一、選擇題
1．已知矩形abcd，r、p分別在邊cd、bc上，e、f分別為ap、pr的中點，當p在bc上由b向c運動時，點r在cd上固定不變，設bp＝x，ef＝y，那麼下列結論中正確的是( )
a．y是x的增函式
b．y是x的減函式
c．y隨x的增大先增大再減小
d．無論x怎樣變化，y為常數
[答案] d
[解析] ∵e、f分別為ap、pr中點，∴ef是△par的中位線，∴ef＝ar，∵r固定，∴ar是常數，即y為常數．
2．(2010·湖南考試院)如圖，四邊形abcd中，df⊥ab，垂足為f，df＝3，af＝2fb＝2，延長fb到e，使be＝fb，鏈結bd，ec.若bd∥ec，則四邊形abcd的面積為( )
a．4b．5c．6d．7[答案] c
[解析] 由條件知af＝2，bf＝be＝1，
∴s△ade＝ae×df＝×4×3＝6，
∵ce∥db，∴s△dbc＝s△dbe，∴s四邊形abcd＝s△ade＝6.
3．(2010·廣東中山)如圖，⊙o與⊙o′相交於a和b，pq切⊙o於p，交⊙o′於q和m，交ab的延長線於n，mn＝3，nq＝15，則pn＝( )
a．3b.
c．3d．3[答案] d
[解析] 由切割線定理知：
pn2＝nb·na＝mn·nq＝3×15＝45，
∴pn＝3.
4．如圖，rt△abc中，cd為斜邊ab上的高，cd＝6，且adbd＝3 2，則斜邊ab上的中線ce的長為( )
a．5b.c.
d.[答案] b
[解析] 設ad＝3x，則db＝2x，由射影定理得cd2＝ad·bd，∴36＝6x2，∴x＝，∴ab＝5，
∴ce＝ab＝.
5．已知f(x)＝(x－2010)(x＋2009)的圖象與x軸、y軸有三個不同的交點，有乙個圓恰好經過這三個點，則此圓與座標軸的另乙個交點的座標是( )
a．(0,1)
b．(0,2)
c．(0，)
d．(0，)
[答案] a
[解析] 由題意知圓與x軸交點為a(2010,0)，
b(－2009,0)，與y軸交點為c(0，－2010×2009)，d(0，y2)．設圓的方程為：x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0
令y＝0得x2＋dx＋f＝0，此方程兩根為2010和－2009，∴f＝－2010×2009
令x＝0得y2＋ey－2010×2009＝0
∴－2010×2009×y2＝－2010×2009
∴y2＝1，故選a.
[點評] 圓與x軸交點a(2010,0)，b(－2009,0)與y軸交點c(0，－2010×2009)，d(0，y2)，
∵a、c、b、d四點共圓，∴ao·ob＝oc·od，
∴od＝1，∴y2＝1.
6．設平面π與圓柱的軸的夾角為β (0°<β<90°)，現放入dandelin雙球使之與圓柱面和平面π都相切，若已知dandelin雙球與平面π的兩切點的距離恰好等於圓柱的底面直徑，則截線橢圓的離心率為( )
a.b.
c.d.[答案] b
[解析] ∵dandelin雙球與平面π的兩切點是橢圓的焦點，圓柱的底面直徑恰好等於橢圓的短軸長，
∴2b＝2c，∴e＝＝＝＝.
二、填空題
7．如圖，pt切⊙o於點t，pa交⊙o於a、b兩點，且與直徑ct交於點d，cd＝2，ad＝3，bd＝6，則pb
[答案] 15
[解析] 由相交弦定理得dc·dt＝da·db，則dt＝9.
由切割線定理得pt2＝pb·pa，即(pb＋bd)2－dt2＝pb(pb＋ab)．又bd＝6，ab＝ad＋bd＝9，∴(pb＋6)2－92＝pb(pb＋9)，得pb＝15.
8．(09·天津)如圖，aa1與bb1相交於點o，ab∥a1b1且ab＝a1b1.若△aob的外接圓的直徑為1，則△a1ob1的外接圓的直徑為
[答案] 2
[解析] ∵ab∥a1b1且ab＝a1b1，∴△aob∽△a1ob1，∴兩三角形外接圓的直徑之比等於相似比，
∴△a1ob1的外接圓直徑為2.
