小學數學競賽學習材料
四年級下期
第一講定義新運算
同學們對於「加、減、乘、除」四則運算已經相當熟悉了。為了擴充套件對運算的認識，在四則運算的基礎上，還可以按需要規定新的運算。
例1 設a、b都表示數，規定a△b＝3×a－2×b。
(1) 求4△3，3△4。
(2)這種運算有「交換律」嗎？
(3)求(17△6)△2，17△(6△2)。
(4)這種運算有「結合律」嗎？
(5)如果已知5△b＝1，求b。
解：像這樣的題目叫做「定義新運算」。這裡，「△」當作一種新的運算符號來使用，它的意義是：
如等號右端所要求的那樣，先求出3×a和2×b的值，再求出3×a與2×b的差。弄清了新定義運算的意義之後，就要嚴格按照要求進行操作。仍然要先做括號裡面的。
所以：(1)4△3＝3×4－2×3＝12－6＝6。3△4＝3×3－2×4＝9－8＝1。
(2)由(1)可知，4△3與3△4的結果不同，所以，這種運算沒有「交換律」。
(3)(17△6)△2＝(3×17－2×6)△2＝(51－12)△2＝39△2＝3×39－2×2＝117－4＝113。
17△(6△2)＝17△(3×6－2×2)＝17△(18－4)＝17△14＝3×17－2×14＝51－28＝23。
(4)由(3)可知，(17△6)△2與17△(6△2) 的結果不同，所以，這種運算也沒有「結合律」。
(5)因為5△b＝3×5－2×b＝15－2b，而15－2b＝1，所以2b＝15－1，2b＝14，b＝7。
通過這個例題使我們認識到，所謂的「新運算」並不神秘，它只不過是對原有的四則運算的一種綜合運用而已。在做這類題目時，關鍵是要弄清楚新運算的意義是什麼，並且要嚴格按照它的意義進行運算。
例2 如果a＃b＝2×a＋3×b，a*b＝(a＋b)÷2，那麼(3*5)＃7＝？
解：「＃」的意義是先求出2×a和3×b，再求出2×a與3×b的和。「*」的意義顯然是求a、b的平均數。
因為3*5＝(3＋5)÷2＝4，所以，(3*5)＃7＝4＃7＝2×4＋3×7＝29。
例3 規定：a＆b＝a＋(a＋1)＋(a＋2)＋…＋(a＋b－1)，其中a、b表示自然數。
(1)求1＆100的值；
(2)已知x＆10＝75，求x。
解：(1) a＋(a＋1)＋(a＋2)＋…＋(a＋b－1)
＝1＋(1＋1)＋(1＋2)＋…＋(1＋100－1)
＝1＋2＋3＋…＋100
＝(1＋100)×100÷2
＝101×100÷2
＝5050。
(2) x＋(x＋1)＋(x＋2)＋…＋(x＋10－1)＝75
10x＋(1＋2＋…＋9)＝75
10x＋45＝75
10x＝75－45
10x＝30
x＝30÷10
x＝3 例4 羊和狼在一起時，狼要吃掉羊，所以關於羊和狼，我們規定一種運算，用符號△表示：
羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。
以上運算的意思是：羊和羊在一起還是羊；狼和狼在一起還是狼；但是狼和羊在一起就只剩下狼了。
小朋友總是希望羊能戰勝狼，所以我們規定另一種運算，用符號☆表示：
羊★羊＝羊；羊★狼＝羊；狼★羊＝羊；狼★狼＝狼。
這個運算的意思是：羊和羊在一起還是羊；狼和狼在一起還是狼；但是由於羊能戰勝狼，當狼和羊在一起時，它便被羊趕走而幾隻剩下羊了。
對羊或狼，可以用上面規定的運算作混合運算，混合運算的法則是從左到右，括號內先算。運算的結果或者是羊，或者是狼。那麼求下式的結果：
羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼)。
解：羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼)
＝羊△羊★羊△狼
＝羊★羊△狼
＝羊△狼
＝狼練習一
1．設a、b都表示數，規定：a△b表示a的4倍減去b的3倍，即a△b＝4×a－3×b。試計算：
(1)5△6；
(2) 6△5。
2．a、b是自然數，規定a＊b＝a×5＋b÷3，求8＊9。
3．設a▼b＝8×a－18÷b，求7▼9＝？
4．規定a☆b＝(a＋3)×(b－5)，求5☆(6☆7)的值。
5．設a▽b＝a×b＋a－b，試求5▽8。
6．如果規定a※b＝13×a－b÷8，那麼17※24的最後結果是多少？
7．設a、b都表示數，規定：a△b＝2×a＋b÷2。求
(1)10△6；
(2)7△(4△8)。
8．規定a＠b＝b×b－a，計算(2＠3)＠(4＠5)。
9．如果規定a△b＝4×a＋3×b－1，那麼5△7和7△5相等嗎？
10．對於兩個數x、y，x☉y表示y×a－x×2，並且已知82☉65＝31。計算：
(1)29☉57；
(2)38☉(14☉23)。
