方程的曲線:
在平面直角座標系中,如果某曲線c(看作適合某種條件的點的集合或軌跡 )上的點與乙個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關係:(1)曲線上的點的座標都是這個方程的解;(2)以這個方程的解為座標的點都是曲線上的點,那麼這個方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線。
點與曲線的關係:若曲線c的方程是f(x,y)=0,則點p0(x0,y0)在曲線c上f(x0,y 0)=0;點p0(x0,y0)不在曲線c上f(x0,y0)≠0。
兩條曲線的交點:若曲線c1,c2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點p0(x0,y0)是c1,c2的交點{方程組有n個不同的實數解,兩條曲線就有n個不同的交點;方程組沒有實數解,曲線就沒有交點。
二、圓:
1、定義:點集{m||om|=r},其中定點o為圓心,定長r為半徑.
2、方程:(1)標準方程:圓心在c(a,b),半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
圓心在座標原點,半徑為r的圓方程是x2+y2=r2
(2)一般方程:①當d2+e2-4f>0時,一元二次方程x2+y2+dx+ey+f=0叫做圓的一般方程,圓心為半徑是。配方,將方程x2+y2+dx+ey+f=0化為(x+)2+(y+)2=
②當d2+e2-4f=0時,方程表示乙個點(-,-);
③當d2+e2-4f<0時,方程不表示任何圖形.
點與圓的位置關係已知圓心c(a,b),半徑為r,點m的座標為(x0,y0),則|mc|<r點m在圓c內,|mc|=r點m在圓c上,|mc|>r點m在圓c內,其中|mc|=。
直線和圓的位置關係:①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關係:直線與圓相交有兩個公共點;直線與圓相切有乙個公共點;直線與圓相離沒有公共點。
②直線和圓的位置關係的判定:(i)判別式法;(ii)利用圓心c(a,b)到直線ax+by+c=0的距離與半徑r的大小關係來判定。
三、圓錐曲線的統一定義:
平面內的動點p(x,y)到乙個定點f(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之比是乙個常數e(e>0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點f(c,0)稱為焦點,定直線l稱為準線,正常數e稱為離心率。當0<e<1時,軌跡為橢圓;當e=1時,軌跡為拋物線;當e>1時,軌跡為雙曲線。
四、橢圓、雙曲線、拋物線:
橢圓、雙曲線、拋物線性質對比
【備註1】雙曲線:
⑶等軸雙曲線:雙曲線稱為等軸雙曲線,其漸近線方程為,離心率.
⑷共軛雙曲線:以已知雙曲線的虛軸為實軸,實軸為虛軸的雙曲線,叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線,它們具有共同的漸近線:.
⑸共漸近線的雙曲線系方程:的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時,它的雙曲線方程可設為.
【備註2】拋物線:
(1)拋物線=2px(p>0)的焦點座標是(,0),準線方程x=- ,開口向右;拋物線=-2px(p>0)的焦點座標是(-,0),準線方程x=,開口向左;拋物線=2py(p>0)的焦點座標是(0,),準線方程y=- ,開口向上;
拋物線=-2py(p>0)的焦點座標是(0,-),準線方程y=,開口向下.
(2)拋物線=2px(p>0)上的點m(x0,y0)與焦點f的距離;拋物線=-2px(p>0)上的點m(x0,y0)與焦點f的距離
(3)設拋物線的標準方程為=2px(p>0),則拋物線的焦點到其頂點的距離為,頂點到準線的距離,焦點到準線的距離為p.
(4)已知過拋物線=2px(p>0)焦點的直線交拋物線於a、b兩點,則線段ab稱為焦點弦,設a(x1,y1),b(x2,y2),則弦長=+p或(α為直線ab的傾斜角),,(叫做焦半徑).
五、座標的變換:
(1)座標變換:在解析幾何中,把座標系的變換(如改變座標系原點的位置或座標軸的方向)叫做座標變換.實施座標變換時,點的位置,曲線的形狀、大小、位置都不改變,僅僅只改變點的座標與曲線的方程.
