構造概率分布列利用eξ2≥(eξ)2證明不等式
重慶慕澤剛
若離散型隨機變數ξ列為p(ξ＝xi)＝pi(i=1，2，…，n…)，其中p1＋p2＋…＝1，則依方差公式dξ＝eξ2－（eξ）2＝(x1－eξ)2p1＋(x2－eξ)2p2＋…＋(xi－eξ)2pi＋…≥0，可得eξ2≥（eξ）2.利用這一結論，在證明一些不等式時，若能根據不等式的結構特徵，巧妙地構造離散型隨機變數，則可另闢蹊徑，別具一格地證明不等式.構造分布列證明不等式的一般步驟是：
(1)根據不等式的結構特徵確定隨機變數ξ的取值xi及相應的概率值pi.
(2)分別計算隨機變數ξ及ξ2的期望eξ﹑eξ2.
(3)最後利用eξ2≥(eξ)2.
一、利用不等式的輪換對稱性構造分布列
如果所證的不等式中含有n個字母，且不等式是乙個關於每個字母的輪換對稱式，則可以根據每個字母在式中處於同等的地位的特點，則可將每個字母取值視為乙個隨機變數的取值，每個取值的概率均為.
例1求證()2≤·
證明：構造隨機變數ξ的分布列為
所以eξ＝，(eξ)2＝
由eξ2≥(eξ)2，得≥()2。
數學期望也常稱為均值.eξ2≥(eξ)2說明ξ2的「平均值」不小於ξ的「平均值」的平方.而不等式≥()2說明平方平均數不小於算術平均數的平方.
兩者之間確有類似之處充分體現出隨機性數學與決定性數學的融合，顯示了數學的統一.
例2求證：已知a，b，c∈r，求證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
證明：不等式為關於a、b﹑c的輪換對稱式，構造隨機變數ξ的分布列為
所以eξ＝，(eξ)2＝
由eξ2≥(eξ)2，得≥()2，
化簡整理得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
二、利用「和為1」條件構造分布列
如果證明以幾項的和為1的條件不等式，則取所證不等式的項或項的部分因式及變式為隨機變數，取和為1的項為隨機變數相應的概率構造分布列.如果題設條件中沒有「和為1」的等式，則可以通過湊「和為1」，其湊法主要有兩條途徑：一是根據所給的條件等式變形湊「1」；二是根據已有的公式或題中沒有的而成立的等式湊「1」.
例3已知a，b是不相等的兩個正數，x、y∈r，且a＋b＝1求證：ax2＋by2≥(ax＋by)2.
證明：構造隨機變數ξ的分布列為
所以eξ＝ax＋by，eξ2＝ax2＋by2，
由eξ2≥(eξ)2，得ax2＋by2≥(ax＋by)2.
例4已知x2＋y2＝16，求證：x＋y≤4.
證明：由x2＋y2＝16，變形得＋＝1，所以與為概率，而所證不等式變形為＋≤，根據概率的特點取隨機變數為與，因此，構造隨機變數ξ的分布列為：
所以eξ＝＋，eξ2＝2，
由eξ2≥(eξ)2，即2≥(＋)2，化簡整理得x＋y≤4.
例5設a＞0﹑b＞0﹑c＞0，求證：＋＋≥.
證明：∵(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＝2(a＋b＋c)，∴＋＋＝1，同時取左端的部分因式﹑﹑為隨機變數，構離散型隨機變數ξ的分布列：
p(ξ＝)＝；p(ξ＝)＝；p(ξ＝)＝；
eξ2＝()2＋()2＋()2＝(＋＋)·，
eξ＝·＋·＋·＝，
依eξ2≥(eξ)2，可得＋＋)≥.
例6設α、β∈（0，），求證＋≥1.
證明：∵cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，∴＋＝1，時取左端的部分因式﹑為隨機變數，構離散型隨機變數ξ的分布列：
p(ξ＝)＝；p(ξ＝)＝；
eξ2＝()2·＋()2·＝(＋)·，
eξ＝·＋·＝，
依eξ2≥(eξ2，可得(＋)·≥，
即＋≥≥1，得證.
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