1 1空間幾何體的結構

一、目標認知

學習目標：

1．知識與技能

(1)通過實物操作，增強直觀感知.

(2)能根據幾何結構特徵對空間物體進行分類.

(3)會用語言概述稜柱、稜錐、圓柱、圓錐、稜臺、圓台、球的結構特徵.

(4)會表示有關於幾何體以及柱、錐、臺的分類.

2．過程與方法

(1)通過直觀感受空間物體，從實物中概括出柱、錐、臺、球的幾何結構特徵.

(2)觀察、討論、歸納、概括所學的知識.

3．情感態度與價值觀

(1)感受空間幾何體存在於現實生活周圍，增強學習的積極性，同時提高觀察能力.

(2)培養空間想象能力和抽象括能力.

重點：　　通過空間實物及模型，概括出柱、錐、臺、球的結構特徵

難點：　　對柱、錐、臺、球結構特徵的概括和理解.

二、知識要點梳理

知識點一：稜柱的結構特徵

1、定義：一般地，有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做稜柱．在稜柱中，兩個相互平行的面叫做稜柱的底面，簡稱底；其餘各面叫做稜柱的側面；相鄰側面的公共邊叫做稜柱的側稜．側面與底的公共頂點叫做稜柱的頂點．稜柱中不在同一平面上的兩個頂點的連線叫做稜柱的對角線．過不相鄰的兩條側稜所形成的面叫做稜柱的對角面．

2、稜柱的分類：底面是三角形、四邊形、五邊形、……的稜柱分別叫做三稜柱、四稜柱、五稜柱……

3、稜柱的表示方法：

①用表示底面的各頂點的字母表示稜柱，如下圖，四稜柱、五稜柱、六稜柱可分別表示為、、；

②用稜柱的對角線表示稜柱，如上圖，四稜柱可以表示為稜柱或稜柱等；五稜柱可表示為稜柱、稜柱等；六稜柱可表示為稜柱、稜柱、稜柱等．

4、稜柱的性質：稜柱的側稜相互平行.

知識點二：稜錐的結構特徵

1、定義：有乙個面是多邊形，其餘各面是有乙個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做稜錐．這個多邊形面叫做稜錐的底面．有公共頂點的各個三角形叫做稜錐的側面．各側面的公共頂點叫做稜錐的頂點．相鄰側面的公共邊叫做稜錐的側稜；

2、稜錐的分類：按底面多邊形的邊數，可以分為三稜錐、四稜錐、五稜錐 ……；

3、稜錐的表示方法：用表示頂點和底面的字母表示，如四稜錐；

知識點三：圓柱的結構特徵

1、定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其餘三邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．旋轉軸叫做圓柱的軸．垂直於軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的底面．平行於軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱

的側面．無論旋轉到什麼位置不垂直於軸的邊都叫做圓柱的母線．

2、圓柱的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓柱

知識點四：圓錐的結構特徵

1、定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉軸，其餘兩邊旋轉而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．旋轉軸叫做圓錐的軸．

2、圓錐的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓錐．

知識點五：稜臺和圓台的結構特徵

１、定義：用乙個平行於稜錐(圓錐)底面的平面去截稜錐(圓錐)，底面和截面之間的部分叫做稜臺(圓台)；原稜錐(圓錐)的底面和截面分別叫做稜臺(圓台)的下底面和上底面；原稜錐(圓錐)的側面被截去後剩餘的曲面叫做稜臺(圓台)的側面；原稜錐的側稜被平面截去後剩餘的部分叫做稜臺的側稜；原圓錐的母線被平面截去後剩餘的部分叫做圓台的母線；稜臺的側面與底面的公共頂點叫做稜臺的頂點；圓台可以看做由直角梯形繞直角邊旋轉而成，因此旋轉的軸叫做圓台的軸.

2、稜臺的表示方法：用各頂點表示，如四稜臺；

3、圓台的表示方法：用表示軸的字母表示，如圓台；

注：圓台可以看做由圓錐截得，也可以看做是由直角梯形繞其直角邊旋轉而成.

知識點六：球的結構特徵

1、定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體叫做球體，簡稱球.半圓的半徑叫做球的半徑.半圓的圓心叫做球心.半圓的直徑叫做球的直徑.

2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球o.

知識點七：特殊的稜柱、稜錐、稜臺

特殊的稜柱：側稜不垂直於底面的稜柱稱為斜稜柱；垂直於底面的稜柱稱為直稜柱；底面是正多邊形的直稜柱是正稜柱；底面是矩形的直稜柱叫做長方體；稜長都相等的長方體叫做正方體；

特殊的稜錐：如果稜錐的底面是正多邊形，且各側面是全等的等腰三角形，那麼這樣的稜錐稱為正稜錐；側稜長等於底面邊長的正三稜錐又稱為正四面體；

特殊的稜臺：由正稜錐截得的稜臺叫做正稜臺；

注：簡單幾何體的分類如下表：

知識點八：簡單組合體的結構特徵

1、組合體的基本形式：①由簡單幾何體拼接而成的簡單組合體；②由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的幾何體；

2、常見的組合體有三種：①多面體與多面體的組合；②多面體與旋轉體的組合；③旋轉體與旋轉體的組合.

知識點九：中心投影與平行投影

1、投影、投影線和投影面：由於光的照射，在不透明物體後面的螢幕上會留下這個物體的影子，這種現象叫做投影，其中光線叫做投影線，螢幕叫做投影面.

