一、選擇題
1．(2010·湖北黃岡)若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓＋＝1的右焦點重合，則p的值為( )
a．－2b．2
c．－4d．4
[答案] d
[解析] 橢圓中，a2＝6，b2＝2，∴c＝＝2，
∴右焦點(2,0)，由題意知＝2，∴p＝4.
2．已知點m是拋物線y2＝2px(p>0)上的一點，f為拋物線的焦點，若以|mf|為直徑作圓，則這個圓與y軸的關係是( )
a．相交b．相切
c．相離d．以上三種情形都有可能
[答案] b
[解析] 如圖，由mf的中點a作準線l的垂線ae，交直線l於點e，交y軸於點b；由點m作準線l的垂線md，垂足為d，交y軸於點c，
則md＝mf，on＝of，
∴ab＝＝
＝＝，∴這個圓與y軸相切．
3．(2010·山東文)已知拋物線y2＝2px(p>0)，過焦點且斜率為1的直線交拋物線於a、b兩點，若線段ab的中點的縱座標為2，則該拋物線的準線方程為( )
a．x＝1b．x＝－1
c．x＝2d．x＝－2
[答案] b
[解析] 設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則線段ab的中點(，)，∴＝2，∵a、b在拋物線y2＝2px上，
∴①－②得y12－y22＝2p(x1－x2)，
∴kab＝＝＝，∵kab＝1，∴，p＝2
∴拋物線方程為y2＝4x，∴準線方程為：x＝－1，故選b.
4．雙曲線－＝1的漸近線上一點a到雙曲線的右焦點f的距離等於2，拋物線y2＝2px(p>0)過點a，則該拋物線的方程為( )
a．y2＝9xb．y2＝4x
c．y2＝xd．y2＝x
[答案] c
[解析] ∵雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，f點座標為(，0)，設a點座標為(x，y)，則y＝±x，由|af|＝2＝2x＝，y＝±，代入y2＝2px得p＝，所以拋物線方程為y2＝x，所以選c.
5．已知點p是拋物線y2＝2x上的乙個動點，則點p到點(0,2)的距離與點p到該拋物線準線的距離之和的最小值為( )
ab．3
cd.[答案] a
[解析] 記拋物線y2＝2x的焦點為f，準線是l，由拋物線的定義知點p到焦點f的距離等於它到準線l的距離，因此要求點p到點(0,2)的距離與點p到拋物線的準線的距離之和的最小值，可以轉化為求點p到點(0,2)的距離與點p到焦點f的距離之和的最小值，結合圖形不難得知相應的最小值就等於焦點f與點(0,2)的距離，因此所求的最小值等於＝，選a.
6．已知拋物線c：y2＝4x的焦點為f，準線為l，過拋物線c上的點a作準線l的垂線，垂足為m，若△amf與△aof(其中o為座標原點)的面積之比為3 1，則點a的座標為( )
a．(2,2b．(2，－2)
c．(2d．(2，±2)
[答案] d
[解析] 如圖，由題意可得，|of|＝1，由拋物線定義得，|af|＝|am|，∵△amf與△aof(其中o為座標原點)的面積之比為3∶1，
∴＝＝3，
∴|am|＝3，設a，∴＋1＝3，
解得y0＝±2，∴＝2，
∴點a的座標是(2，±2)，故選d.
7．(2010·河北許昌調研)過點p(－3,1)且方向向量為a＝(2，－5)的光線經直線y＝－2反射後通過拋物線y2＝mx，(m≠0)的焦點，則拋物線的方程為( )
a．y2＝－2xb．y2＝－x
c．y2＝4xd．y2＝－4x
[答案] d
[解析] 設過p(－3,1)，方向向量為a＝(2，－5)的直線上任一點q(x，y)，則∥a，∴＝，∴5x＋2y＋13＝0，此直線關於直線y＝－2對稱的直線方程為5x＋2(－4－y)＋13＝0，即5x－2y＋5＝0，此直線過拋物線y2＝mx的焦點f，∴m＝－4，故選d.
8．已知mn≠0，則方程是mx2＋ny2＝1與mx＋ny2＝0在同一座標系內的圖形可能是( )
[答案] a
[解析] 若mn>0，則mx2＋ny2＝1應為橢圓，y2＝－x應開口向左，故排除c、d；∴mn<0，此時拋物線y2＝－x應開口向右，排除b，選a.
9．(2010·山東聊城模考)已知a、b為拋物線c：y2＝4x上的不同兩點，f為拋物線c的焦點，若＝－4，則直線ab的斜率為( )
ab．±
cd．±
[答案] d
[解析] ∵＝－4，∴||＝4||，設|bf|＝t，則|af|＝4t，∴|bm|＝|aa1|－|bb1|＝|af|－|bf|＝3t，又|ab|＝|af|＋|bf|＝5t，∴|am|＝4t，
∴tan∠abm＝，由對稱性可知，這樣的直線ab有兩條，其斜率為±.
10．已知拋物線c的方程為x2＝y，過點a(0，－4)和點b(t,0)的直線與拋物線c沒有公共點，則實數t的取值範圍是( )
a．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
b.∪c．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
d．(－∞，－2)∪(，＋∞)
[答案] b
[解析] 由題意知方程組無實數解
由②得y＝－4，代入①整理得，
2x2－＋4＝0，∴δ＝－32<0，
∴t>或t<－，故選b.
