2023年普通高等學校招生全國統一考試（浙江卷）
數學（理科）
參考公式：
如果事件互斥，那麼球的表面積公式
其中表示球的半徑
如果事件相互獨立，那麼球的體積公式
其中表示球的半徑
如果事件在一次試驗中發生的概率是
那麼次獨立重複試驗中恰好發生
次的概率：
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知是實數，是純虛數，則（ ）
a． b． c． d．
2．已知，，，則（ ）
a． b． c． d．
3．已知都是實數，那麼「」是「」的（ ）
a．充分而不必要條件b．必要而不充分條件
c．充分必要條件d．既不充分也不必要條件
4．在的展開式中，含的項的係數是（ ）
a． b． c． d．
5．在同一平面直角座標系中，函式（）的圖象和直線的交點個數是（ ）
a．0 b．1 c．2 d．4
6．已知是等比數列，，，則（ ）
a． b． c． d．
7．若雙曲線的兩個焦點到一條準線的距離之比為，則雙曲線的離心率是（ ）
a．3 b．5 c． d．
8．若，則（ ）
a． b． c． d．
9．已知是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ ）
a． b． c． d．
10．如圖，是平面的斜線段，為斜足，若點在平面內運動，使得的面積為定值，則動點的軌跡是（ ）
a．圓b．橢圓
c．一條直線 d．兩條平行直線
2023年普通高等學校招生全國統一考試
數學（理科）
第ⅱ卷（共100分）
注意事項：
1．用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上．
2．在答題紙上作圖，可先使用2b鉛筆，確定後必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑．
二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．
11．已知，若平面內三點共線，則
12．已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓於兩點，若，則
13．在中，角所對的邊分別為．若，則
14．如圖，已知球的面上四點，
平面，，，
則球的體積等於
15．已知為常數，函式在區間上的最大值為2，則
16．用1，2，3，4，5，6組成六位數（沒有重複數字），要求任何相鄰兩個數字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數的個數是用數字作答）
17．若，且當時，恒有，則以為座標的點所形成的平面區域的面積等於
三、解答題：本大題共5小題，共72分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
18．（本題14分）如圖，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，．
（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）當的長為何值時，二面角的大小為？
19．（本題14分）乙個袋中裝有若干個大小相同的黑球，白球和紅球．已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是．
（ⅰ）若袋中共有10個球，
（ⅰ）求白球的個數；
（ⅱ）從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數為，求隨機變數的數學期望．
（ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大於．並指出袋中哪種顏色的球個數最少．
20．（本題15分） 已知曲線是到點和到直線距離相等的點的軌跡．
是過點的直線，是上（不在上）的動點；在上，，軸（如圖）．
（ⅰ）求曲線的方程；
（ⅱ）求出直線的方程，使得為常數．
21．（本題15分）已知是實數，函式．
（ⅰ）求函式的單調區間；
（ⅱ）設為在區間上的最小值．
（ⅰ）寫出的表示式；
（ⅱ）求的取值範圍，使得．
22．（本題14分）已知數列，，，．
記：，．
求證：當時，
（ⅰ）；
（ⅱ）；
（ⅲ）2023年普通高等學校招生全國統一考試（浙江卷）
數學（理科）參***
一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算．每小題5分，滿分50分
1．a 2．d 3．d 4．a 5．c
6．c 7．d 8．b 9．c 10．b
二、填空題：本題考查基本知識和基本運算．每小題4分，滿分28分．
11． 12． 13． 14． 15．1 16．40 17．1
三、解答題
18．本題主要考查空間線面關係、空間向量的概念與運算等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力．滿分14分．
方法一：
（ⅰ）證明：過點作交於，鏈結，
可得四邊形為矩形，
又為矩形，
所以，從而四邊形為平行四邊形，
故．因為平面，平面，
所以平面．
（ⅱ）解：過點作交的延長線於，鏈結．
由平面平面，，得
平面，從而．
所以為二面角的平面角．
在中，因為，，所以，．
又因為，所以，
從而．於是．
因為，所以當為時，二面角的大小為．
方法二：如圖，以點為座標原點，以和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角座標系．
設，則，，，，．
（ⅰ）證明：，，，
所以，，從而，，
所以平面．
因為平面，
所以平面平面．
故平面．
（ⅱ）解：因為，，
所以，，從而
解得．所以，．
設與平面垂直，
則，，解得．
又因為平面，，
所以，得到．
所以當為時，二面角的大小為．
19．本題主要考查排列組合、對立事件、相互獨立事件的概率和隨機變數分布列和數學期望等概念，同時考查學生的邏輯思維能力和分析問題以及解決問題的能力．滿分14分．
（ⅰ）解：（i）記「從袋中任意摸出兩個球，至少得到乙個白球」為事件a，設袋中白球的個數為，則，
得到．故白球有5個．
（ii）隨機變數的取值為0，1，2，3，分布列是
的數學期望
．（ⅱ）證明：設袋中有個球，其中個黑球，由題意得，
所以，，故．
記「從袋中任意摸出兩個球，至少有1個黑球」為事件b，則
．所以白球的個數比黑球多，白球個數多於，紅球的個數少於．
故袋中紅球個數最少．
20．本題主要考查求曲線的軌跡方程、兩條直線的位置關係等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．滿分15分．
（ⅰ）解：設為上的點，則
，到直線的距離為．
由題設得．
化簡，得曲線的方程為．
（ⅱ）解法一：
設，直線，則
，從而．
在中，因為，．
所以.，
．當時，，
從而所求直線方程為．
解法二：設，直線，則，從而
．過垂直於的直線．
因為，所以，
．當時，，
從而所求直線方程為．
21．本題主要考查函式的性質、求導、導數的應用等基礎知識，同時考查分類討論思想以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力．滿分15分．
（ⅰ）解：函式的定義域為，
（）．若，則，
有單調遞增區間．
若，令，得，
當時，，
當時，．
有單調遞減區間，單調遞增區間．
（ⅱ）解：（i）若，在上單調遞增，
所以．若，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以．若，在上單調遞減，
所以．綜上所述，
（ii）令．
若，無解．
若，解得．
若，解得．
故的取值範圍為．
22．本題主要考查數列的遞推關係，數學歸納法、不等式證明等基礎知識和基本技能，同時考查邏輯推理能力．滿分14分．
（ⅰ）證明：用數學歸納法證明．
①當時，因為是方程的正根，所以．
②假設當時，，
因為所以．
即當時，也成立．
根據①和②，可知對任何都成立．
（ⅱ）證明：由，（），
得．因為，所以．
由及得，
所以．（ⅲ）證明：由，得
所以，於是，
故當時，，
又因為，所以．
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