2023年普通高等學校招生全國統一考試（全國卷）
數學試題（文科）
本試卷分為第ⅰ卷（選擇題）和第ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第ⅰ卷1至2頁，第ⅱ卷3至4頁。滿分150分。考試時間120分鐘。
注意事項：
1、 答題前，考生務必將自己的姓名、班級、考號用0.5公釐的黑色簽字筆填寫在答題卡上，並將條形碼貼在答題卡的指定位置。
2、 選擇題使用2b鉛筆填塗在答題卡對應題目標號的位置上，非選擇題用0.5公釐的黑色簽字筆填寫在答題卡的對應方框內，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。
3、 考試結束後，將答題卡收回。
參考公式：
如果a、b互斥，那麼p(a+b)= p(a)+p(a);
如果a、b相互獨立，那麼p(ab)= p(a)p(a);
如果事件a在一次實驗中發生的概率為p，那麼在n次獨立重複試驗中恰好發生k次的概率：=.
球的表面積公式：s 球的體積公式：v=
第ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1. 設集合 m = ，n = ，則（ ）
a．m∩nb．m∪n = m c． m∩n = m d．m∪n = r
2. 某企業去年十二月生產了a、b、c三種產品共3000件，根據分層抽樣的結果，企業統計員製作了如下統計**：
由於統計員不小心，**中a、c產品的有關資料已被汙染看不清楚，但統計員記得a產品的樣本容量比c產品的樣本容量多10件，根據以上資訊，可得c產品的生產數量是（ ）件。
a．800b．850c．900d．950
3. 已知直線平面α,直線,則「∥」是「」的（ ）
a．充要條件b．必要不充分條件
c．充分不必要條件d．既不充分也不必要條件
4. 平面向量與夾角為，，則（ ）
abc. 7d.3
5. 已知數列為等差數列,為其前項和,且,則 （ ）
a．25b．27c．50 d．54
6. 函式的影象向右平移個單位後所得的影象關於點中心對稱．則不可能是( )
abcd．
7. 拋物線的中心在原點，焦點與雙曲線的有焦點重合，則拋物線的方程為（ ）
a. b. cd.
8. 有5名畢業生站成一排照相,若甲乙兩人之間至多有2人,且甲乙不相鄰,則不同的站法有 （ ）
a．36種b．12種c．60種d． 48種
9. 設變數x，y滿足約束條件則目標函式的最大值為（ ）
a．0b．1 c． d．2
10．正三稜柱的底面邊長為2,側稜長為,為中點,則直線與面所成角的正弦值為（ ）
a． b． c． d．
11．已知方程與的根分別為和，則=（ ）
a. 2010b. 2012c. 20102d. 20122
12．已知定義在r上的偶函式滿足，且在區間[0，2]上，若關於x的方程有三個不同的根，則m的範圍為（ ）
a． b．（2，） c． d．（2，4）
第ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13. 若的展開式中第6項為常數項,則
14. 若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線的傾斜角為60°，則的最小值是________．
15. 已知四面體p－abc的外接球的球心在ab上，且面, ,若四面體p－abc的體積為，則兩點間的球面距離為
16. 非空集合g關於運算滿足：（1）對任意，都有；②存在，使得對一切，都有，則稱g關於運算為「融洽集」。
現給出下列集合和運算：
①g=，為整數的加法；②g=，為整數的乘積；③g=，為平面向量的加法；④g=，為多項式的加法。其中g關於運算為「融洽集」的是寫出所有「融洽集」的序號）
二、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或推演步驟）
17.（本小題滿分12分）在中，角的對邊分別為，是該三角形的面積，（1）若，，，
（1）求角的度數；
（2）若，，，求的值.
18.（本小題滿分12分）某車站每天上午發出兩班客車（每班客車只有一輛車），第一班客車在8∶00,8∶20,8∶40這三個時刻隨機發出,且在8∶00發出的概率為,8∶20發出的概率為,8∶40發出的概率為;第二班客車在9∶00,9∶20,9∶40這三個時刻隨機發出,且在9∶00發出的概率為,9∶20發出的概率為,9∶40發出的概率為.兩班客車發出時刻是相互獨立的,一位旅客預計8∶10到站.
求:（1）請**旅客乘到第一班客車的概率;
（2）求旅客候車時間不超過50分鐘的概率。
19.（本小題滿分12分）如圖，是以為直角的三角形，平面abc，
sa=bc=2，ab= 4. m、n、d分別是sc、ab、bc的中點。
（1）求證：mnab；
（2）求二面角s—nd—a的余弦值；
（3）求點a到平面snd的距離。
20.（本小題滿分12分） 已知橢圓的離心率為，且過點，為其右焦點
（1）求橢圓的方程。
（2）設過點的直線與橢圓相交於、兩點（點在兩點之間），若與的面積相等，試求直線的方程.
21．（本小題滿分12分）已知數列{}的前n項和為，滿足
（1）證明:數列是等比數列.並求數列{}的通項公式；
（2）若數列{}滿足，設是數列的前n項和.
求證：.
22.（本小題滿分14分）已知函式（），其中．
（1）當時，討論函式的單調性；
（2）若函式僅在處有極值，求的取值範圍；
（3）若對於任意的，不等式在上恆成立，求的取值範圍．
數學答案（文科）
（考試時間：120分鐘滿分：150分）
一、選擇題答題卡（每小題，5分，共60分）
二、填空題（每小題4分，共16分）
131514． 2√3
15316. 1.3
三、解答題（74分）
17．（12分）（1）
6分（27分
得8分……………………10分
……………………12分
18．（12分）(1)第一班若在8∶20或8∶40發出,則旅客能乘到,其概率為
p4分(2) 旅客候車時間不超過50分鐘的概率
p=++ ⅹ=13∕16.
答: 旅客候車時間不超過50分鐘的概率為13∕16. …………12分
19．（12分）(1) 作meac, 連線ne,可證得ab平面mne,即得mnab …………4分
解法二：（向量法） b為座標原點，建立空間直角座標系(如圖)
（1） 由題意得m(1，2，1)，n（0，2，0）
…………4分
（2）…………8分
(3)12分
20．（12分（ⅰ）因為，所以，…1分
設橢圓方程為，又點在橢圓上,所以，解得，…3分
所以橢圓方程為……4分
（ⅱ）易知直線的斜率存在, 設的方程為，5分
由消去整理，得，6分
由題意知，解得.………7分
設，，則
因為與的面積相等，所以，所以. ③…10分
由①③消去得. ④ 將代入②得. ⑤
將④代入⑤，整理化簡得，解得經檢驗成立.所以直線的方程為………12分
21．（12分）
證明：（1）由得 sn=2an－2n
當n∈n*時，sn=2an－2n，① 當n=1 時，s1=2a1－2，則a1=2，………1分
則當n≥2, n∈n*時，sn－1=2an－1－2(n－1
得an=2an－2an－1－2，
即an=2an－1+2，
an+2=2(an－1+2
an+2}是以a1+2為首項，以2為公比的等比數列.
∴an+2=4·2n－1，
∴an=2n+1－26分
（2）證明：由
則 ③
得11分
所以12分
22．（14分）
（1）．
當時，．令，解得，，． 當變化時，，的變化情況如下表：
所以在，內是增函式，在，內是減函式．…………4分
（2），顯然不是方程的根．
為使僅在處有極值，必須恆成立，即有．
解此不等式，得．這時，是唯一極值．
因此滿足條件的的取值範圍是． ………………8分
（3）由條件及（ii）可知，．
從而恆成立．
當時，；當時，．
因此函式在上的最大值是與兩者中的較大者．
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