高考複習指導講義第十章圓錐曲線
一、考綱要求
1.掌握直角座標系中的曲線與方程的關係和軌跡的概念，能夠根據所給條件，選擇適當的直角座標系求曲線的方程，並畫出方程所表示的曲線.
2.掌握圓錐曲線的標準方程及其幾何性質，並根據並給的條件畫圓錐曲線，了解圓錐曲線的一些實際應用.
3.理解座標變換的意義，掌握利用座標軸平移化簡圓錐曲線方程的方法.
4.了解用座標法研究幾何問題的思想，初步掌握利用方程研究曲線性質的方法.
二、知識結構
1.方程的曲線
在平面直角座標系中，如果某曲線c(看作適合某種條件的點的集合或軌跡 )上的點與乙個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關係：
(1)曲線上的點的座標都是這個方程的解；
(2)以這個方程的解為座標的點都是曲線上的點.那麼這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.
點與曲線的關係若曲線c的方程是f(x,y)=0，則點p0(x0,y0)在曲線c上f(x0,y 0)=0；
點p0(x0,y0)不在曲線c上f(x0,y0)≠0
兩條曲線的交點若曲線c1，c2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則
f1(x0,y0)=0
點p0(x0,y0)是c1，c2的交點
f2(x0,y0) =0
方程組有n個不同的實數解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數解，曲線就沒有交點.
2.圓圓的定義
點集：｛m｜｜om｜=r｝，其中定點o為圓心，定長r為半徑.
圓的方程
(1)標準方程
圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是
(x-a)2+(y-b)2=r2
圓心在座標原點，半徑為r的圓方程是
x2+y2=r2
(2)一般方程
當d2+e2-4f＞0時，一元二次方程
x2+y2+dx+ey+f=0
叫做圓的一般方程，圓心為(-,-，半徑是.配方，將方程x2+y2+dx+ey+f=0化為
(x+)2+(y+)2=
當d2+e2-4f=0時，方程表示乙個點
(-,-);
當d2+e2-4f＜0時，方程不表示任何圖形.
點與圓的位置關係已知圓心c(a,b),半徑為r,點m的座標為(x0,y0)，則
｜mc｜＜r點m在圓c內，
｜mc｜=r點m在圓c上，
｜mc｜＞r點m在圓c內，
其中｜mc｜=.
(3)直線和圓的位置關係
①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關係
直線與圓相交有兩個公共點
直線與圓相切有乙個公共點
直線與圓相離沒有公共點
②直線和圓的位置關係的判定
(i)判別式法
(ii)利用圓心c(a,b)到直線ax+by+c=0的距離d=與半徑r的大小關係來判定.
3.橢圓、雙曲線和拋物線
橢圓、雙曲線和拋物線的基本知識見下表.
4.圓錐曲線的統一定義
平面內的動點p(x,y)到乙個定點f(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之比是乙個常數e(e＞0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線.
其中定點f(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準線，正常數e稱為離心率.
當0＜e＜1時，軌跡為橢圓
當e=1時，軌跡為拋物線
當e＞1時，軌跡為雙曲線
5.座標變換
座標變換在解析幾何中，把座標系的變換(如改變座標系原點的位置或座標軸的方向)叫做座標變換.實施座標變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點的座標與曲線的方程.
座標軸的平移座標軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種座標系的變換叫做座標軸的平移，簡稱移軸.
座標軸的平移公式設平面內任意一點m，它在原座標系xoy中的座標是9x,y)，在新座標系x ′o′y′中的座標是(x′,y′).設新座標系的原點o′在原座標系xoy中的座標是(h,k)，則
x=x′+hx′=x-h
(1或(2)
y=y′+ky′=y-k
公式(1)或(2)叫做平移(或移軸)公式.
中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程
中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表.
三、知識點、能力點提示
(一)曲線和方程，由已知條件列出曲線的方程，曲線的交點
說明在求曲線方程之前必須建立座標系，然後根據條件列出等式進行化簡 .特別是在求出方程後要考慮化簡的過程是否是同解變形，是否滿足已知條件，只有這樣求出的曲線方程才能準確無誤.另外，要求會判斷曲線間有無交點，會求曲線的交點座標.
例1 如果實數x、y滿足等式(x-2)2+y2＝３，求y/x的最大值.
