空間幾何體複習指導
一．課標要求：
1．利用實物模型、計算機軟體觀察大量空間圖形，認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特徵，並能運用這些特徵描述現實生活中簡單物體的結構；
2．能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、稜柱等的簡易組合）的三檢視，能識別上述的三檢視所表示的立體模型，會使用材料（如：紙板）製作模型，會用斜二側法畫出它們的直觀圖；
3．通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的檢視與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式；
4．完成實習作業，如畫出某些建築的檢視與直觀圖（在不影響圖形特徵的基礎上，尺寸、線條等不作嚴格要求）；
二．命題走向
近幾年來，立體幾何高考命題形式比較穩定，題目難易適中，解答題常常立足於稜柱、稜錐和正方體位置關係的證明和夾角距離的求解，而選擇題、填空題又經常研究空間幾何體的幾何特徵和體積表面積。因此複習時我們要首先掌握好空間幾何體的空間結構特徵。培養好空間想能力。
**高考對該講的直接考察力度可能不大，但經常出一些創新型題目，具體**如下：
（1）題目多出一些選擇、填空題，經常出一些考察空間想象能力的試題；解答題的考察位置關係、夾角距離的載體使空間幾何體，我們要想像的出其中的點線面間的位置關係；
（2）研究立體幾何問題時要重視多面體的應用，才能發現隱含條件，利用隱蔽條件解題。
三．要點精講
1．柱、錐、臺、球的結構特徵
（1）柱
稜柱：一般的，有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做稜柱；稜柱中兩個互相平行的面叫做稜柱的底面，簡稱為底；其餘各面叫做稜柱的側面；相鄰側面的公共邊叫做稜柱的側稜；側面與底面的公共頂點叫做稜柱的頂點。
底面是三角形、四邊形、五邊形……的稜柱分別叫做三稜柱、四稜柱、五稜柱……
圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其餘邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉軸叫做圓柱的軸；垂直於軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；無論旋轉到什麼位置，不垂直於軸的邊都叫做圓柱側面的母線。
稜柱與圓柱統稱為柱體；
（2）錐
稜錐：一般的有乙個面是多邊形，其餘各面都是有乙個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做稜錐；這個多邊形面叫做稜錐的底面或底；有公共頂點的各個三角形面叫做稜錐的側面；各側面的公共頂點叫做稜錐的頂點；相鄰側面的公共邊叫做稜錐的側稜。
底面是三角錐、四邊錐、五邊錐……的稜柱分別叫做三稜錐、四稜錐、五稜錐……
圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，其餘兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉軸為圓錐的軸；垂直於軸的邊旋轉形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉形成的曲面叫做圓錐的側面。
稜錐與圓錐統稱為錐體。
（3）臺
稜臺：用乙個平行於底面的平面去截稜錐，底面和截面之間的部分叫做稜臺；原稜錐的底面和截面分別叫做稜臺的下底面和上底面；稜臺也有側面、側稜、頂點。
圓台：用乙個平行於底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓台；原圓錐的底面和截面分別叫做圓台的下底面和上底面；圓台也有側面、母線、軸。
圓台和稜臺統稱為台體。
（4）球
以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體叫做球體，簡稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。
（5）組合體
由柱、錐、臺、球等幾何體組成的複雜的幾何體叫組合體。
2．空間幾何體的三檢視
三檢視是觀測者從不同位置觀察同乙個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形。
他具體包括：
（1）正檢視：物體前後方向投影所得到的投影圖；
它能反映物體的高度和長度；
（2）側檢視：物體左右方向投影所得到的投影圖；
它能反映物體的高度和寬度；
（3）俯檢視：物體上下方向投影所得到的投影圖；
它能反映物體的長度和寬度；
3．空間幾何體的直觀圖
（1）斜二測畫法
①建立直角座標系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的ox，oy，建立直角座標系；
②畫出斜座標系，在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應的o』x』,o』y』,使=450（或1350），它們確定的平面表示水平平面；
③畫對應圖形，在已知圖形平行於x軸的線段，在直觀圖中畫成平行於x『軸，且長度保持不變；在已知圖形平行於y軸的線段，在直觀圖中畫成平行於y『軸，且長度變為原來的一半；
④擦去輔助線，圖畫好後，要擦去x軸、y軸及為畫圖新增的輔助線（虛線）。
（2）平行投影與中心投影
平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交於一點。
四．題型解析
題型1：空間幾何體的構造
例1． 平面的斜線 ab 交於點 b，過定點 a 的動直線與 ab 垂直，且交於點 c，則動點c的軌跡是
a．一條直線 b．乙個圓 c．乙個橢圓 d．雙曲線的一支
（2） 如圖，定點a和b都在平面內，定點 c是內異於a和b的動點，且那麼，動點在平面內的軌跡是（ ）
a．一條線段，但要去掉兩個點 b．乙個圓，但要去掉兩個點
c．乙個橢圓，但要去掉兩個點 d．半圓，但要去掉兩個點
（3）正方體abcd_a1b1c1d1的稜長為2，點m是bc的中點，點p是平面abcd內的乙個動點，且滿足pm=2，p到直線a1d1的距離為，則點p的軌跡是[ ]
a.圓b.雙曲線c.兩個點d.直線
解析：（1）設與是其中的兩條任意的直線，則這兩條直線確定乙個平面，且斜線垂直這個平面，由過平面外一點有且只有乙個平面與已知直線垂直可知過定點與垂直所有直線都在這個平面內，故動點c都在這個平面與平面的交線上，故選a。
（2）答案為b。
（3）解析： 點p到a1d1的距離為，則點p到ad的距離為1，滿足此條件的p的軌跡是到直線ad的距離為1的兩條平行直線，
又，滿足此條件的p的軌跡是以m為圓心，半徑為2的圓，這兩種軌跡只有兩個交點.
