數學歸納法常見錯誤剖析
初學數學歸納法常出現下面的錯誤，剖析如下：
1、不用假設致誤
例1用數學歸納法證明：1。
錯證：①當時，左邊＝1，右邊＝＝1，
所以等式成立。
②假設當時等式成立。
即。那麼當時，
，也就是說當時，等式成立。
由①②知：對任何等式都成立。
剖析：用數學歸納法證明第②步驟時，在從「」到「的過程中，必須把的命題作為已給定的條件，要在這個條件基礎上去匯出時的命題所以在推導過程中。故必須把時的命題用上，本解法錯因是對假設設而不用。
正解：①當時，左邊＝1，右邊＝＝1，
所以等式成立。
②假設當時等式成立。
即。那麼當時，
＝。即當時，等式成立。
由①②知：對任何等式都成立。
2、盲目套用數學歸納法中的兩個步驟致誤
例2當為正奇數時，能否被8整除？若能用數學歸納法證明。若不能請舉出反例。
證明：⑴當n=1時，7＋1＝8能被8整除。命題成立。
⑵假設當n=k時命題成立。即能被8整除。
則當n=k+1時，不能8整除.
由（1）（2）知n為正奇數。7不能被8整除
分析：錯因;機械套用數學歸納法中的兩個步驟，而忽略了n是整奇數的條件。
證明前要看準已知條件。
正解（2）n=k時命題成立，即7能被8整除。
當n=k+2時，
＝49（7
因7能被8整除。且48能被8整除。所以能被8整除。
所以當 n=k+2時命題成立
由⑴⑵知當為正奇數時，7能被8整除。
三沒有搞清從k 到k+1的跨度
例3：求證：
錯證：（1）當 ＝1時，不等式成立。
（2） 假設n=k時命題成立，即
則當n=k+1時，
就是說當n=k+1時不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。
點評：上述證明中，從k 到k+1的跨度，只加了一項是錯誤的，分母是相臨的自然數，故應是，跨度是三項。
正確證法：（1）當＝1時，左邊＝，不等式成立。 （2）假設n=k時命題成立，即，
則當n=k+1時，
＝（）＋＋
>1＋=1＋。
這就是說，當時，不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。
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