2.1.2 函式的表示方法(二)
自主學習
學習目標
了解分段函式的概念，會畫分段函式的圖象，並能解決相關問題．
自學導引
分段函式
(1)分段函式就是在函式定義域內，對於自變數x的不同取值範圍，有著不同的的函式．
(2)分段函式是乙個函式，其定義域、值域分別是各段函式的定義域、值域的________；各段函式的定義域的交集是空集．
(3)作分段函式圖象時，應
對點講練
知識點一分段函式的求值問題
例1 已知函式f(x)＝
(1)求f[f()]的值；
(2)若f(a)＝3，求a的值．
規律方法對於f(a)，究竟用分段函式中的哪乙個對應關係，與a所在範圍有關，因此要對a進行討論．由此我們可以看到：
(1)分段函式的函式值要分段去求；
(2)分類討論不是隨意的，它是根據解題過程中的需要而產生的．
變式遷移1 設f(x)＝若f(a)>a，則實數a的取值範圍是________．
知識點二分段函式的圖象及應用
例2 已知函式f(x)＝1＋(－2(1)用分段函式的形式表示該函式；
(2)畫出該函式的圖象；
(3)寫出該函式的值域．
規律方法對含有絕對值的函式，要作出其圖象，首先應根據絕對值的意義去掉絕對值符號，將函式轉化為分段函式，然後分段作出函式圖象．由於分段函式在定義域的不同區間內解析式不一樣，因此畫圖時要特別注意區間端點處對應點的實虛之分．
變式遷移2 已知函式f(x)＝，在平面直角座標系中作出y＝f(x)的圖象，並寫出值域．
知識點三分段函式的簡單應用
例3 某市的空調公共汽車的票價制定的規則是：
(1)乘坐5 km以內，票價2元；
(2)5 km以上(含5 km)，每增加5 km，票價增加1元(不足5 km的按5 km計算)．已知兩個相鄰的公共汽車站之間相距約1 km，如果在某條路線上沿途(包括起點站和終點站)設21個汽車站，請根據題意寫出這條路線的票價與里程之間的函式解析式，並作出函式的圖象．
規律方法該類問題屬於函式建模問題，解答此類問題的關鍵在於先將實際問題數學模型化，然後結合題設選擇合適的函式型別去擬合，解答過程中要密切關注實際問題中的隱含條件，對於自變數x的不同取值區間，有著不同的對應法則，畫圖象時，注意每段定義域端點的虛實．
變式遷移3 電訊資費調整後，市話費標準為：通話時間不超過3分鐘收費0.2元．超過3分鐘，以後每增加1分鐘收費0.
2元，不足1分鐘以1分鐘計費，求通話收費x元與通話時間t(分鐘)的函式解析式，並畫出t∈(0,7]的圖象．
1．分段函式求值要先找準自變數所在的區間；分段函式的定義域、值域分別是各段函式的定義域、值域的並集．
2．含有絕對值的函式解析式要化為分段函式處理．
3．畫分段函式的圖象要逐段畫出，求分段函式的值要按各段的區間範圍代入自變數求值.
課時作業
一、選擇題
1．設函式f(x)＝則f的值為( )
abcd．18
2．已知f(x)＝(x∈n)，那麼f(3)等於( )
a．2b．3c．4d．5
3．已知f(x)＝，g(x)＝，則當x<0時，f[g(x)]為( )
a．－x b．－x2 c．x d．x2
4．函式f(x)＝的值域是( )
a．rb．(0，＋∞)
c．(0,2)∪(2d．[0,2]∪[3，＋∞)
二、填空題
5．已知f(x)＝，則f(f(f(－1)))的值是
6．已知f(x)＝，則不等式xf(x)＋x≤2的解集是
三、解答題
7．若[x]表示不超過x的最大整數，畫出y＝[x] (－3≤x≤3)的圖象．
8. 已知函式y＝f(x)的圖象是由圖中的兩條射線和拋物線的一部分組成，求函式的解析式．
9．已知函式f(x)＝求使等式f[f(x)]＝1成立的實數x構成的集合．
2．1.2 函式的表示方法(二) 答案
自學導引
(1)對應法則 (2)並集 (3)分別作出每一段的圖象
對點講練
例1 解 (1)∵－1<<2，∴f()＝()2＝3.
而3≥2，∴f[f()]＝f(3)＝2×3＝6.
(2)當a≤－1時，f(a)＝a＋2，又f(a)＝3，
∴a＝1(捨去)；
當－1∴a＝±，其中負值捨去，∴a＝；
當a≥2時，f(a)＝2a，又f(a)＝3，
∴a＝(捨去)．綜上所述，a＝.
變式遷移1 a<－1
解析當a≥0時，f(a)＝a－1，解a－1>a，
得a<－2與a≥0矛盾，
當a<0時，f(a)＝，解》a，
得a<－1.∴a<－1.
例2 解 (1)
當0≤x≤2時，
f(x)＝1＋＝1，
當－2f(x)＝1＋＝1－x.
∴f(x)＝.
(2)函式f(x)的圖象如圖所示，
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域為[1,3)．
變式遷移2 解如
圖所示，函式y＝f(x)的圖象是由f1(x)＝－2(x－)2＋1，x∈[0，)的圖象(拋物線的一段)及f2(x)＝－2x＋2，x∈[，1]的圖象(一條線段)組成的，其值域為[0,1]．
例3 解設票價為y元，里程為x km，
由題意可知0所以y關於x的函式為
y＝其圖象如圖所示．
變式遷移3 解由題意可知，變數t∈(0，＋∞)，故x與t的函式關係的表示式為
x＝，其圖象如圖所示．
課時作業
1．a [f(2)＝22＋2－2＝4，＝，
f()＝1－()2＝.故選a.]
2．a [由題意知f(3)＝f(3＋2)
＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.]
3．b [當x<0時，g(x)＝－x2<0，∴f[g(x)]＝－x2.]
4．d [畫圖象可得．]
5．π＋1
解析 f(－1)＝0，f(0)＝π，f(π)＝π＋1
∴f(f(f(－1)))＝f(f(0))＝f(π)＝π＋1.
6．解析當x≥0時，f(x)＝1，
代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，∴0≤x≤1；
當x<0時，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤2，
∴x<0.綜上可知x≤1.
7．解作出y＝[x]的圖象如下圖所示．
8．解根據圖象，設左側射線對應的函式解析式為y＝kx＋b (x<1)．
∵點(1,1)、(0,2)在射線上，
∴ 解得
∴左側射線對應的函式解析式為
y＝－x＋2 (x<1)．
同理，x>3時，函式的解析式為y＝x－2 (x>3)．
又拋物線對應的二次函式的解析式為
y＝a(x－2)2＋2 (1≤x≤3，a<0)，
∵點(1,1)在拋物線上，∴a＋2＝1，a＝－1，
∴當1≤x≤3時，函式的解析式為
y＝－x2＋4x－2 (1≤x≤3)．
綜上所述，函式的解析式為
y＝9．解當x∈[0,1]時，恒有f[f(x)]＝f(1)＝1
當x[0,1]時，f[f(x)]＝f(x－3)
若0≤x－3≤1，即3≤x≤4時，f(x－3)＝1
若x－3[0,1]，f(x－3)＝(x－3)－3
令其值為1，即(x－3)－3＝1，∴x＝7.
綜合知：x的值構成的集合為．
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