9．如圖，eb、ec是⊙o的兩條切線，b、c是切點，a、d是⊙o上兩點，如果∠e＝46°，∠dcf＝32°，則∠a的度數是________．
[答案] 99°
[解析] 連線ob、oc、ac，根據弦切角定理得，
∠ebc＝∠bac，∠cad＝∠dcf，
可得∠a＝∠bac＋∠cad＝(180°－∠e)＋∠dcf＝67°＋32°＝99°.
[點評] 可由eb＝ec及∠e求得∠ecb，由∠ecb和∠dcf求得∠bcd，由圓內接四邊形對角互補求得∠a.
10．pc是⊙o的切線，c為切點，pab為割線，pc＝4，pb＝8，∠b＝30°，則bc
[答案] 4
[解析] (1)由切割線定理 pc2＝pa·pb，
∴pa＝2，∠acp＝∠b＝30°，
在△pac中，由正弦定理＝，
∴sin∠pac＝1，
∴∠pac＝90°，從而∠p＝60°，∠pcb＝90°，
∴bc＝＝＝4.
11．(2010·重慶文)如圖中實線是由三段圓弧連線而成的一條封閉曲線c，各段弧所在的圓經過同一點p(點p不在c上)且半徑相等，設第i段弧所對的圓心角為αi(i＝1,2,3)，則coscos－sinsin
[答案] －
[解析] 如圖，o1、o2、o3為三個圓的圓心，a1、a2、a3分別是每兩個圓的交點，則∠a1pa2＋∠a2pa3＋∠a3pa1＝(α1＋α2＋α3)＝2π，∴α1＋α2＋α3＝4π，
∴coscos－sinsin
＝cos＝cos＝cos
＝－cos＝－.
12．(2010·廣東中山市四校聯考)如圖，pa切圓o於點a，割線pbc經過圓心o，ob＝pb＝1，oa繞點o逆時針旋轉60°到od，則pd的長為________．
[答案]
[解析] 由圖可知，pa2＝pb·pc＝pb·(pb＋bc)＝3，∴pa＝，∴∠aop＝60°，
又∠aod＝60°，∴∠pod＝120°，∵po＝2，od＝1，
∴cos∠pod＝＝－，∴pd＝.
三、解答題
13．(2010·南京市調研)如圖，ab是⊙o的直徑，點p在ab的延長線上，pc與⊙o相切於點c，pc＝ac＝1，求⊙o的半徑．
[解析] 連線oc.
設∠pac＝θ.因為pc＝ac，所以∠cpa＝θ，∠cop＝2θ.
又因為pc與⊙o相切於點c，所以oc⊥pc.
所以3θ＝90°.所以θ＝30°.
設⊙o的半徑為r，在rt△poc中，
r＝cp·tan30°＝1×＝.
14．(2010·江蘇鹽城調研)如圖，圓o的直徑ab＝8，c為圓周上一點，bc＝4，過c作圓的切線l，過a作直線l的垂線ad，d為垂足，ad與圓o交於點e，求線段ae的長．
[解析] 鏈結oc、be、ac，則be⊥ae.
∵bc＝4，∴ob＝oc＝bc＝4，即△obc為正三角形，
∴∠cbo＝∠cob＝60°，
又直線l切⊙o於c，
∴∠dca＝∠cbo＝60°，
∵ad⊥l，∴∠dac＝90°－60°＝30°，
而∠oac＝∠aco＝∠cob＝30°，∴∠eab＝60°，
在rt△bae中，∠eba＝30°，∴ae＝ab＝4.
15．(2010·遼寧實驗中學)如圖，⊙o的直徑ab的延長線與弦cd的延長線相交於點p，e為⊙o上一點，ae＝ac，de交ab於點f，且ab＝2bp＝4，
(1)求pf的長度．
(2)若圓f與圓o內切，直線pt與圓f切於點t，求線段pt的長度．
[解析] (1)鏈結oc，od，oe，由同弧對應的圓周角與圓心角之間的關係，
結合題中條件弧長ae等於弧長ac可得∠cde＝∠aoc，
又∠cde＝∠p＋∠pfd，∠aoc＝∠p＋∠ocp，
從而∠pfd＝∠ocp，故△pfd∽△pco，
∴＝，由割線定理知pc·pd＝pa·pb＝12，
故pf＝＝＝3.
(2)若圓f與圓o內切，設圓f的半徑為r，
因為of＝2－r＝1，即r＝1，
所以ob是圓f的直徑，且過p點的圓f的切線為pt，
則pt2＝pb·po＝2×4＝8，即pt＝2.
高中數學第一輪複習學案12 《幾何證明選講》
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高中數學選修4 1幾何證明選講知識點梳理
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高中幾何證明選講
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