(2)座標軸的平移:座標軸的方向和長度單位不改變,只改變原點的位置,這種座標系的變換叫做座標軸的平移,簡稱移軸。
(3)座標軸的平移公式:設平面內任意一點m,它在原座標系xoy中的座標是9x,y),在新座標系x ′o′y′中的座標是.設新座標系的原點o′在原座標系xoy中的座標是(h,k),則或
叫做平移(或移軸)公式.
中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表:
六、橢圓的常用結論:
點p處的切線pt平分△pf1f2在點p處的外角.
pt平分△pf1f2在點p處的外角,則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓,除去長軸的兩個端點.
以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相離.
以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.
若在橢圓上,則過的橢圓的切線方程是.
若在橢圓外,則過作橢圓的兩條切線切點為p1、p2,則切點弦p1p2的直線方程是.
橢圓 (a>b>0)的左右焦點分別為f1,f 2,點p為橢圓上任意一點,則橢圓的焦點角形的面積為.
橢圓(a>b>0)的焦半徑公式,( ,).
設過橢圓焦點f作直線與橢圓相交 p、q兩點,a為橢圓長軸上乙個頂點,鏈結ap 和aq分別交相應於焦點f的橢圓準線於m、n兩點,則mf⊥nf.
過橢圓乙個焦點f的直線與橢圓交於兩點p、q, a1、a2為橢圓長軸上的頂點,a1p和a2q交於點m,a2p和a1q交於點n,則mf⊥nf.
ab是橢圓的不平行於對稱軸的弦,m為ab的中點,則,即。
若在橢圓內,則被po所平分的中點弦的方程是;
【推論】:
1、若在橢圓內,則過po的弦中點的軌跡方程是。橢圓(a>b>o)的兩個頂點為,,與y軸平行的直線交橢圓於p1、p2時a1p1與a2p2交點的軌跡方程是.
2、過橢圓 (a>0, b>0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓於b,c兩點,則直線bc有定向且(常數).
3、若p為橢圓(a>b>0)上異於長軸端點的任一點,f1, f 2是焦點, , ,則.
4、設橢圓(a>b>0)的兩個焦點為f1、f2,p(異於長軸端點)為橢圓上任意一點,在△pf1f2中,記, ,,則有.
5、若橢圓(a>b>0)的左、右焦點分別為f1、f2,左準線為l,則當0<e≤時,可在橢圓上求一點p,使得pf1是p到對應準線距離d與pf2的比例中項.
6、p為橢圓(a>b>0)上任一點,f1,f2為二焦點,a為橢圓內一定點,則,當且僅當三點共線時,等號成立.
7、橢圓與直線有公共點的充要條件是.
8、已知橢圓(a>b>0),o為座標原點,p、q為橢圓上兩動點,且.(1);(2)|op|2+|oq|2的最大值為;(3)的最小值是.
9、過橢圓(a>b>0)的右焦點f作直線交該橢圓右支於m,n兩點,弦mn的垂直平分線交x軸於p,則.
10、已知橢圓( a>b>0) ,a、b、是橢圓上的兩點,線段ab的垂直平分線與x軸相交於點, 則.
11、設p點是橢圓( a>b>0)上異於長軸端點的任一點,f1、f2為其焦點記,則(1).(2) .
12、設a、b是橢圓( a>b>0)的長軸兩端點,p是橢圓上的一點,, ,,c、e分別是橢圓的半焦距離心率,則有(1).(2) .(3) .
13、已知橢圓( a>b>0)的右準線與x軸相交於點,過橢圓右焦點的直線與橢圓相交於a、b兩點,點在右準線上,且軸,則直線ac經過線段ef 的中點.
14、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線,與以長軸為直徑的圓相交,則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.
15、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線於一點,則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.
16、橢圓焦三角形中,內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).
(注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.)
17、橢圓焦三角形中,內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.
18、橢圓焦三角形中,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.
七、雙曲線的常用結論:
1、點p處的切線pt平分△pf1f2在點p處的內角.
2、pt平分△pf1f2在點p處的內角,則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓,除去長軸的兩個端點.
3、以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相交.
4、以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.(內切:p在右支;外切:p在左支)
5、若在雙曲線(a>0,b>0)上,則過的雙曲線的切線方程是.
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