2023年普通高等學校招生全國統一考試（廣東卷）
數學（理科）全解全析
參考公式:台體的體積公式,其中分別是台體的上、下底面積,表示台體的高.
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1．設集合, ,則( )
abcd．
【解析】d；易得, ,所以,故選d．
2．定義域為的四個函式, , ,中,奇函式的個數是( )
abcd．
【解析】c；考查基本初等函式和奇函式的概念,是奇函式的為與,故選c．
3．若複數滿足,則在復平面內,對應的點的座標是( )
abcd．
【解析】c；對應的點的座標是,故選c．
4．已知離散型隨機變數的分布列為
則的數學期望( )
abcd．
【解析】a；,故選a．
5．某四稜臺的三檢視如圖所示,則該四稜臺的體積是 ( )
abcd．
【解析】b；由三檢視可知,該四稜臺的上下底面邊長分別為
和的正方形,高為,故,,故選b．
6．設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是( )
a . 若, , ,則 b．若, , ,則
c．若, , ,則 d．若, , ,則
【解析】d；abc是典型錯誤命題,選d．
7．已知中心在原點的雙曲線的右焦點為,離心率等於,在雙曲線的方程是 ( )
a . b． cd．
【解析】b；依題意, ,所以,從而, ,故選b．
8．設整數,集合.令集合
若和都在中,則下列選項正確的是( )
abcd．,
【解析】b；特殊值法,不妨令, ,則, ,故選b．
如果利用直接法:因為，，所以…①，…②，…③三個式子中恰有乙個成立；…④，…⑤，…⑥三個式子中恰有乙個成立.配對後只有四種情況：
第一種：①⑤成立，此時，於是，；第二種：①⑥成立，此時，於是，；第三種：
②④成立，此時，於是，；第四種：③④成立，此時，於是，.綜合上述四種情況，可得，.
二、填空題：本題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分
(一)必做題(9～13題)
9．不等式的解集為
【解析】；易得不等式的解集為.
10．若曲線在點處的切線平行於軸,則______.
【解析】；求導得,依題意,所以.
11．執行如圖所示的程式框圖,若輸入的值為,則輸出的值為______.
【解析】；第一次迴圈後:；第二次迴圈後:；
第三次迴圈後:；第四次迴圈後:；故輸出.
12. 在等差數列中,已知,則_____.
【解析】；依題意,所以.
或:13. 給定區域:,令點集
是在上取得最大值或最小值的點,則中的點共確定______
條不同的直線.
【解析】；畫出可行域如圖所示,其中取得最小值時的整點為,取得最大值時的整點為, , ,及共個整點.故可確定條不同的直線.
（二）選做題（14、15題,考生只能從中選做一題,兩題全答的,只計前一題的得分）
14.(座標系與引數方程選講選做題)已知曲線的引數方程為(為引數),在點處的切線為,以座標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極座標系,則的極座標方程為
【解析】；曲線的普通方程為,其在點處的切線的方程為,對應的極座標方程為,即.
15. (幾何證明選講選做題)如圖,是圓的直徑,點在圓上,
延長到使,過作圓的切線交於.若
, ,則
【解析】；依題意易知,所以,又
,所以,從而.
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．（本小題滿分12分）
已知函式,.
(ⅰ) 求的值若, ,求．
【解析】(ⅰ)；
(ⅱ)因為, ,所以,
所以,所以.
17．（本小題滿分12分）
某車間共有名工人,隨機抽取名,他們某日加工零件個數的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數,葉為個位數.
(ⅰ) 根據莖葉圖計算樣本均值；
(ⅱ) 日加工零件個數大於樣本均值的工人為優秀工人.
根據莖葉圖推斷該車間名工人中有幾名優秀工人；
(ⅲ) 從該車間名工人中,任取人,求恰有名優秀
工人的概率.
【解析】(ⅰ) 樣本均值為；
(ⅱ) 由(ⅰ)知樣本中優秀工人佔的比例為,故推斷該車間名工人中有名優秀工人.
(ⅲ) 設事件:從該車間名工人中,任取人,恰有名優秀工人,則.
18．（本小題滿分14分）
如圖1,在等腰直角三角形中, , ,分別是上的點, ,
為的中點.將沿折起,得到如圖2所示的四稜錐,其中.
(ⅰ) 證明:平面；
(ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.
【解析】(ⅰ) 在圖1中,易得
鏈結,在中,由餘弦定理可得
由翻摺不變性可知,
所以,所以,
理可證, 又,所以平面.
(ⅱ) 傳統法:過作交的延長線於,鏈結,
因為平面,所以,
所以為二面角的平面角.
結合圖1可知,為中點,故,從而
所以,所以二面角的平面角的余弦值為.
向量法:以點為原點,建立空間直角座標系如圖所示,
則, ,
所以,設為平面的法向量,則
,即,解得,令,得
由(ⅰ) 知,為平面的乙個法向量,
所以,即二面角的平面角的余弦值為.
19．（本小題滿分14分）
設數列的前項和為.已知, ,.
(ⅰ) 求的值；
(ⅱ) 求數列的通項公式；
(ⅲ) 證明:對一切正整數,有.
【解析】(ⅰ) 依題意, ,又,所以；
(ⅱ) 當時, ,
兩式相減得
整理得,即,又
故數列是首項為,公差為的等差數列,
所以,所以.
(ⅲ) 當時,；當時,；
當時, ,此時
綜上,對一切正整數,有.
20．（本小題滿分14分）
已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線:的距離為.設為直線上的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點.
(ⅰ) 求拋物線的方程；
(ⅱ) 當點為直線上的定點時,求直線的方程；
(ⅲ) 當點在直線上移動時,求的最小值.
【解析】(ⅰ) 依題意,設拋物線的方程為,由結合,
解得. 所以拋物線的方程為.
(ⅱ) 拋物線的方程為,即,求導得
設, (其中),則切線的斜率分別為, ,
所以切線的方程為,即,即
同理可得切線的方程為
因為切線均過點,所以,
所以為方程的兩組解.
所以直線的方程為.
(ⅲ) 由拋物線定義可知, ,
所以聯立方程,消去整理得
由一元二次方程根與係數的關係可得,
所以又點在直線上,所以,
所以所以當時,取得最小值,且最小值為.
21．（本小題滿分14分）
設函式(其中).
(ⅰ) 當時,求函式的單調區間；
(ⅱ) 當時,求函式在上的最大值.
【解析】(ⅰ) 當時,
, 令,得,
當變化時,的變化如下表:
右表可知,函式的遞減區間為,遞增區間為,.
(ⅱ),
令,得, ,
令,則,所以在上遞增,
所以,從而,所以
所以當時,；當時,；
所以令,則,
令,則所以在上遞減,而
所以存在使得,且當時, ,
當時, ,
所以在上單調遞增,在上單調遞減.
因為, ,
所以在上恆成立,當且僅當時取得「」.
綜上,函式在上的最大值.
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