1.三角形的「四心」定理的平面幾何證明
①三角形三邊的中垂線交於一點，這一點為三角形外接圓的圓心，稱外心。
證明: 設ab、bc的中垂線交於點o， 則有oa=ob=oc，
故o也在ac的中垂線上，因為o到三頂點的距離相等，
故點o是δabc外接圓的圓心． 因而稱為外心．
②三角形三邊上的高交於一點，這一點叫三角形的垂心。
證明: ad、be、cf為δabc三條高，過點a、b、c分別作對邊的平行線，相交成δa′b′c′，ad為b′c′的中垂線；同理be、cf也分別為 a′c′、a′b′的中垂線， 由外心定理，它們交於一點，
命題得證．
③三角形三邊中線交於一點，這一點叫三角形的重心。
④三角形三內角平分線交於一點，這一點為三角形內切圓的圓心，稱內心。
證明 : 設∠a、∠c的平分線相交於i,
過i作id⊥bc，ie⊥ac， if⊥ab，則有ie=if=id．
因此i也在∠c的平分線上，即三角形三內角平分線交於一點．
2.三角形的「四心」 定理的平面向量表示式及其證明
①是的重心 (其中是三邊)
證明：充分性是的重心
若，則，以，為鄰邊作平行四邊形，設與交於點，則為的中點，有，得，即四點共線，故為的中線，同理，亦為的中線，所以，為的重心。
必要性：是的重心
如圖，延長交於，則為的中點，由重心的性質得
∵∴②點是的垂心
證明：是的垂心,
同理故當且僅當.
③點是的外心．
證明：o是△abc的外心||=||=||(或2=2=2)(點o到三邊距離相等)
0(o為三邊垂直平分線的交點)
④是的內心。(其中是三邊)
證明：充分性： 是的內心
=所以，而，分別是，方向上的單位向量，所以向量平分，即平分，同理平分，得到點是的內心。
必要性：是的內心
若點o為的內心，延長交於，由三角形內角平分線的性質定理，有，於是
再由，有（定比分點）代入前式中便得.
必要性證法二：設o是內任一點，以o為座標原點，oa所在直線為x軸，建立直角座標系。並設
顯然不共線，由平面向量基本定理，可設則
（ⅰ）若o是的內心，則
故 必要性得證．同時還可得到以下結論
（ⅱ）若o是的重心，則
故（ⅲ）若o是的外心則故
（ⅳ）若o是(非直角三角形)的垂心，則故
證明： （a 、e、o 、f四點共圓）同理
因此只需證
先證第乙個等式
（e 、c、d、o四點共圓,為的補角；e 、o、f、a四點共圓,為的補角）所以上式成立，即第乙個等式成立。同理可證：該連等式成立，原題得證。
評注：一箭四雕，需要提醒的是，這裡只探求了三角形內心向量形式的必要條件，充分性並未證明。
3.與三角形的「四心」有關的一些常見的其它向量關係式
1 設，則向量必平分∠bac，該向量必通過△abc的內心;
2 設，則向量必平分∠bac的鄰補角
3 設，則向量必垂直於邊bc，該向量必通過△abc的垂心
4 △abc中一定過的中點，通過△abc的重心
⑤為△abc的重心(p是平面上任意點).
證明∵g是△abc的重心
∴==，即
由此可得.(反之亦然(證略))
5 △abc的外心、重心、垂心共線，即∥
證明：（詳細證明見尤拉線的證明）
按重心定理 g是△abc的重心
按垂心定理 ，由此可得 .
6 設為△abc所在平面內任意一點，i為△abc的內心，
內心i（，）
證明：由是的內心。(其中是三邊)（見內心的充要條件的證明）
, ∴i（，）.
4. 尤拉線的4種證法
三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心，依次位於同一直線上，這條直線就叫三角形的尤拉線。
在△abc中，已知o、g、h分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：o、g、h三點共線，且og:gh=1:2。（證九點園園心在尤拉線上略，可查有關資料）
尤拉線的證法1：（平面幾何法）
關於尤拉線的介紹詳見：尤拉線，下面是尤拉線的證明
如圖，h、g、o分別是△abc的垂心、重心、外心，
連ah，作△abc的外接圓直徑bod，
再連dc、da，則dc⊥bc…①，da⊥ab…②
∵h為△abc垂心 ∴ah⊥bc…③，ch⊥ab…④
由①、③可知dc∥ah，由②、④可知da∥ch，故四邊形adch為平行四邊形，∴ah=dc。
∵點o與點m分別是bd、cb的中點 ∴dc=2om，即ah=2om。
作bc邊上的中線am，連om、oh；設oh交am與點g'
∵om⊥bc，△ahg'∽△mog'，ah=dc=2om，
∴ag'=2g'm，因此g'即△abc重心g。
故△abc的垂心h、重心g和外心o三點共線，直線hgo即尤拉線。
評注：利用垂心h、外心o作為已知，證中線am與oh的交點g'為重心。
尤拉線的證法2：（平面幾何法）
設h,g,o,分別為△abc的垂心、重心、外心
連線ag並延長交bc於d, 則可知d為bc中點。
連線od ，又因為o為外心，所以od⊥bc。連線ah並延長交bc於e,因h為垂心,所以 ae⊥bc。所以od//ae，有∠oda=∠ead。
由於g為重心，則ga:gd=2:1。
連線cg並延長交ba於f,則可知d為bc中點。同理，of//cm.所以有
∠ofc=∠mcf
連線fd，有fd平行ac,且有df:ac=1:2。
fd平行ac，所以∠dfc=∠fca，∠fda=∠cad，又∠ofc=∠mcf，∠oda=∠ead，相減可得∠ofd=∠hca,∠odf=∠eac,所以有△ofd∽△hca,所以od:ha=df:ac=1:
2；又ga:gd=2:1所以ha:
od=ga:gd=2:1,又∠oda=∠ead，所以△ogd∽△hga。
所以∠ogd=∠agh,，所以∠ogd +∠oga=180°,所以∠agh +∠oga =180°。即o、g、h三點共線。
評注：利用重心g、外心o作為已知，證垂心h在直線og上。
尤拉線的證法3：（向量法）
設h,g,o,分別為△abc的垂心、重心、外心.
