提要：「導數」是新課標高中數學新增內容，它不僅是研究函式單調性、極值、最值、討論函式圖象變化趨勢的重要工具，而且是學習高等數學的基礎。因此，近幾年高考中都把它作為重點內容進行考查。
本文通過例題說明導數的一些應用。
關鍵詞：導數的基本知識導數的幾何意義導數的應用
一、考試內容
導數的概念，導數的幾何意義，幾種常見函式的導數；
兩個函式的和、差、基本導數公式，利用導數研究函式的單調性和極值，函式的最大值和最小值。
二、考試要求
⑴了解導數概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等），掌握函式在一點處的導數的定義和導數的幾何意義，理解導函式的概念。
⑵熟記基本導數公式（c,x(m為有理數)，的導數）。掌握兩個函式四則運算的求導法則會求某些簡單函式的導數。
⑶了解可導函式的單調性與其導數的關係，了解可導函式在某點取得極值的必要條件和充分條件（導數要極值點兩側異號），會求一些實際問題（一般指單峰函式）的最大值和最小值。
三、雙基透視
導數是微積分的初步知識，是研究函式，解決實際問題的有力工具。在高中階段對於導數的學習，主要是以下幾個方面:
1．導數的常規問題：
（1）刻畫函式（比初等方法精確細微）；
（2）同幾何中切線聯絡（導數方法可用於研究平面曲線的切線）；
（3）應用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導數方法顯得簡便）等關於次多項式的導數問題屬於較難型別。
2．導數與解析幾何或函式圖象的混合問題是一種重要型別，也是高考中考察綜合能力的乙個方向，應引起注意。
3．曲線的切線
用割線的極限位置來定義了曲線的切線．切線方程由曲線上的切點座標確定，設為曲線上一點，過點的切線方程為：
4．瞬時速度
用物體在一段時間運動的平均速度的極限來定義瞬時速度，
5．導數的定義
對導數的定義，我們應注意以下三點：
(1)△x是自變數x在處的增量(或改變量)．
(2)導數定義中還包含了可導的概念，如果△x→0時，有極限，那麼函式y=f(x)在點處可導，才能得到f(x)在點處的導數．
(3)由導數定義求導數，是求導數的基本方法，必須嚴格按以下三個步驟進行：
(a)求函式的增量；
(b)求平均變化率；
(c)取極限，得導數。
6．導數的幾何意義
函式y=f(x)在點處的導數，就是曲線y=(x)在點處的切線的斜率．由此，可以利用導數求曲線的切線方程．具體求法分兩步：
(1)求出函式y=f(x)在點處的導數，即曲線y=f(x)在點處的切線的斜率；
(2)在已知切點座標和切線斜率的條件下，求得切線方程為
特別地，如果曲線y=f(x)在點處的切線平行於y軸，這時導數不存在，根據切線定義，可得切線方程為
7、 導數與函式的單調性的關係
㈠與為增函式的關係。
能推出為增函式，但反之不一定。如函式在上單調遞增，但，∴是為增函式的充分不必要條件。
㈡時，與為增函式的關係。
若將的根作為分界點，因為規定，即摳去了分界點，此時為增函式，就一定有。∴當時，是為增函式的充分必要條件。
㈢與為增函式的關係。
為增函式，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或。當函式在某個區間內恒有，則為常數，函式不具有單調性。∴是為增函式的必要不充分條件。
函式的單調性是函式一條重要性質，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關係，用導數判斷好函式的單調性。因此新教材為解決單調區間的端點問題，都一律用開區間作為單調區間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。
㈣單調區間的求解過程，已知
（1）分析的定義域；
（2）求導數
（3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區間
（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區間
㈤函式單調區間的合併
函式單調區間的合併主要依據是函式在單調遞增，在單調遞增，又知函式在處連續，因此在單調遞增。同理減區間的合併也是如此，即相鄰區間的單調性相同，且在公共點處函式連續，則二區間就可以合併為乙個區間。
8、已知
（1）若恒成立 ∴為上
∴ 對任意不等式恆成立
（2）若恒成立 ∴在上
∴ 對任意不等式恆成立
四、熱點題型分析
題型一：利用導數定義求極限
例1．已知f(x)在x=a處可導，且f′(a)=b，求下列極限：
（1）； （2）
解：（1）
（2）說明：只有深刻理解概念的本質，才能靈活應用概念解題。解決這類問題的關鍵是等價變形，使極限式轉化為導數定義的結構形式。
題型二：利用導數幾何意義求切線方程
例2．．已知曲線，曲線，直線與都有相切，求直線的方程。
解：設直線與的切點分別為，
又或，的方程為：或。
題型三：利用導數研究函式的單調性、極值、最值。
例3已知函式的切線方程為y=3x+1
（ⅰ）若函式處有極值，求的表示式；
（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，求函式在[－3，1]上的最大值；
（ⅲ）若函式在區間[－2，1]上單調遞增，求實數b的取值範圍
解：（1）由
過的切線方程為：
而過故 （1）（2）
∵ （3）
由（1）（2）（3）得 a=2，b=－4，c=5 ∴
（2）當
又在[－3，1]上最大值是13。
（3）y=f(x)在[－2，1]上單調遞增，又由①知2a+b=0。
依題意在[－2，1]上恒有≥0，即
①當；②當；
③當綜上所述，引數b的取值範圍是
題型四：導數與解析幾何、立體幾何的結合。
例4： 所以如圖所示，曲線段omb是函式的影象，軸於a，曲線段omb上一點處的切線pq交x軸於p，交線段ab於q.