解： 此題有多種解法，但用待定引數，轉化為求曲線的交點問題可使解題過程更為簡捷.
設＝k，則y=kx.要使k的值最大，只須直線y＝kx在第一象限與圓相切 ，而圓心(2，0)到直線y=kx的距離為.
＝，解得k＝(-捨去).
(二)充要條件
說明充分條件、必要條件、充要條件是高考考查的重要內容.要掌握好這幾種條件，關鍵在於要對命題之間的關係很清楚.
例2 設甲、乙、丙是三個命題，如果甲是乙的必要條件；丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，那麼( )
a.丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件 b.丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件
c.丙是甲的充要條件d.丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件
解： 由已知乙甲，丙乙，所以丙甲，即丙是甲的充分條件，故選a.
(三)圓的標準方程和一般方程
說明求圓的方程主要是求出其圓心與半徑.還要掌握一般方程與標準方程的互化，以及圓與其他曲線之間的關係，特別是圓與直線之間的關係.
例3 圓a：(x+1)2+(y+1)2=1，
圓b：(x-1)2+(y-1)2=4，則有兩圓的公切線有( )
a.1條b.2條c.3條d.4條
解： 要判斷兩圓公切線的條數，只需要判斷出此兩圓的位置關係，而不必求出其切線方程 . ∵a圓圓心是c1(-1,-1)，b圓圓心是c2(1，1)，∴｜c1c2｜＝2，r1＝1，r2＝2.
r1+r2＞｜c1c2｜即圓a與圓b相離，則此兩圓有4條公切線.故選d.
(四)橢圓及其標準方程，焦點、焦距，橢圓的幾何性質：範圍、對稱性、頂點、長袖、短軸、離心率、準線，橢圓的畫法
說明天體的執行軌道基本都是橢圓，所以掌握橢圓的基本概念是很有必要的.考試說明中明確要求，要會求橢圓的標準方程和橢圓的有關元素.
例4 p是橢圓+＝1上的點，f1、ｆ２為其焦點，若∠f1pf2＝90°.求δpf1f2的面積.
解：∵s＝｜pf1｜·｜pf2｜，而｜pf2 ｜+｜pf2｜＝10，
｜pf1｜2+｜pf2｜2=｜f1f2｜2=36，聯合求解得：
pf1·pf2＝＝32，
∴s＝16.
(五)雙曲線及其標準方程，焦點、焦距，雙曲線的幾何性質：範圍、對稱性、頂點、實軸、虛軸、漸近線、離心率、準線，雙曲線的畫法，等邊雙曲線
說明根據已知條件會求雙曲線的標準方程，以及雙曲線的有關元素.這裡與橢圓不同的是實軸、虛軸和漸近線.
例5 已知雙曲線-＝1(＜θ＜π)過點
a(4，4).
(1)求實軸、虛軸的長；
(2)求離心率；
(3)求頂點座標；
(4)求點a的焦半徑.
解： 因為雙曲線過點a(4，4)，所以
- ＝1，tg2+tgθ-２＝0 ，tgθ＝-2，(tgθ=1捨去，因為＜θ＜π＝
∴雙曲線方程為-+＝1.
從而a=2,b=4,c=2.
(1)實軸長2a=4 ，虛軸長2b＝8.
(2)離心率e＝＝.
(3)頂點為(0，2)，(0，-2).
(4)焦點f1(0，-2)，f2(0，2).
｜af1｜＝
＝2 (+1)，
｜af2｜＝
＝2 (-1).
(六)拋物線及其標準方程，焦點、準線、拋物線的幾何性質：範圍、對稱性、頂點、離心率，拋物線的畫法
說明這部分內容要注意與初中講的拋物線y=ax2+bx+c(c≠0)的關係，以及拋物線與雙曲線一支的區別，y=ax2+bx+c的對稱軸平行於y軸(或就是y軸)，雙曲線有漸近線，拋物線無漸近線.
例6 圓心在拋物線y2=2x上，且與x軸相切的乙個圓的方程是( )
解： 經過配方將四個選項中圓的一般方程化為標準方程.
①(x-)2+(y-1)2=②(x+)2+(y-1)2=
③(x-)2+(y-1)2=④(x-)2+(y-1)2=1
由已知條件，②的圓心不在拋物線y2=2x上.而圓要與x軸相切，則圓心的縱座標的絕對值要等於半徑.故只有④適合.選d.
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