第1章主要介紹集合論的基本概念和結論，集合的運算及其性質，以及利用運算性質進行集合表示式的化簡和集合恒等式的證明等內容．考試經常涉及到的題型有以下4個：
集合與集合之間的包含、元素與集合之間的屬於關係
冪集的計算
集合之間的運算
利用集合運算性質證明集合恒等式
大家對於集合與集合、元素和集合之間的關係往往容易混淆，那讓我們來仔細分析下二者的區別。
1.集合與集合之間存在一種包含關係，用、、、等符號表示
①對任意兩個集合a和b，若b中的每個元素都是a中的元素，則稱b為a的子集，用ba（b為a的子集）或ab（b被a包含）表示．若b不是a的子集，即ba不成立時，則稱a不包含b，記作ba．
②空集是任意乙個集合的子集，集合a也是自己的子集．
③對任意兩個集合a和b，若ba且b≠a，則稱b為a的真子集，用ba或ab表示．
2.元素與集合之間存在一種從屬關係，用∈、等符號表示
當a是集合a中的元素，則稱a屬於a，記作a∈a；
若a不是集合a中的元素，則稱a不屬於a，記作aa．
那麼在考試中是怎樣考的呢？我們來看2道歷年真題：
[例1]若集合a＝，}，則下列表述正確的是(c )． （2023年9月試卷第1題）
a．}∈a b．a c．a d．∈a
[分析]
選項a，錯了．
因為}是集合a＝，}的子集，集合之間應該用包含關係表示，即}a．
選項b，錯了．
因為2不是集合a＝，}的元素，當然也不是a的子集．正確的表示方法是a．
選項c，正確．
因為a是集合a＝，}的元素，所以取元素a組成乙個集合就是a的子集，用包含關係表示是正確的．
注意：也是集合a的元素，若屬於關係∈也是正確的．
選項d，錯了．
因為空集是任意乙個集合的子集，所以也是a的子集，集合之間應該用包含關係表示，即a．
[例2]若集合a=，b=}，則（ ）． （2023年7月試卷第1題）
a．ab，且a∈b b．a∈b，但ab
c．ab，但ab d．ab，且ab
[答案]a
[分析]
選項a，正確．
因為集合a=既是取集合b=}中元素a，b組成的乙個集合，是b的乙個真子集，用ab表示是正確的；但它也是b的元素，所以用a∈b表示也是正確的．
選項b，錯了．
選項中第乙個式子a∈b是正確的，但第二個式子ab是錯的．因為集合a=是取集合b=}中元素a，b組成的乙個集合，是b的乙個真子集，應該用ab表示，而不是用ab表示．
選項c，錯了．
選項中第乙個式子ab是正確的，但第二個式子ab是錯的．因為集合a=是集合b=}中元素，應該用a∈b表示，而不是用ab表示．
選項d，錯了．
因為集合a=是取集合b=}中元素a，b組成的乙個集合，是b的乙個真子集，應該用ab表示，而不是用ab表示．
又因為集合a=是集合b=}中元素，應該用a∈b表示，而不是用ab表示．
冪集的計算比較簡單，先來看什麼是冪集呢？
由集合a的所有子集組成的集合，稱為a的冪集，記作p(a)或2a ．若集合a是由n個元素所組成的集合，則a的冪集由2n元素組成．當n=3時，a的冪集由23=8個元素組成．
舉個例子來說，大家就會覺得比較簡單了．設集合a = ，則a的全部子集由以下子集組成：
0元子集（即空集）：；
1元子集：，，；
2元子集：，，；
3元子集（即集合a）：．
因此，計算集合a的冪集時，首先要按照上述方法寫出集合a的全部子集，然後檢驗寫出的子集個數是否等於2n 個，其中n是集合a的元素個數
那麼在考試中是怎樣考的呢？我們來看2道歷年真題：
[例1] 若集合a的元素個數為10，則其冪集的元素個數為( )． （2023年7月試卷第3題
a．1024b．10
c．100d．1
[答案]：a
[分析]
由集合a的所有子集組成的集合，稱為a的冪集，記作p(a)或2a.
若集合a是由n個元素所組成的集合，則a的冪集由2n元素組成．本題集合a有10個元素，因此a的冪集由210=1024個元素組成．
所以選項a是正確，其他選項都不對．
【易錯點】
當n比較大時，有些同學可能不會計算2的n次冪，即把210計算錯了．【提示】
若集合a有n個元集，則其冪集p(a )有2n個元素．
[例2] 設集合a＝，那麼集合a的冪集是2023年7月試卷第6題）
[答案]：，，}
[分析]
按照冪集定義，集合a＝的所有子集就是a 的冪集．
a的全部子集由以下子集組成：
0元子集（即空集）：；
1元子集：，；
2元子集（即集合a）：．
所以，集合a的冪集是：，，}
集合之間的運算有並（∪）、交（∩）、差（-）、補（~）和對稱差（）等五種運算，在做集合運算的題目時，一定要按照它們的定義進行計算。
(1) 集合a和b的並集
a∪b＝
特點：所有屬於a或屬於b的元素組成的集合．見圖1
(2) 集合a和b的交集
a∩b＝
特點：既屬於a又屬於b的所有元素組成的集合．見圖2
(3) 集合a和b的差集
a-b＝
特點：由屬於a，而不屬於b的所有元素組成的集合．見圖3
(4) 集合a的補集
~a =
特點：由屬於全集e但不屬於集合a的元素組成的集合．見圖4
補集總相對於乙個全集而言，可以看作是全集e與集合a的差集．
(5) 集合a與b的對稱差
ab＝(a-b)∪(b-a)
或 ab＝(a∪b)-(a∩b)
特點：由分別屬於集合a與b的元素但不屬於它們公共元素組成的集合．見圖5
(6) 把集合a，b合成集合a×b叫做笛卡兒積，規定
a×b＝
注意：由於有序對中x, y的位置是確定的，因此a×b的記法也是確定的，不能寫成b×a.．
笛卡兒積的運算一般不能交換.．
雖然笛卡兒積的內容是第2章2.1.1目的內容，是二元關係的預備知識，但我們認為把它作為集合的一種運算考慮更好些。
那麼在考試中是怎樣考的呢？我們來看2道歷年真題：
[例1] 設a=,, 1, 2}，b=}，試計算 （2023年9月試卷第17題
（1）a-b； （2）a∩b； （3）a×b [分析]
（1）求集合a與b的差集a-b，就是求屬於a而不屬於b的所有元素組成的集合．即
a-b= ,, 1, 2}-}= ,}．
（2）求集合a與b的交集a∩b，就是求由集合a和b的公共元素組成的集合．即
a∩b =,, 1, 2}∩}=．
（3）求集合a與b的笛卡兒積a×b，就是求乙個元素是有序對的集合，而這些有序對的第乙個元素取自集合a，第二個元素取自集合b．即
a×b=,, 1, 2}×}=, 1>，<, 2>，<, >，<, 1>，<, 2>，<,>，<1, 1>，<1, 2>，<1, >，<2, 1>，<2, 2>，<2, >}
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