故點p的軌跡是兩個點。選項為c。
點評：該題考察空間內平面軌跡的形成過程，考察了空間想象能力。
例2． 兩相同的正四稜錐組成如圖1所示的幾何體，可放稜長為1的正方體內，使正四稜錐的底面abcd與正方體的某乙個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．無窮多個
解析：由於兩個正四稜錐相同，所以所求幾何體的中心在正四稜錐底面正方形abcd中心，有對稱性知正四稜錐的高為正方體稜長的一半，影響幾何體體積的只能是正四稜錐底面正方形abcd的面積，問題轉化為邊長為1的正方形的內接正方形有多少種，所以選d。
點評：本題主要考查空間想象能力，以及正四稜錐的體積。正方體是大家熟悉的幾何體，它的一些內接或外接圖形需要一定的空間想象能力，要學會將空間問題向平面問題轉化。
題型2：空間幾何體的定義
例3． 如果四稜錐的四條側稜都相等，就稱它為「等腰四稜錐」，四條側稜稱為它的腰，以下4個命題中，假命題是（ ）
ａ．等腰四稜錐的腰與底面所成的角都相等
ｂ．等腰四稜錐的側面與底面所成的二面角都相等或互補
ｃ．等腰四稜錐的底面四邊形必存在外接圓
ｄ．等腰四稜錐的各頂點必在同一球面上
解析：因為「等腰四稜錐」的四條側稜都相等，所以它的頂點在底面的射影到底面的四個頂點的距離相等，故a，c正確，且在它的高上必能找到一點到各個頂點的距離相等，故d正確，b不正確，如底面是乙個等腰梯形時結論就不成立。故選b
點評：抓住本質的東西來進行判斷，對於資訊要進行加工再利用。
例4． 設命題甲：「直四稜柱abcd－a1b1c1d1中，平面acb1與對角面bb1d1d垂直」；命題乙：「直四稜柱abcd－a1b1c1d1是正方體」.那麼，甲是乙的（ ）
a.充分必要條件
b.充分非必要條件
c.必要非充分條件
d.既非充分又非必要條件c
解析：若命題甲成立，命題乙不一定成立，如底面為菱形時。若命題乙成立，命題甲一定成立。答案為c。
點評：對於空間幾何體的定義要有深刻的認識，掌握它們並能判斷它們的性質。
題型3：空間幾何體中的想象能力
例5． 圖表示乙個正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段ab、cd、ef和gh在原正方體中相互異面的有對.
解析：相互異面的線段有ab與cd，ef與gh，ab與gh3對.
點評：解決此類題目的關鍵是將平面圖形恢復成空間圖形，較強的考察了空間想象能力。
例6． 如圖，在正三角形abc中，d，e，f分別為各邊的中點，g，h，i，j分別為af，ad，be，de的中點.將△abc沿de，ef，df折成三稜錐以後，gh與ij所成角的度數為（ ）
a．90° b．60°
c．45° d．0°
天津尚赫保健用品**** 嵄吀夻
答案：b
解析：將三角形折成三稜錐如圖9—43所示.hg與ij為一對異面直線.
過點d分別作hg與ij的平行線，即df與ad.所以∠adf即為所求.因此，hg與ij所成角為60°。
點評：在畫圖過程中正確理解已知圖形的關係是關鍵。通過識圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力。
而對空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標誌，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。
題型4：斜二測畫法
例7．畫正五稜柱的直觀圖，使底面邊長為3cm側稜長為5cm。
解析：先作底面正五邊形的直觀圖，再沿平行於z軸方向平移即可得。
作法：（1）畫軸：畫x′，y′，z′軸，使∠x′o′y′=45°（或135°），∠x′o′z′=90°。
（2）畫底面：按x′軸，y′軸畫正五邊形的直觀圖abcde。
（3）畫側稜：過a、b、c、d、e各點分別作z′軸的平行線，並在這些平行線上分別擷取aa′，bb′，cc′，dd′，ee。′
（4）成圖：順次鏈結a′，b′，c′，d′，f′，加以整理，去掉輔助線，改被遮擋的部分為虛線。
點評：用此方法可以依次畫出稜錐、稜柱、稜臺等多面體的直觀圖。
例8．是正△abc的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，若的面積為，那麼△abc的面積為
解析：。
點評：該題屬於斜二測畫法的應用，解題的關鍵在於建立實物圖元素與直觀圖元素之間的對應關係。特別底和高的對應關係。
題型5：平行投影與中心投影
空間幾何體
1 選擇題 本大題共10小題，每小題5分，共50分 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1 觀察圖中的四個幾何體，其中判斷正確的是 a 1 是稜臺 b 2 是圓台 c 3 是稜錐 d 4 不是稜柱 2 圖中所示為一平面圖形的直觀圖，則該平面圖形是 a 直角梯形 b 等腰梯形 c 平行...
空間幾何體
1 三檢視 正檢視 從前往後側檢視 從左往右俯檢視 從上往下 2 畫三檢視的原則 長對齊 高對齊 寬相等 3直觀圖 斜二測畫法 4斜二測畫法的步驟 1 平行於座標軸的線依然平行於座標軸 2 平行於y軸的線長度變半，平行於x，z軸的線長度不變 3 畫法要寫好。5 用斜二測畫法畫出長方體的步驟 1 畫軸...
2019屆高考數學簡單幾何體複習題
本試卷分第 卷 選擇題 和第 卷 非選擇題 兩部分。滿分150分。考試時間120分鐘。一 選擇題 每小題只有乙個選項是正確的，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1 2009 上海市普通高等學校春季招生考試 在空間中，兩條直線沒有公共點 是 這兩條直線平行 的 ...