趣題引入
正三稜錐中，在稜上，在稜上，並使，設為異面直線與所成的角，為異面直線與所成的角，則的值是
a． b． c． d．
分析：解本題通常方法是畫乙個圖，但不容易求解，只有緊緊抓住的兩個極端值才能快速獲解。
解：當時，，且，從而。因為（正三稜錐中對稜互相垂直），排除選擇支。故選d（或時的情況，同樣可排除）
技巧精髓
一、選擇題中的題幹、選項和四選一的要求都是題目給出的重要資訊，答題時要充分利用。
二、解答選擇題的基本原則是小題不能大做，小題需小做、繁題會簡做、難題要巧做。求解選擇題的基本方法是以直接思路肯定為主，間接思路否定為輔，即求解時出了用直接計算方法之外還可以用逆向化策略、特殊化策略、圖形化策略、整體化策略等方法求解。
三、解答選擇題應注意以下幾點：認真審題、先易後難、大膽猜想、小心驗證。
1、逆向化策略
在解選擇題時，四個選項以及四個選項中只有乙個答案符合題目要求都是做題的重要資訊，逆向化策略是把四個選項作為首先考慮的資訊。解題時，要「盯住選項」，著重通過對選項的分析、考查、驗證、推斷而進行肯定或否定，或者根據選項之間的關係進行邏輯分析和篩選，從而迅速找到所要選擇的、符合題目的選項。
【例1】（2023年，天津卷）設是函式的反函式，則使成立的x的取值範圍為
a． b． c． d．
【綠色通道】本題用直接法求解是先求出反函式，然後帶入已知得到乙個不等式，轉化為解乙個無理不等式問題，但運算量大。實際上由，得， 即，此時並不需要往下計算，觀察四個選項的特點，可以發現，只有選項a是大於某個數的形式，而b、c、d都不是大於某個數的形式，故選a答案。
【警示啟迪】逆向化策略與直接求解策略的解題方向相反，是充分利用題目中的選項資訊進行解題的一種策略，但在解題時逆向化策略其他解題策略結合起來使用。
【例2】（2023年，重慶卷）一元二次方程有乙個正根和乙個負根的充分不必要條件是：
ab． cd．
【綠色通道】本題的直接解法並不難，而且有多種解法。只需利用方程與函式的對應關係，把有乙個正根和乙個負根轉化為函式與軸的交點在原點的兩側。但本題只需從選項入手，通過對選項的分析，找出答案，首先對四個選項進行邏輯分析。
若a成立，則c也成立，即選 a必選c
；若b成立，則d也成立，即選 b必選d，所以a、b都不正確。現在只需研究c、d。對於d可以取，此時方程無實根，故d不成立，答案選c
【警示啟迪】邏輯分析法可分為以下三個方面：①若「a」真b真；則a必假，否則它將與「有且只有乙個正確答案」的前提矛盾；②若a、 b是等價命題，即「」，則a、 b均為假，可同時排除；③若a、 b為互補命題（a、 b成矛盾對應關係），則必有一真，即非a即b。
2、特殊化策略
在求解數學問題時，如果要證明乙個數學問題是正確的，就要證明該問題在所有可能的情況下都正確，但是要否定乙個問題，則只要舉出乙個反例就夠了，基於這一原理，在解選擇題時，可以通過取一些特殊數值、特殊點、特殊數列、特殊圖形、特殊角、特殊位置等對各個選項進行驗證，從而可以否定和排除不符合題目要求的選項，在根據四個選項中只有乙個答案符合題目要求這一資訊，就可以間接地得到符合題目要求的選項。這時一種解選擇題的特殊化策略。
【例3】（2023年，陝西卷）各項均為正數的等比數列的前n項和為sn,若sn=2,s3n=14, 則s4n等於
（a）80 （b）30 （c）26 （d）16
【綠色通道】本題直接解也並不困難，只是運算量大，但是對於這道題，只需取特殊值便可求解了。
取則又即
∵∴即∴
解之得：（捨去）， 故所求為故選b
【警示啟迪】在題設普遍條件下都成立的情況下，用特殊值（取得越簡單越好）進行探求，從而清晰、快捷地得到正確的答案，即通過對特殊情況的研究來判斷一般規律，是解答本類選擇題的最佳策略。
【例4】（2023年，安徽卷）定義在r上的函式既是奇函式，又是週期函式，t是它的乙個正週期，若將方程f(x)=0在閉區間[－t，t]上的根的個數記為n，則n可能為
（a）0 （b）1 （c）3 （d）5
【綠色通道】本題沒有給出具體的函式，所以不能直接求解，可以選取乙個符合題目要求的函式，例如設滿足條件的函式為： ，則而從在上有5個根。故選d
【警示啟迪】特殊化策略是將一般問題特殊化，用構造滿足題設條件的特殊函式或圖形的特殊位置直接求解的方法，它充分利用選擇題的特點，將抽象問題具體化，它是「繁題會簡做」重要策略的體現，要求平時善於積累常見函式，並能熟練掌握它們的圖象和性質
3、圖形化策略
圖形化策略是以數形結合的數學思想為指導的乙個解題策略，圖形化策略是依靠圖形的直觀進行選擇的，用這種策略解題比直接計算求解更能抓住問題的實質，從而簡捷迅速地得到結果，
[例5] （2023年，全國卷）在（0，2π），使sinx>cosx成立的x的取值範圍為（ ）
a、 b、 c、 d、
【綠色通道】本題可利用三角函式的圖象和畫單位圓，選c。
【警示啟迪】據題設條件作出所研究問題的曲線或有關圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正確的判斷。 有的選擇題可通過命題條件的函式關係或幾何意義，作出函式的圖象或幾何圖形，借助於圖象或圖形的作法、形狀、位置、性質，綜合圖象的特徵，得出結論。
【例6】(2023年，上海卷)
設定義域為r的函式，則關於的方程有7個不同實數解的充要條件是（ ）
(a)且b)且
(c)且d)且
【綠色通道】畫出函式的影象,該影象關於直線對稱且,令,若
有7個不同實數解,則方程有2個不同
實數解,且為一正根,一零根.因此,且,故選(c).
