一、選擇題
1．(文)(2010·北京市延慶縣)函式f(x)＝lnx－的零點所在的區間是( )
a．(1,2b．(2，e)
c．(e,3d．(3,4)
[答案] b
[解析] ∵f(2)＝ln2－1<0，f(e)＝1－>0，故選b.
(理)(2010·北京東城區)若f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)＝0的兩個零點分別在區間(－1,0)和區間(1,2)內，則m的取值範圍是( )
ab.cd.
[答案] c
[解析] 由題意知，f(－1)·f(0)＝(2m－1)·(2m＋1)＝4m2－1<0，∴－2．(2010·四川)函式f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關於直線x＝1對稱的充要條件是( )
a．m＝－2b．m＝2
c．m＝－1d．m＝1
[答案] a
[解析] 由－＝1得，m＝－2.
3．(文)(2010·福建理，4)函式f(x)＝的零點個數為( )
a．0b．1
c．2d．3
[答案] c
[解析] 令x2＋2x－3＝0得，x＝－3或1
∵x≤0，∴x＝－3，令－2＋lnx＝0得，lnx＝2
∴x＝e2>0，故函式f(x)有兩個零點．
(理)(2010·福建省福州市)已知三個函式f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零點依次為a、b、c，則( )
a．ac．b[答案] b
[解析] 由於f(－1)＝－1＝－<0，f(0)＝1>0，故f(x)＝2x＋x的零點a∈(－1,0)；∵g(2)＝0，故g(x)的零點b＝2；h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，故h(x)的零點c∈，因此，a[點評] 求函式f(x)的零點可直接令f(x)＝0解方程；若f(x)為分段函式，則要注意每段上自變數的允許取值範圍；若是討論零點個數或比較零點的大小，常用單調性和圖象輔助討論．請再練習下列兩題：
①(2010·合肥市)函式f(x)＝的零點個數是( )
a．0 b．1 c．2 d．3
[答案] d
[解析] 令－x(x＋1)＝0得x＝0或－1，滿足x≤0；
當x>0時，∵lnx與2x－6都是增函式，
∴f(x)＝lnx＋2x－6(x>0)為增函式，
∵f(1)＝－4<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上有且僅有乙個零點，
故f(x)共有3個零點．
②(2010·吉林市質檢)函式f(x)＝x－sinx在區間[0,2π]上的零點個數為( )
a．1個 b．2個
c．3個 d．4個
[答案] b
[解析] 在同一座標系中作出函式y＝x與y＝sinx的圖象，易知兩函式圖象在[0,2π]內有兩個交點．
4．(2010·安徽江南十校聯考)某流程圖如圖所示，現輸入如下四個函式，則可以輸出的函式是( )
a．f(xb．f(x)＝＋
c．f(xd．f(x)＝lgsinx
[答案] c
[解析] 根據程式框圖知輸出的函式為奇函式，並且此函式存在零點．經驗證：f(x)＝不存在零點；f(x)＝＋不存在零點；f(x)＝的定義域為全體實數，且f(－x)＝＝－f(x)，故此函式為奇函式，且令f(x)＝＝0，得x＝0，函式f(x)存在零點；f(x)＝lgsinx不具有奇偶性．
5．(文)(2010·福州市質檢)已知函式f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函式，若對於任意x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(2009)＋f(－2010)的值為( )
a．－2b．－1
c．1d．2
[答案] c
[解析] 依題意得，x≥0時，有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0時，f(x)是以4為週期的函式．因此，f(2009)＋f(－2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(2)，而f(2)＝－f(0)＝－log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2009)＋f(－2010)＝1，故選c.
(理)(2010·安徽合肥質檢)已知函式f(x)＝，把函式g(x)＝f(x)－x的零點按從小到大的順序排列成乙個數列，則該數列的通項公式為( )
a．an＝(n∈n*)
b．an＝n(n－1)(n∈n*)
c．an＝n－1(n∈n*)
d．an＝2n－2(n∈n*)
[答案] c
[解析] 當x≤0時，f(x)＝2x－1；當0當1∴當x≤0時，g(x)的零點為x＝0；當0當1故a1＝0，a2＝1，a3＝2，…，an＝n－1.
6．(文)(2010·山東臨沂)若a，b在區間[0，]上取值，則函式f(x)＝ax3＋bx2＋ax在r上有兩個相異極值點的概率是( )
ab.cd．1－
[答案] c
[分析] ①f(x)在r上有兩個相異極值點，即f(x)在r上的變化規律為增→減→增(或減→增→減)．又f(x)為三次函式，故其導函式f ′(x)為二次函式，f ′(x)＝0應有兩不等實根，∴δ>0.
