離散數學集合論部分形成性考核書面作業
本課程形成性考核書面作業共3次，內容主要分別是集合論部分、圖論部分、數理邏輯部分的綜合練習，基本上是按照考試的題型（除單項選擇題外）安排練習題目，目的是通過綜合性書面作業，使同學自己檢驗學習成果，找出掌握的薄弱知識點，重點複習，爭取盡快掌握．本次形考書面作業是第一次作業，大家要認真及時地完成集合論部分的綜合練習作業．
要求：學生提交作業有以下三種方式可供選擇：
1. 可將此次作業用a4紙列印出來，手工書寫答題，字跡工整，解答題要有解答過程，完成作業後交給輔導教師批閱．
2. **提交word文件
3. 自備答題紙張，將答題過程手工書寫，並拍照上傳．
一、填空題
1．設集合，則p(a)-p(b )= ，，，} ，a b= ．
2．設集合a有10個元素，那麼a的冪集合p(a)的元素個數為 1024 ．
3．設集合a=，b=，r是a到b的二元關係，
則r的有序對集合為 ，<3,3> ．
4．設集合a=，b=， a到b的二元關係
r＝那麼r－1＝
5．設集合a=｛a, b, c, d｝，a上的二元關係r=，則r具有的性質是沒有任何性質 ．
6．設集合a=｛a, b, c, d｝，a上的二元關係r=，若在r中再增加兩個元素 ，則新得到的關係就具有對稱性．
7．如果r1和r2是a上的自反關係，則r1∪r2，r1∩r2，r1-r2中自反關係有 2 個．
8．設a=上的二元關係為r=，則r的自反閉包為 ，b=，那麼集合a到b的雙射函式是<1, a >, <2, b >}或上的二元關係r=，則
(1) r是自反的關係2) r是對稱的關係．
（1）錯誤。r不具有自反的關係，因為<3,3>不屬於r。
（2）錯誤。r不具有對稱的關係，因為<2,1>不屬於r。
2．如果r1和r2是a上的自反關係，判斷結論：「r-11、r1∪r2、r1∩r2是自反的」 是否成立？並說明理由．
解：成立．
因為r1和r2是a上的自反關係，即iar1，iar2。
由逆關係定義和iar1，得ia r1-1；
由iar1，iar2，得ia r1∪r2，ia r1r2。
所以，r1-1、r1∪r2、r1r2是自反的。
3．若偏序集的哈斯圖如圖一所示，
則集合a的最大元為a，最小元不存在．
解：錯誤．
集合a的最大元不存在，a是極大元．
4．設集合a=，b=，，判斷下列關係f是否構成函式f：，並說明理由．
(1) f=； (2)f=；
(3) f=．
（1）不構成函式。因為對於3屬於a，在b中沒有元素與之對應。
（2）不構成函式。因為對於4屬於a，在b中沒有元素與之對應。
（3）構成函式。因為a中任意乙個元素都有a中唯一的元素相對應。
三、計算題
1．設，求：
(1) (ab)~c； (2) (ab)- (ba) (3) p(a)－p(c)； (4) ab．
解： (1) (a∩b)∪~c=∪=
(2) (a∪b)- (b∩a)=-=
(3) p(a) =,,} p(c)=,,} p(a)－p(c)=,}
(4) a⊕b= (a∪b)- (b∩a)=
2．設a=,,1,2}，b=}，試計算
（1）（ab）； （2）（a∩b）； （3）a×b．
解：（1）ab =,}
（2）a∩b =,1>，<,2>，<,>，<,1>，<,2>，
<,>，<1,1>，<1,2>，<1, >，<2,1>，<2,2>,
<2, >}
3．設a=，r=，s=，試求r，s，rs，sr，r-1，s-1，r(s)，s(r)．
解：r=
s=空集 r*s=空集 s*r=空集
r-1=
s-1 =空集
r(s)=
s(r)=
4．設a=，r是a上的整除關係，b=．
(1) 寫出關係r的表示式2 )畫出關係r的哈斯圖；
(3) 求出集合b的最大元、最小元．
(1)r=
(3)集合b沒有最大元，最小元是2
四、證明題
1．試證明集合等式：a (bc)=(ab) (ac)．
1．證明：設，若x∈a (bc)，則x∈a或x∈bc，
即 x∈a或x∈b 且 x∈a或x∈c．
即x∈ab 且 x∈ac ，
即 x∈t=(ab) (ac)，
所以a (bc) (ab) (ac)．
反之，若x∈(ab) (ac)，則x∈ab 且 x∈ac，
即x∈a或x∈b 且 x∈a或x∈c，
即x∈a或x∈bc，
即x∈a (bc)，
所以(ab) (ac) a (bc)．
因此．a (bc)=(ab) (ac)．
2．試證明集合等式a (bc)=(ab) (ac)．
2．證明：設s=a∩(b∪c)，t=(a∩b)∪(a∩c)， 若x∈s，則x∈a且x∈b∪c，即 x∈a且x∈b 或 x∈a且x∈c，
也即x∈a∩b 或 x∈a∩c ，即 x∈t，所以st．
反之，若x∈t，則x∈a∩b 或 x∈a∩c，
即x∈a且x∈b 或 x∈a且x∈c
也即x∈a且x∈b∪c，即x∈s，所以ts．
因此t=s．
3．對任意三個集合a, b和c，試證明：若ab = ac，且a，則b = c．
（1） 對於任意∈a×b，其中a∈a，b∈b,因為a×b= a×c，
必有∈a×c,其中b ∈c因此bc
（2）同理，對於任意∈a×c,其中，a∈a，c∈c，因為a×b= a×c
必有∈a×b，其中c∈b，因此cb
有（1）（2）得b=c
4．試證明：若r與s是集合a上的自反關係，則r∩s也是集合a上的自反關係．
若r與s是集合a上的自反關係，則任意x∈a,＜x,x＞∈r,＜x,x＞∈s,
從而＜x,x＞∈r∩s,注意x是a的任意元素，所以r∩s也是集合a上的自反關係．
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