【警示啟迪】在選擇題中，常常遇到下面一些問題可以借助圖形分析幫助解決。
（1）求方程解的個數：可以畫出方程兩邊的函式圖象，通過觀察圖象交點的個數來研究方程解的個數。
（2）求引數的範圍：可以研究引數的幾何意義以及這些幾何意義的變化狀態，通過幾何意義的變化狀態反映出引數的範圍。
（3）求最值：通過研究與最值有關的幾何圖形或圖形的極端位置得到最值。
（4）解不等式：可以研究不等式兩邊的函式圖象的相關位置關係，尋找符合不等要求的的取值範圍。
（5）求值：可以構造與所求值的幾何意義有關的圖形，通過計算圖形的有關資料，得到所需要的值。
4、極限化策略
有一些選擇題中，有一些任意選取或者變化的元素，我們對這些元素的變化趨勢進行研究，分析它們的極限情況或者極端位置，並進行估算，以次來判斷選擇的結果，這種通過動態的變化或對極端取值來解選擇題的策略是一種極限化策略。
【例7】（2023年，北京卷）對任意的銳角，下列不等關係中正確的是
a． b．
c． d．
【綠色通道】當，時而，排除a
當，時，而，排除
當，時，而排除c
選d.【警示啟迪】 用極限法是解選擇題的一種有效方法，也是在選擇題中避免「小題大做」的有效途徑。它根據題幹及選擇支的特徵，考慮極端情形，有助於縮小選擇麵，計算簡便，迅速找到答案。
4、整體化策略
在解選擇題時，有時並不需要把題目精解出來，而是從題目的整體去觀察、分析和把握，通過對整體反映的性質或者對整體情況的合理估算、猜測，從而忽略具體的細節，縮短解題過程，迅速確定具體問題的結果。這是一種從整體出發進行解題的策略。
【例8】（2023年，全國卷）曲線上的點到兩座標軸的距離之和的最大值之為（ ）
（a） （bc）1 （d）
【綠色通道】本題可以直接計算，但我們採用整體估算的方法
∵曲線上的點到兩座標軸的距離之和不小於1，且不會等於1（因為直角三角形兩直角邊之和大於斜邊）故選（d）
【警示啟迪】估算，省去了很多推導過程和比較複雜的計算，節省了時間，從而顯得快捷.其應用廣泛，它是人們發現問題、研究問題、解決問題的一種重要的運算方法.
【例9】（2023年，全國卷）如圖，在多面體abcdef中，已知面abcd是邊長為3的正方形，ef∥ab，ef，ef與面ac的距離為2，則該多面體的體積為（ ）
（a） （b）5
（c）6 （d）
【綠色通道】由已知條件可知，ef∥平面abcd，則f到平面abcd的距離為2，
∴vf－abcd＝·32·2＝6，而該多面體的體積必大於6，故選（d）.
【警示啟迪】由於選擇題提供了唯一正確的選擇支，解答又無需過程.因此可以猜測、合情推理、估算而獲得.這樣往往可以減少運算量，當然自然加強了思維的層次.
總之，解答選擇題一定要「六忌」、「四注意」。六忌：一忌落入陷阱；二忌小題大做；三忌思維定勢；四忌只觀其表；五忌顧此失彼；六忌隱而不見。
四注意：審題要仔細；要求要看清；目標要明確；結果要檢驗。
【思維挑戰】
1、（2023年，全國卷）雙曲線的半焦距為，直線過，
兩點，已知原點到直線的距離為，則雙曲線的離心率於
（a）2 （b） （c） （ d）
2、（2023年，全國i卷）△abc的內角a、b、c的對邊分別為a、b、c. 若a、b、c成等比數列，且
（a） （b） （c） （d）
3、（2023年，湖南卷）若直線y=2a，與函式y=|ax—1|（a>0，且a≠1）的圖象有兩個公共點，則a的取值範圍是
a．（0，） b．（，1） c． d．（0，1）
4、（2023年，湖北卷）若的大小關係
a． b． c． d．與x的取值有關
【答案諮詢】
1、提示：∵ 即∴從而
結合答案很快就選a
2、提示：令，則則
故選b。
3、提示：本題是由2023年湖南卷填空題而改編，若a>1，畫出y=|ax—1|的圖象，因為a>1，2a>2，所以y=2a與y=|ax—1|只有乙個交點。
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