2、中心投影：把光由一點向外散射形成的投影叫做中心投影.

3、中心投影的性質：①中心投影的投影線交於一點；②點光源距離物體越近，投影形成的影子越大.

4、平行投影：把一束平行光線照射下形成的投影叫做平行投影，投影線正對著投影面時叫做正投影，否則叫做斜投影.

5、平行投影的性質：平行投影的投影線相互平行.

知識點十：常見幾何體的三檢視：

1、圓柱的正檢視和側檢視是全等的矩形，俯檢視為圓；

2、圓錐的正檢視和側檢視是三角形，俯檢視為圓和圓心；

3、圓台的正檢視和側檢視都是等腰梯形，俯檢視為兩個同心圓；

4、球的三檢視都是圓.

注：1、三檢視的排列方法是側檢視在正檢視的右邊；俯檢視在正檢視的下面；

2、乙個幾何體的側檢視和正檢視高度一樣，俯檢視和正檢視的長度一樣，側檢視和俯

檢視的寬度一樣，即：長對正，高平齊，寬相等.

三、規律方法指導：

本節概念較多，是學習的基礎，注意對比記憶.

四、經典例題透析：

型別一：概念判斷

1、如果兩個面互相平行，其餘各面均為四邊形的幾何體一定是稜柱．這種說法是否正確？如果正確說明理由；如果不正確，舉出反例．

思路點撥：判斷乙個幾何體是哪幾種幾何體，一定要緊扣住柱、錐、臺、球的結構特徵，注意定義中的特殊字眼.稜柱的結構特徵有三方面：

有兩個面互相平行；其餘各面是平行四邊形；這些平行四邊形中，相鄰兩個面的公共邊都互相平行.當乙個幾何體同時滿足這三方面的結構特徵時，這個幾何體才是稜柱.

解析：不正確．如圖所示的幾何體是由兩個底面相等的四稜柱組合而成，它有兩個面互相平行，其餘各面都是平行四邊形，但是顯然它不是稜柱．

舉一反三：

【變式1】如果乙個面是多邊形，其餘各面都是三角形的幾何體一定是稜錐．這種說法是否正確？如果正確說明理由；如果不正確，舉出反例．

解析：不正確．如圖所示的幾何體由兩個底面相等的四稜錐組合而成，它有乙個面是四邊形，其餘各面都是三角形，但是該幾何體不是稜錐．

2、描述下列幾何體的結構特徵，並說出它的名稱.

(1)由7個面圍成，其中兩個面是互相平行且全等的五邊形，其它面都是全等的矩形；

(2)如圖，乙個圓環面繞著過圓心的直線旋轉.

解析：(1)特徵：側面都是全等的矩形，底面是五邊形，幾何體為正五稜柱；

(2)由兩個同心的大球和小球，大球裡去掉小球後剩下的部分.

型別二：基本計算

3、若三稜錐的底面為正三角形，側面為等腰三角形，側稜長為2，底面周長為9，求稜錐的高.

解析：底面正三角形中，邊長為3，高為，中心到頂點距離為，則稜錐的高為.

4、用乙個平行於圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓台上、下底面的面積之比為1:16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓台的母線長.

解析：設圓台的母線為，截得圓台的上、下底面半徑分別為r，4r.

根據相似三角形的性質得，，解得.

所以，圓台的母線長為.

總結昇華：用平行於底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質(與底面全等或相似)，同時結合旋轉體中的軸截面(經過軸的截面)的幾何性質，利用相似三角形中的相似比，構設相關幾何變數的方程組而解得.

5、圓錐底面半徑為1cm，高為，其中有乙個內接正方體，求這個內接正方體的稜長.

解析：過圓錐的頂點s和正方體底面的一條對角線cd作圓錐的截面，得圓錐的軸截面sef，正方體對角面，如圖所示.

設正方體稜長為x，則.

作so⊥ef於o，則，oe=1，

∵ △ecc1∽△eos， ∴ ，即.

∴ ，即內接正方體稜長為

總結昇華：此題也可以利用△scd∽△sef而求.兩個幾何體相接、相切的問題，關鍵在於發現一些截面之間的圖形關係.

常常是通過分析幾個軸截面組合的平面圖形中的一些相似，利用相似比列出方程而求.注意截面圖形中各線段長度的計算.

型別三：由幾何體畫三檢視

6、畫出下列各幾何體的三檢視：

解析：這兩個幾何體的三檢視如下圖所示.

總結昇華：畫三檢視之前，先把幾何體的結構弄清楚，確定乙個正前方，從三個不同的角度進行觀察.在繪製三檢視時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分用虛線表示出來，繪製三檢視，就是由客觀存在的幾何物體，從觀察的角度，得到反應物體形象的幾何學知識.

型別四：由三檢視到立體圖形

7、畫出下列三檢視所表示的幾何體.

解析：先畫幾何體的正面，再側面，然後結合三個檢視完成幾何體輪廓，如下圖所示.

總結昇華：根據三檢視的特徵，結合所給的檢視進行逆推，考察我們的想象能力與逆向思維能力.由三檢視得到相應幾何體後，可以驗證所得幾何體的三檢視與所給出的三檢視是否一致.

依據三檢視進行逆向分析，就是用幾何知識解決實際問題的乙個方面.在工廠中，工人師傅都是根據零件結構設計的三檢視，對零件進行加工製作.

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