1.1.2基本不等式
☆學習目標： 1.理解並掌握重要的基本不等式，不等式等號成立的件;
2.初步掌握不等式證明的方法
知識情景：
1. 不等式的基本性質：
10. 對稱性
20. 傳遞性
30. 同加性
推論：同加性
30. 同乘性
推論1：同乘性
推論2：乘方性
推論3：開方性
推論4：可倒性
2. 比較兩數大小的一般方法：比差法與比商法(兩正數時)．
建構新知：
1．定理1 如果, 那麼. 當且僅當時, 等號成立.
證明: ∵,當且僅當時, 等號成立.
當且僅當時, 等號成立.
2. 定理2(基本不等式) 如果, 那麼.
當且僅當時, 等號成立.
討論: 10. 比較定理1與定理2, 有哪些相同和不同?
20. 如何證明基本不等式?
30. 給出圖形如右, 你能解析基本不等式的幾何意義嗎?
40. 怎樣用語言表述基本不等式?
☆案例學習：
例1在三個結論：其中正確的個數是（ ）
a．0 b．1c．2d．3
例2設，求證：(1) ; (2) ．
例3 (1) 設
(2) 設x、y是正實數，且x+y=5,則lgx+lgy的最大值是
(3) 若正數滿足，則的取值範圍是
例4一變壓器的鐵芯截面為正十字型,為保證所需的磁通量,要求十字應具有的面積，問應如何設計十字型寬及長，才能使其外接圓的周長最短，這樣可使繞在鐵芯上的銅線最節省．
例5（1）已知是正常數,,，求證：,指出等號成立的條件；
（2）利用（1）的結論求函式（）的最小值，指出取最小值時的值．
選修4-5練習1.1.2基本不等式姓名
若a,b均為大於1的正數，且ab＝100，則lga·lgb的最大值是
a. 0b. 1c. 2d.
對一切正整數， 不等式恆成立，則b的範圍是（ ）
設a、b、c是互不相等的正數，則下列等式中不恆成立的是
ab．cd．若關於的方程有解，則實數的取值範圍是
a． b．
cd．設且，則
a． b．
c． d．
若，則的取值範圍是
在上滿足，則的取值範圍是
若，，且，則實數的範圍是
函式的值域為
為了豎一塊廣告牌，要製造三角形支架.三角形支架如圖，要求∠acb=60°，bc長度大於
1公尺， 且ac比ab長0.5公尺.為了廣告牌穩固，要求ac的長度越短越好，求ac最短為多
少公尺？ 且當ac最短時，bc長度為多少公尺？
（1）設不等式2x－1＞m(x2－1)對滿足|m|≤2的一切實數m的取值都成立，求x的取
值範圍；
（2） 是否存在m使得不等式2x－1＞m(x2－1)對滿足|x|≤2的一切實數x的取值都成立．
已知的等差中項是, 且, 求的最小值.
參***:
例1答案：d。解析：可以證明3個不等式都成立。
例3 (1)答案： 。解析：。
(2)答案：2-4lg2。解析：∵x>0,y>0,5=x+y≥2,∴xy≤()2.
當且僅當x=y=時等號成立. 故lgx+lgy=lgxy≤lg()2=2-4lg2.
(3)答案: 。解析：，即。
例4答案：解：設由條件知: 即
設外接圓的半徑為r，即求r的最小值，
僅當等號成立時，∴當時r2最小，即r最小，從而周長
最小，此時；
例5 （1），
故．當且僅當，即時上式取等號；
⑵由⑴得．
當且僅當，即時上式取最小值，即．
練習答案： b.解析：。
答案： 。解析：，即b>1或。
答案： c．因為，所以（a）恆成立，
在b兩側同時乘以得
所以b恆成立；在c中，當a>b時，恆成立，a 在d中，分子有理化得恆成立，故選c．
答案：d。解析：。
答案：a。解析：。
答案： 。解析：或，解得。
答案：.解析：a=0時，恆成立，a≠0時，，∴，
綜上所述。
答案： 。解析：。
答案： 。解析：，令，
即。解析：設bc=a(a>1),ab=c,ac=b,b-c=. c2=a2+b2-2abcos60°,
將c=b-代入得(b-)2=a2+b2-ab, 化簡得b(a-1)=a2-.
a>1,∴a-1>0.
b===(a-1)++2≥+2.
當且僅當a-1=時，取「=」,即a=1+時,b有最小值2+.
答案：(1)解：令f(m)＝2x－1－m(x2－1)＝(1－x2)m＋2x－1，
可看成是一條直線，且使|m|≤2的一切實數都有2x－1＞m(x2－1)成立。
所以，，即，即
所以，。
(2) 令f(x)= 2x－1－m(x2－1)= －mx2+2x+(m－1)，使|x|≤2的一切實數都有2x－1＞m(x2－1)成立。
當時，f(x)= 2x－1在時，f(x)。（不滿足題意）
當時，f(x)只需滿足下式：
或或解之得結果為空集。 故沒有m滿足題意。
答案：5。解析：，∴。
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