②凡涉及兩個變數在實數區間內取值的概率問題，一般都可以通過把這兩個變數看作座標平面內點的座標轉化為平面上的區域問題求解．
[解析] 易得f ′(x)＝3ax2＋2bx＋a，函式f(x)＝ax3＋bx2＋ax在r上有兩個相異極值點的充要條件是a≠0且其導函式的判別式大於0，即a≠0且4b2－12a2>0，又a，b在區間[0，]上取值，則a>0，b>a，點(a，b)滿足的區域如圖中陰影部分所示，其中正方形區域的面積為3，陰影部分的面積為，故所求的概率是.
(理)設a∈，b∈，則函式f(x)＝x3＋ax－b在區間[1,2]上有零點的概率為( )
ab.cd.
[答案] c
[解析] 因為f(x)＝x3＋ax－b，所以f ′(x)＝3x2＋a.因為a∈，因此f ′(x)>0，所以函式f(x)在區間[1,2]上為增函式．若存在零點，則
，解得a＋1≤b≤8＋2a.因此能使函式在區間[1,2]上有零點的有：a＝1,2≤b≤10，故b＝2，b＝4，b＝故b＝4，b＝8，b＝故b＝4，b＝8，b＝故b＝8，b＝12.
根據古典概型可得有零點的概率為.
7．(文)(2010·濟南一中)如圖，a、b、c、d是四個採礦點，圖中的直線和線段均表示公路，四邊形abqp、bcrq、cdsr近似於正方形，a、b、c、d四個採礦點的採礦量之比為6 2 3 4，且運礦費用與路程和採礦量的乘積成正比．現從p、q、r、s中選乙個中轉站，要使中轉費用最少，則應選( )
a．p點b．q點
c．r點d．s點
[答案] b
[解析] 設圖中每個小正方形的邊長均為1，a、b、c、d四個採礦點的採礦量分別為6a,2a,3a,4a(a>0)，設si(i＝1,2,3,4)表示運礦費用的總和，則只需比較中轉站在不同位置時si(i＝1,2,3,4)的大小．如果選在p點，s1＝6a＋2a×2＋3a×3＋4a×4＝35a，如果選在q點，s2＝6a×2＋2a＋3a×2＋4a×3＝32a，如果選在r處，s3＝6a×4＋2a×3＋3a＋4a×2＝33a，如果選在s處，s4＝6a×4＋2a×3＋3a×2＋4a＝40a，顯然，中轉站選在q點時，中轉費用最少．
(理)(2010·北京西城區抽檢)某航空公司經營a、b、c、d這四個城市之間的客運業務．它的部分機票**如下：a—b為2000元；a—c為1600元；a—d為2500元；b—c為1200元；c—d為900元．若這家公司規定的機票**與往返城市間的直線距離成正比，則b—d的機票**為( )
(注：計算時視a、b、c、d四城市位於同一平面內)
a．1000元b．1200元
c．1400元d．1500元
[答案] d
[解析] 注意觀察各地**可以發現：a、c、d三點共線，a、c、b構成以c為頂點的直角三角形，如圖可知bd＝5×300＝1500.
[點評] 觀察、分析、聯想是重要的數學能力，要在學習過程中加強培養．
8．定義域為d的函式f(x)同時滿足條件：①常數a，b滿足aa．1對b．2對
c．3對d．4對
[答案] c
[分析] 由「k級矩形」函式的定義可知，f(x)＝x3的定義區間為[a，b]時，值域為[a，b]，可考慮應用f(x)的單調性解決．
[解析] ∵f(x)＝x3在[a，b]上單調遞增，
∴f(x)的值域為[a3，b3]．
又∵f(x)＝x3在[a，b]上為「1級矩形」函式，
∴，解得或或，
故滿足條件的常數對共有3對．
[點評] 自定義題是近年來備受命題者青睞的題型，它能較好地考查學生對新知識的閱讀理解能力，而這恰是學生後續學習必須具備的能力，解決這類問題的關鍵是先仔細審題，弄清「定義」的含義，把「定義」翻譯為我們已掌握的數學知識．然後加以解決．
9．(文)(2010·江蘇南通九校)若a>1，設函式f(x)＝ax＋x－4的零點為m，g(x)＝logax＋x－4的零點為n，則＋的取值範圍是( )
a．(3.5b．(1，＋∞)
c．(4d．(4.5，＋∞)
[答案] b
[分析] 欲求＋的取值範圍，很容易聯想到基本不等式，於是需**m、n之間的關係，觀察f(x)與g(x)的表示式，根據函式零點的意義，可以把題目中兩個函式的零點和轉化為指數函式y＝ax和對數函式y＝logax與直線y＝－x＋4的交點的橫座標，因為指數函式y＝ax和對數函式y＝logax互為反函式，故其圖象關於直線y＝x對稱，又因直線y＝－x＋4垂直於直線y＝x，指數函式y＝ax和對數函式y＝logax與直線y＝－x＋4的交點的橫座標之和是直線y＝x與y＝－x＋4的交點的橫座標的2倍，這樣即可建立起m，n的數量關係式，進而利用基本不等式求解即可．
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