（1）試用表示切線pq的方程；
（2）設△qap的面積為，若函式在上單調遞減，試求出的最小值；
（3），試求出點p橫座標的取值範圍.
解：（1）
切線pq的方程
（2）令y=0得
由解得. 又0g (t)在(m, n)上單調遞減，故（m, n）
（3）當在（0，4）上單調遞增，
∴p的橫座標的取值範圍為.
題型五：利用單調性、極值、最值情況，求引數取值範圍
例5：設函式
（1）求函式的單調區間、極值.
（2）若當時，恒有，試確定a的取值範圍.
解：（1）=，令得
列表如下：
∴在（a，3a）上單調遞增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上單調遞減
時，，時，
（2）∵，∴對稱軸，
∴在[a+1，a+2]上單調遞減
∴，依題， 即
解得，又 ∴a的取值範圍是
題型六：利用導數研究方程的根
例6：已知平面向量=(,－1).=(,).
（1）若存在不同時為零的實數k和t，使=+(t2－3)，=-k+t，⊥，
試求函式關係式k=f(t) ；
(2) 據(1)的結論，討論關於t的方程f(t)－k=0的解的情況.
解：(1)∵⊥，∴=0 即[+(t2-3)]·(-k+t)=0.
整理後得-k+[t-k(t2-3)]+ (t2-3)·=0
∵=0，=4，=1，∴上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)
(2)討論方程t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)=t(t2-3)與直線y=k的交點個數.
於是f′(t)=(t2-1)=(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當t變化時，f′(t)、f(t)的變化情況如下表：
當t=－1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=.
當t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=－
函式f(t)=t(t2-3)的圖象如圖13－2－1所示，
可觀察出：
(1)當k＞或k＜－時,方程f(t)－k=0有且只有一解；
(2)當k=或k=－時,方程f(t)－k=0有兩解；
(3) 當－＜k＜時,方程f(t)－k=0有三解.
題型七：導數與不等式的綜合
例7：已知函式，設，記曲線在點處的切線為。
（ⅰ）求的方程；
（ⅱ）設與軸的交點為，證明：①；②若，則。
解：（1）的導數，由此得切線的方程
，（2）依題意，在切線方程中令，得，
（ⅰ），
∴，當且僅當時取等成立。
（ⅱ）若，則，，且由（ⅰ），
所以。題型八：導數在實際中的應用
例8：某工廠每月生產x噸高附加值產品的總成本包括不變成本和可變成本兩部分，不變成本為800（萬元），可變成本為20x（萬元）．市場對這種商品的需求函式為p=100－x（0＜x＜100），其中p為這種商品的單價（單位：萬元），x為市場對這種商品的需求量（單位：
噸），假設每月生產的產品能全部售出（產銷平衡）．
（1）把月利潤y（萬元）表示為產量x（噸）的函式（利潤＝銷售收入－成本）；
（2）每月生產多少噸時，能獲得最大利潤？此時產品的單價為多少？
解：（1）y=p·x－20x－800
=x·(100－x)－20x－800=－x2+80x－800
（2）y=－x2+80x－800=－（x－40）2+800 ∴當x=40時，ymax=800.
此時單價p=100－x=60 ∴每生產40噸，能獲得最大利潤單價60萬元.
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