構建函式模型求解實際問題
河南陳長松
函式的實際應用是中學數學的乙個重要內容，與函式有關的應用題，經常涉及利潤，路程，產值，環保，造價，增長率等實際問題．解答這類問題的關鍵是弄清概念，構建相關的數學模型，將實際問題轉化成數學問題來處理．本文就構建函式模型求解實際問題例說如下：
１．構建一次函式模型解決實際問題
例１ 某廠在甲、乙兩地的兩個分廠生產某種機器12臺和6臺，現銷售給ａ地10臺，ｂ地８臺，已知從甲地調運一台到ａ地、ｂ地的費用分別是400元和800元，從乙地調運一台至ａ地、ｂ地的費用分別是300元和500元．
（1） 設從乙地要調運台至ａ地，求總費用關於的函式關係式；
（2） 求若使總費用不超過9000元，問共有幾種調運方案？
（3） 求出總費用最低的調運方案及最低的費用．
解：（１）因從乙地調運台到ａ地，那麼需從甲地調運（10－）台至ａ地；由題意，從乙地調往ｂ地為（6－）臺，則從甲地調往ｂ地應為［12－（10－）］臺，即（2＋）臺．從而有
＝300＋500（6－）＋400（10－）＋800（2＋）
＝200（＋43） （0≤≤6，且）
（２）當0≤≤2時，≤9000，故共有3種調運方案，總費用不超過9000元．
（３）在（１）中，當＝0時，費用最低，調運方案是：乙地6臺全部調往ｂ地，甲地調2台至ｂ地，10臺運往ａ地，使總費用最低為＝8600元．
２．構建二次函式模型解決實際問題
例２ 某商人如果將進貨單價為8元的商品按每件10元售出時，每天可銷售100件，現在它採用提高銷售價，減少進貨量的辦法增加利潤．已知這種商品每漲１元，其銷售數就減少10個．問他將售出價定為多少，才能使賺得利潤最大？
分析：利潤＝銷售總額－進貨總額
解：設每件提價元（≥０），利潤為元．每天銷售額為（10＋）（100－10）元，進貨總額為8（100－10）．顯然，100－10＞０，＜10．
＝（10＋）（100－10）－8（100－10）（０≤＜10）
＝（2＋）（100－10）＝－10＋360
當＝4時，＝360元．
故當售出價為每件14元時，每天所賺得的利潤最大為360元．
說明：畫出函式＝－10＋360 （0≤＜10）的圖形，從圖象可以看出，當提價超過4元時，利潤下降，當利潤下降時商人就要考慮經營的方法，不應只考慮提價，而要降價，薄利多銷．
３．構建分段函式模型解決實際問題
例３．「依法納稅是每個公民應盡的義務」，國家徵收個人工資、薪金所得稅是分段計算的：總收入不超過1000元的，免徵個人工資薪金所得稅；超過1000元的部分需徵稅．設全月納稅所得額（所得額指工資，薪金中應納稅的部分）為，＝全月收入－1000元，稅率見下表：
級數全月納稅所得額稅率
不超過500元部分 ５℅
超過500元至2000元部分 10℅
超過2000元至5000元部分 15℅
超過100000部分 45℅
（１）若應納稅額為，試用分段函式表示１—３級納稅額的計算公式；
（２）某人2023年10月份工資總收入為4200元，試計算這個人10月份應納個人所得稅多少元？
分析：本題是分段累進計算問題．應注意分清段，計算清楚．
（1） 依稅率表得：第一段：·５℅
第二段：（－500）×10℅＋500×5℅
第三段：（－2000）×15℅＋1500×10℅＋500×5℅
即＝（２）這個人10月份個人所得稅為：＝4200－1000＝3200，
＝（3200－2000）＋175＝355（元）
答：這個人10月份應繳納個人所得稅355元．
４．構建指數函式模型解決實際問題
例４ 某城市現有人口總數為100萬人，如果年自然增長率為℅，試解答下面的問題：（1）寫出該城市人口總數（萬人）與年份（年）的函式關係式；
（2）計算大約多少年以後該城市人口將達到120萬人（精確到１年）.
分析：本題屬於人口增長率問題，第（２）小題要取常用對數計算．
解：（１）１年後該城市人口總數為：
＝100＋100×℅＝100（１＋℅）
２年後該城市人口總數為：
＝100（１＋℅）＋100（１＋℅）×℅＝100
３年後該城市人口總數為：
＝100＋100×℅＝100
… …
年後該城市人口總數為：＝100
（2）設年後該城市人口將達到120萬人，即100＝120
∴ ,兩邊取常用對數得：＝（年）
答：大約15年以後該城市人口將達到120萬人.
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