與共線，且．求四邊形的面積的最小值和最大值．
3．設集合a是由定義在上且滿足如下條件的函式組成的集合：
①對任意，都有；
②存在常數，使得對任意的，
都有試解答下列問題：
(ⅰ)設，證明：
(ⅱ)設,如果存在,使得,那麼這樣的是唯一的;
(ⅲ)設,任取,令證明：給定正整數k,對任意的正整數p,成立不等式
2007高中數學競賽訓練題10.12
姓名得分
1．已知函式滿足：對於實數的某些值，可以找到相應正數，使得的定義域與值域相同，那麼符合條件的實數的個數是（ ）
a．1個 b． 2個 c． 3個d．不存在
時， (b＞0) 的定義域與值域都是
當時，的定義域是≥0的解集，即為，但由於它的值域不含負數，故必＜0，
此時值域為
所以，所以有兩個值0和－4。
2．如果的三個內角的余弦值分別等於的三個內角的正弦值，則（ ）
a．和都是銳角三角形 b．和都是鈍角三角形
c．是鈍角三角形，是銳角三角形
d．是銳角三角形，是鈍角三角形
解：的三個內角的余弦值均大於0，則是銳角三角形，若是銳角三角形，由，得，那麼，，所以是鈍角三角形。故選d。
3．過原點的直線交雙曲線於p、q兩點，其中p點在第二象限，現將
上、下兩個半平面沿軸折成直二面角，此時，點p的位置落到點上，則線段的最短長度是abcd. 4
d 解：設直線方程為.由
得， 過作⊥於，連，則⊥，得△為直角三角形.
∴ ,,,
∴ 當，（取負數）時，，這時直線方程為。
4．設四稜錐p－abcd的底面不是平行四邊形，用平面α去截此四稜錐，使得截面四邊形是平行四邊形，則這樣的平面
a．不存在 b．只有1個 c．恰有4個 d．有無數多個
解設四稜錐的兩組不相鄰的側面的交線為m，n，直線m、n確定了平面β，作與β平行的平面α與四稜錐側稜相截，則截得的四邊形是平行四邊形．這樣的平面α有無數多個．故選d．
5．已知s 是由n(n≥3)個正整數組成的集合。若s中存在三個不同的元素可構成三角形的三邊，則稱s為「三角數集」，設有連續正整數組成的集合,它的所有10元子集都是三角數集，則m的最大值可能是（ ）
a．1003 b. 503 c. 253 d. 103
6．若對任意的長方體a，都存在乙個與a等高的長方體b，使得b與a的側面積之比和體積之比都等於λ，則λ的取值範圍是( )
(a) λ>0 (b)0<λ≤1 (c) λ>l (d) λ≥l
解設長方體a的底面長、寬分別為a1,a2，長方體b的的底面長、寬分別為b1,b2，由題設可得，即，，所以b1,b2是關於x的一元二次方程的兩個根，故△
所以，又因為，所以λ≥l
故選（d）
二、填空題
7．對於一切實數，不等式恆成立，則的取值範圍是
解：分離引數，由函式值域構建不等式求解．
原不等式，易求
對一切實數恒有，的最小值為0．要使不等式恆成立，只需，解之得所求的取值範圍為（）．
8．將等差數列：an=4n-1中所有能被3或5整除的數刪去後，剩下的數自小到大排成乙個數列，則的值為
解：由於an+15- an=60，故若an是3或5的倍數，當且僅當an+15是3或5的倍數。
現將數軸正向分成一系列長為60的區間段：
（0，＋∞）＝(0，60]∪(60,120] ∪(120，180] ∪…，注意第乙個區間段中含有的項15個，即3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51，55，59．其中屬於的項8個，為：b1=7,b2=11,b3=19,b4=23,b5=31,b6=43，b7=47，b8=59，
於是每個區間段中恰有15個的項，8個的項，且有b8k+r- br=60k,k∈n, 1≤r≤8．
由於2006＝8×250＋6，而b6=43，所以．
9．在雙曲線﹣=1的一支上不同三點，a、b(,6)、c與焦點f(0，5)的距離成等差數列，則線段ac的垂直平分線l經過的定點為
證明：設a(x1,y1)、c(x2,y2)，ac的中點m(x0,y0)，∵a、b、c與焦點f(0，5)的距離成等差數列，由焦半徑公式，得 (ey1﹣a)+(ey2﹣a)=2(e×6﹣a)，解得 y1+y2=12,∴y0==6.
又13y12﹣12x12=156，13y22﹣12x22=156， 13(y1﹣y2)(y1+y2)﹣12(x1﹣x2)(x1＋x2)=0，
∴kac====x0,則ab垂直平分線l的斜率為k=﹣,
∴l的方程為：y﹣6=﹣(x﹣x0)，即y=﹣x+.故直線l必過定點(0，).
10．數列稱為等差比數列，當且僅當此數列滿足a0=0，構成公比為
q的等比數列．q稱為此等差比數列的差比．那麼，由100以內的自然數構成等差比數列
而差比大於1時，項數最多有項．
11．已知在三稜錐s-abc中，sc⊥cb，sa⊥ab，cb⊥ab，並且sa、sc與△abc所在平面所成的角相等．若ac=6，s到平面abc的距離為4，則異面直線ac與sb之間
的距離為
解如圖，過點s作sd⊥平面abc，垂足為d．聯結ad、cd、bd，記ac交bd於點d．由於sc⊥cb，根據三垂線定理得cd⊥bc．同理，ab⊥ad．又由cb⊥ab，得四邊形abcd為矩形．由sa、sc與△abc所在平面所成的角相等，得ad=cd．故四邊形abcd為正方形．
過點o作oe⊥sb，垂足為e．由於sd⊥ac，ac⊥bd，得ac⊥平面sbd．
於是，ac⊥oe．從而，oe為ac與sb的公垂線．
過點d作df⊥sb，垂足為f．則有
所以，異面直線ac與sb之間的距離為
12．設圓：，直線，點，使得存在點，使(為座標原點),則的取值範圍是
13．二、解答題
1．整數列u0，u1，u2，u3，…滿足u0=l，且對於每個正整數n，有un+1un-1=kun,
這裡k是某個固定的正整數．如果u2000=2000，求k的所有可能的值．
【解】 記u1=u,由題設
如果u=0，那麼u1=0，u2=0．
若ut-1=0，則有kut= ut+1ut-1，
從而ut=0．故對任意正整數n，un=0．
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2019年3月18日高中數學作業 1 已知集合，則等於 2 已知條件，條件直線與直線平行，則是的 3 命題 的否定是 4 函式f x 3x x 2的零點所在的乙個區間是 a 2，1 b 1,0c 0,1 d 1,2 5 已知曲線在點處的切線的傾斜角為，則的值為 a 1 b c d 6 若，則a，b，...
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