11．如果3◇4＝3＋4＋5＋6＝18，6◇5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。計算2000◇6。
12．如果的意義與通常相同，而式子中的數字卻不是原來的數字，試問下面的四個算式應該是我們通常的哪四個算式？
(1)8×7＝8；(2)7×7×7＝6；(3)(7＋8＋3)×9＝39；(4)3×3＝3。
第二講圖形問題(一)
例1 有大、小兩個正方形，它們的周長相差16厘公尺，面積相差80平方厘公尺，那麼小正方形的面積是多少平方厘公尺？
解：把小正方形重疊地放在大正方形的左上角如圖，因為它們的邊長相差16÷4＝4(厘公尺)，所以圖中正方形b的面積是4×4＝16(平方厘公尺)，又因為陰影部分的面積是(80－16)÷2＝32(平方厘公尺)，所以原來的小正方形(正方形a)的邊長是32÷4＝8(厘公尺)，面積是8×8＝64(平方厘公尺)。ab
例2 下面的整個圖形是乙個邊長40厘公尺的正方形，求圖中陰影部分的面積。
解法一：圖形的總面積是40×40＝1600(平方厘公尺)。每個小空白正方形的對角線是20厘公尺，根據「正方形的面積等於對角線的平方除以2」，每個空白小正方形的面積是20×20÷2＝200(平方厘公尺)，所以圖中陰影部分的面積是1600－200×4＝800(平方厘公尺)。
解法二：仔細觀察發現，圖中陰影部分的面積與空白部分的面積正好相等，所以，陰影部分的面積是40×40÷2＝800(平方厘公尺)。
例3 如圖，陰影部分是乙個長方形，它的四周是四個正方形，如果這四個正方形的周長的和是240厘公尺，面積的和是1000平方厘公尺，那麼陰影部分的面積是多少平方厘公尺？
解：圖中兩個小正方形相同，兩個大正方形也相同，所以乙個小正方形和乙個大正方形的面積的和是1000÷2＝500(平方厘公尺)。乙個小正方形和乙個大正方形的邊長的和是240÷2÷4＝30(厘公尺)。
在原圖的右上角補上乙個同樣的長方形，得到乙個新的正方形如圖
這個新正方形的面積是30×30＝900(平方厘公尺)，所以乙個長方形也就是原圖的陰影部分的是(900－500)÷2＝200(平方厘公尺)。
例4 如圖，矩形abcd被分成六個正方形，其中最小的正方形的面積等於1，矩形abcd的是多少？
a b
d c
解：如果設右下角正方形的邊長為a，那麼，左下角正方形的邊長就是a＋1，左上角正方形的邊長就是a＋1＋1，右上角正方形的邊長就是a＋1＋1＋1。因為cd＝ab，所以a＋a＋(a＋1)＝(a＋1＋1)＋(a＋1＋1＋1)，即3×a＋1＝2×a＋5，於是a＝4。
從而，cd＝a＋a＋(a＋1)＝13，ad＝(a＋1)＋(a＋1＋1)＝11。因此，矩形abcd的面積是13×11＝143。
練習二1．已知甲是正方形，乙是長方形，圖形的周長是多少厘公尺？
甲3 乙
1582．把所有周長為22，且4條邊的長度都是整數的長方形的面積加起來，和是多少？
3．乙個正方形，如果一組對邊各增加10厘公尺，另一組對邊各減少6厘公尺，那麼，所得長方形的面積與原來正方形的面積相等。原來正方形的面積是多少平方厘公尺？
4．下圖中陰影部分a和陰影部分b的面積，哪個大？ab
5．一塊長方形玻璃，長截去5分公尺，寬截去3分公尺，剩下的部分是正方形。已知截去的面積是71平方分公尺，那麼剩下的正方形的面積是多少平方分公尺？
6．四個大小相同的正方形拼成乙個大正方形後，周長比原來的四個正方形周長的和少了40厘公尺，原來每個正方形的周長是多少厘公尺？如果把這四個小正方形拼成的乙個長方形，那麼這個長方形的周長是多少？
7．如圖，已知大、小兩個正方形的邊長之和是20厘公尺，並且大正方形比小正方形的面積大40平方厘公尺，大正方形的面積是多少平方厘公尺？
8．有一塊如圖所示的紙板，把它剪成三塊後再拼成乙個正方形，應該怎樣剪拼，請畫圖表示2
2 3
9．如圖，乙個大長方形被分成了4個小長方形，圖中數字是它們的面積，陰影部分的面積是多少？
1957 45
10．將邊長為a的正方形各邊的中點鏈結成第二個正方形，再將第二個正方形各邊的中點鏈結成第三個正方形，依此規律繼續下去得到下圖。那麼邊長為a的正方形的面積是圖中陰影部分面積的多少倍？
11．在乙個正方形水池四周，環繞著一條寬2公尺的路，這條路的面積是120平方公尺，那麼水池的面積是多少平方公尺？
12．如圖所示，陰影部分是乙個長3分公尺、寬2分公尺的長方形，我們需要用14張邊長1分公尺的正方形紙片才能將它圍起來。現在有乙個面積為124平方分公尺，且長和寬都是整數分公尺的長方形，那麼至少需要多少張邊長1分公尺的正方形紙片才能用同樣的方法將其圍起來？（2023年浙江省小學數學競賽試題）
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