①若為的外心，為垂心
求證：。
作直經，連，,有，，，，，故，，故是平行四邊形，
故②若為的外心，g為重心
求證：證明∵g是△abc的重心
∴==，即
由此可得.(反之亦然(證略))
③由①，由②
∴， 所以o、g、h三點共線．
尤拉線的證法４：（向量的座標法）
在△abc中，已知q、g、h分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：q、g、h三點共線，且qg:gh=1:2。
【證明】：以a為原點，ab所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角座標系。設a(0,0)、b（x1,0）、c(x2,y2)，d、e、f分別為ab、bc、ac的中點，則有：
由題設可設,
， 即，故q、g、h三點共線，且qg：gh=1：2
【注】：本例用平面幾何知識、向量的代數運算和幾何運算處理，都較麻煩，而借用向量的座標形式，將向量的運算完全化為代數運算，這樣就將「形」和「數」緊密地結合在一起，從而，很多對稱、共線、共點、垂直等問題的證明，都可轉化為熟練的代數運算的論證。
5.與三角形的「四心」有關的高考連線題及其應用
例1：（2023年全國高考題）是平面上一定點，a、b、c是平面上不共線的三點，動點p滿足，，則動點p的軌跡一定通過△abc的（ ）
（a）外心 （b）內心
（c）重心 （d）垂心
事實上如圖設都是單位向量
易知四邊形aetf是菱形故選答案b
例2：（2023年北京市東城區高三模擬題）為△abc所在平面內一點，如果，則o必為△abc的（ ）
（a）外心 （b）內心 （c）重心 （d）垂心
事實上ob⊥ca故選答案d
例3：已知o為三角形abc所在平面內一點，且滿足
，則點o是三角形abc的（ ）
（a）外心 （b）內心 （c）重心 （d）垂心
事實上由條件可推出故選答案d
例4：設是平面上一定點，a、b、c是平面上不共線的三點，
動點p滿足，，則動點p的軌跡一定通過△abc的（ ）
（a）外心 （b）內心 （c）重心 （d）垂心
事實上故選答案d
例5： 2023年全國（i）卷第15題「的外接圓的圓心為，兩條邊上的高的交點為，，則實數
先解決該題：
作直經，連，,有，，，，，故，
故是平行四邊形，進而，又
∴故，所以
評注：外心的向量表示可以完善為：
若為的外心，為垂心，則。其逆命題也成立。
例6．已知向量，，滿足條件++=01，
求證： △p1p2p3是正三角形.（《數學》第一冊（下），複習參考題五b組第6題）
證明： 由已知+=-，兩邊平方得·=，
同理從而△p1p2p3是正三角形.
反之，若點o是正三角形△p1p2p3的中心，則顯然有++=0且||=||=||，即o是△abc所在平面內一點，
++=0且||=||=||點o是正△p1p2p3的中心.
6. 練習題
1．已知a、b、c是平面上不共線的三點，o是三角形abc的重心，動點p滿足= (++2),則點p一定為三角形abc的( b)
邊中線的中點 邊中線的三等分點(非重心) c.重心 邊的中點
分析：取ab邊的中點m，則，
由= (++2)可得3，
∴，即點p為三角形中ab邊上的中線的乙個三等分點，且點p不過重心。
2．在同乙個平面上有及一點ｏ滿足關係式： 2+2=2+2＝2＋
2，則ｏ為△abc的(d)
a.外心 b.內心 c．重心 d．垂心
3．已知△abc的三個頂點a、b、c及平面內一點p滿足：，則p為△abc的(c)
a.外心 b. 內心 c．重心 d．垂心
4．已知o是平面上一定點，a、b、c是平面上不共線的三個點，動點p滿足：
，則p的軌跡一定通過△abc的(c)
a.外心 b. 內心 c. 重心 d．垂心
5．已知△abc，p為三角形所在平面上的動點，且滿足：，則p點為三角形的 (d)
a. 外心 b. 內心 c. 重心 d. 垂心
6．已知△abc，p為三角形所在平面上的一點，且點p滿足：，則p點為三角形的(b)
三角形「四心」向量形式的充要條件應用
一 知識總結 1 重心 中線交點 g是 abc的重心 證明作圖如右，圖中 鏈結be和ce，則ce gb，be gcbgce為平行四邊形d是bc的中點，ad為bc邊上的中線.將代入 得 故g是 abc的重心.反之亦然 證略 為 abc的重心 p是平面上的點 證明 g是 abc的重心 即 由此可得.反之...
三角形「四心」向量形式的應用
一 知識總結 1 三角形的重心的向量表示及應用 中線交點 命題一 g是 abc的重心 命題二 為 abc的重心 p是平面上的點 命題三 點是三角形的重心則 變式 已知分別為的邊的中點 則 變式引申 平行四邊形的中心為，為該平面上任意一點，則 2 三角形的垂心的向量表示及應用 三邊高線交點 命題一 h...
三角形四心的向量性質及證明
符號說明 ab 表示向量，ab 表示向量的模 一些結論 以下皆是向量 1 若p是 abc的重心pa pb pc 0 2 若p是 abc的垂心pa pb pb pc pa pc 內積 3 若p是 abc的內心apa bpb cpc 0 abc是三邊 4 若p是 abc的外心 pa pb pc ap就表...