考點自測
1．(2010·山東)樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為( )．
abcd．2
解析由題意知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1.
s2＝＝2.
答案 d
2．已知x的分布列為
設y＝2x＋3，則e(y)的值為( )．
ab．4c．－1d．1
解析 e(x)＝－＋＝－，
e(y)＝e(2x＋3)＝2e(x)＋3＝－＋3＝.
答案 a
3．(2010·湖北)某射手射擊所得環數ξ的分布列如下：
已知ξ的期望e(ξ)＝8.9，則y的值為( )．
a．0.4b．0.6c．0.7d．0.9
解析 x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.①
又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化簡得7x＋10y＝5.4.②
由①②聯立解得x＝0.2，y＝0.4.
答案 a
4．設隨機變數x～b(n，p)，且e(x)＝1.6，d(x)＝1.28，則( )．
a．n＝8，p＝0.2b．n＝4，p＝0.4
c．n＝5，p＝0.32d．n＝7，p＝0.45
解析 ∵x～b(n，p)，∴e(x)＝np＝1.6，
d(x)＝np(1－p)＝1.28，∴
答案 a
5．(2010·上海)隨機變數ξ的概率分布列由下表給出：
該隨機變數ξ的均值是________．
解析由分布列可知e(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.
答案 8.2
6．有一批產品，其中有12件**和4件次品，從中任取3件，若ξ表示取到次品的個數，則e
解析 ξ的取值為0,1,2,3，則
p(ξ＝0)＝＝；p(ξ＝1)＝＝；
p(ξ＝2)＝＝；p(ξ＝3)＝＝.
∴e(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案 7．罐中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色後再放回，連續摸取4次，設ξ為取得紅球的次數，則ξ的期望e
解析因為是有放回地摸球，所以每次摸球(試驗)摸得紅球(成功)的概率均為，連續摸4次(做4次試驗)，ξ為取得紅球(成功)的次數，則ξ～b，
從而有e(ξ)＝np＝4×＝.
答案 考向一離散型隨機變數的期望和方差
【例1】a、b兩個代表隊進行桌球對抗賽，每隊三名隊員，a隊隊員是a1、a2、a3，b隊隊員是b1、b2、b3，按以往多次比賽的統計，對陣隊員之間的勝負概率如下：
現按表中對陣方式出場勝隊得1分，負隊得0分，設a隊，b隊最後所得總分分別為x，y
(1)求x，y的分布列；(2)求e(x)，e(y)．
[審題視點] 首先理解x，y的取值對應的事件的意義，再求x，y取每個值的概率，列成分布列的形式，最後根據期望的定義求期望．
解 (1)x，y的可能取值分別為3,2,1,0.
p(x＝3)＝××＝，
p(x＝2
p(x＝1
p(x＝0)＝××＝；
根據題意x＋y＝3，所以
p(y＝0)＝p(x＝3)＝，p(y＝1)＝p(x＝2)＝，
p(y＝2)＝p(x＝1)＝，p(y＝3)＝p(x＝0)＝.
x的分布列為
y的分布列為
(2)e(x)＝3×＋2×＋1×＋0×＝；
因為x＋y＝3，所以e(y)＝3－e(x)＝.
2.廣東17.(本小題滿分13分)
某班50位學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖
如圖4所示，其中成績分組區間是：
[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
（1）求圖中的值；
（2）從成績不低於分的學生中隨機選取人，
該人中成績在分以上（含分）的人數記為，
求的數學期望。
【解析】（1）
（2）成績不低於分的學生有人，其中成績在分以上（含分）
的人數為
隨機變數可取
答：（1）
（2）的數學期望為
考向二期望與方差性質的應用
【例2】設隨機變數x具有分布p(x＝k)＝，k＝1,2,3,4,5，求e(x＋2)2，d(2x－1)，.
[審題視點] 利用期望與方差的性質求解．
解 ∵e(x)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝＝3.
e(x2)＝1×＋22×＋32×＋42×＋52×＝11.
d(x)＝(1－3)2×＋(2－3)2×＋(3－3)2×＋(4－3)2×＋(5－3)2×＝ (4＋1＋0＋1＋4)＝2.
∴e(x＋2)2＝e(x2＋4x＋4)
＝e(x2)＋4e(x)＋4＝11＋12＋4＝27.
d(2x－1)＝4d(x)＝8，＝＝.
【訓練2】 袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現從袋中任取一球，x表示所取球的標號．
(1)求x的分布列、期望和方差；
(2)若η＝ax＋b，e(η)＝1，d(η)＝11，試求a，b的值．
解 (1)x的分布列為
∴e(x)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
d(x)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由d(η)＝a2d(x)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.
又e(η)＝ae(x)＋b，
所以當a＝2時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.
當a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
∴或即為所求．
一、選擇題
1．已知某一隨機變數x的概率分布列如下，且e(x)＝6.3，則a的值為( ).
a．5 b．6 c．7 d．8
解析由分布列性質知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.
∴e(x)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.
∴a＝7.
答案 c
2．(2011·安徽合肥)已知隨機變數x服從二項分布，且e(x)＝2.4，d(x)＝1.44，則二項分布的引數n，p的值為( )．
a．n＝4，p＝0.6 b．n＝6，p＝0.4
c．n＝8，p＝0.3 d．n＝24，p＝0.1
解析由題意得解得
答案 b
3．已知隨機變數x＋η＝8，若x～b(10，0.6)，則e(η)，d(η)分別是( )．
a．6和2.4 b．2和2.4
c．2和5.6 d．6和5.6
解析若兩個隨機變數η，x滿足一次關係式η＝ax＋b(a，b為常數)，當已知e(x)、d(x)時，則有e(η)＝ae(x)＋b，d(η)＝a2d(x)．由已知隨機變數x＋η＝8，所以有η＝8－x.因此，求得e(η)＝8－e(x)＝8－10×0.6＝2，
d(η)＝(－1)2d(x)＝10×0.6×0.4＝2.4.
答案 b
4．已知x的分布列為
則在下列式子中：①e(x)＝－；②d(x)＝；
③p(x＝0)＝.
正確的個數是( )．
a．0 b．1 c．2 d．3
解析 e(x)＝(－1)×＋1×＝－，故①正確．
d(x)＝2×＋2×＋2×＝，故②不正確．
由分布列知③正確．
答案 c
5．乙個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為2，則＋的最小值為
( )．
a. b. c. d.
解析由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，
即3a＋2b＝2，其中0又＋＝
＝3＋＋＋≥＋2＝，
當且僅當＝，即a＝2b時取「等號」，又3a＋2b＝2，即當a＝，b＝時，＋的最小值為，故選d.
答案 d
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