[點評] 可用數形結合法求解，設過點a(0，－4)與拋物線x2＝y相切的直線與拋物線切點為m(x0，y0)，
則切線方程為y－y0＝4x0(x－x0)，
∵過a點，∴－4－2x02＝4x0(0－x0)，
∴x0＝±，∴y0＝4，
∴切線方程為y－4＝±4x－8，
令y＝0得x＝±，即t＝±，
由圖形易知直線與拋物線無公共點時，t<－或t>.
二、填空題
11．已知點a(2,0)、b(4,0)，動點p在拋物線y2＝－4x上運動，則·取得最小值時的點p的座標是______．
[答案] (0,0)
[解析] 設p，則＝，＝，·＝＋y2＝＋y2＋8≥8，當且僅當y＝0時取等號，此時點p的座標為(0,0)．
12．(文)(2010·泰安市模擬)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點f作傾斜角為60°的直線l，交拋物線於a、b兩點，且|fa|＝3，則拋物線的方程是________．
[答案] y2＝3x
[解析] 設拋物線準線為l，作aa1⊥l，bb1⊥l，fq⊥l，垂足分別為a1、b1、q，作bm⊥aa1垂足為m，bm交fq於n，則由條件易知∠abm＝30°，設|bf|＝t，則|nf|＝，|ma|＝，∵|am|＝|qn|，∴3－＝p－，∴p＝，∴拋物線方程為y2＝3x.
(理)(2010·泰安質檢)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的直線l依次交拋物線及其準線於點a、b、c，若|bc|＝2|bf|，且|af|＝3，則拋物線的方程是________．
[答案] y2＝3x
[解析] 解法1：過a、b作準線垂線，垂足分別為a1，b1，則|aa1|＝3，|bb1|＝|bf|，∵|bc|＝2|bf|，∴|bc|＝2|bb1|，∴|ac|＝2|aa1|＝2|af|＝6，∴|cf|＝3，
∴p＝|cf|＝，∴拋物線方程為y2＝3x.
解法2：由拋物線定義，|bf|等於b到準線的距離，由|bc|＝2|bf|得∠bcb1＝30°，又|af|＝3，
從而a在拋物線上，代入拋物線方程y2＝2px，解得p＝.
點評：還可以由|bc|＝2|bf|得出∠bcb1＝30°，從而求得a點的橫座標為|of|＋|af|＝＋或3－，∴＋＝3－，∴p＝.
13．已知f為拋物線c：y2＝4x的焦點，過f且斜率為1的直線交c於a、b兩點．設|fa|>|fb|，則|fa|與|fb|的比值等於________．
[答案] 3＋2
[解析] 分別由a和b向準線作垂線，垂足分別為a1，b1，則由條件知，
，解得，
∴＝3＋2，即＝3＋2.
14．(文)若點(3,1)是拋物線y2＝2px的一條弦的中點，且這條弦所在直線的斜率為2，則p
[答案] 2
[解析] 設弦兩端點p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，
則，兩式相減得，＝＝2，
∵y1＋y2＝2，∴p＝2.
(理)(2010·衡水市模考)設拋物線x2＝12y的焦點為f，經過點p(2,1)的直線l與拋物線相交於a、b兩點，又知點p恰為ab的中點，則|af|＋|bf
[答案] 8
[解析] 過a、b、p作準線的垂線aa1、bb1與pp1，垂足a1、b1、p1，則|af|＋|bf|＝|aa1|＋|bb1|＝2|pp1|＝2[1－(－3)]＝8.
三、解答題
15．(文)若橢圓c1：＋＝1(00)的焦點在橢圓c1的頂點上．
(1)求拋物線c2的方程；
(2)若過m(－1,0)的直線l與拋物線c2交於e、f兩點，又過e、f作拋物線c2的切線l1、l2，當l1⊥l2時，求直線l的方程．
[解析] (1)已知橢圓的長半軸長為a＝2，半焦距c＝，
由離心率e＝＝＝得，b2＝1.
∴橢圓的上頂點為(0,1)，即拋物線的焦點為(0,1)，
∴p＝2，拋物線的方程為x2＝4y.
(2)由題知直線l的斜率存在且不為零，則可設直線l的方程為y＝k(x＋1)，e(x1，y1)，f(x2，y2)，
∵y＝x2，∴y′＝x，
∴切線l1，l2的斜率分別為x1， x2，
當l1⊥l2時， x1·x2＝－1，即x1·x2＝－4，
由得：x2－4kx－4k＝0，
由δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.
又x1·x2＝－4k＝－4，得k＝1.
∴直線l的方程為x－y＋1＝0.
(理)在△abc中，⊥，＝(0，－2)，點m在y軸上且＝(＋)，點c在x軸上移動．
(1)求b點的軌跡e的方程；
(2)過點f的直線l交軌跡e於h、e兩點，(h在f、g之間)，若＝，求直線l的方程．
[解析] (1)設b(x，y)，c(x0,0)，m(0，y0)，x0≠0，
∵⊥，∴∠acb＝，
∴·＝－1，於是x02＝2y0①
m在y軸上且＝(＋)，
所以m是bc的中點，可得
，∴把②③代入①，得y＝x2(x≠0)，
所以，點b的軌跡e的方程為y＝x2(x≠0)．
(2)點f，設滿足條件的直線l方程為：
y＝kx－，h(x1，y1)，g(x2，y2)，
由消去y得，x2－kx＋＝0.
δ＝k2－1>0k2>1，
∵＝，即＝(x2－x1，y2－y1)，
∴x1＝x2－x13x1＝x2.
∵x1＋x2＝k，x1x2＝，∴k＝±，
故滿足條件的直線有兩條，方程為：8x＋4y＋＝0和8x－4y－＝0.
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