課時提公升作業二
基本不等式
一、選擇題(每小題6分,共18分)
1.(2016·泰安高二檢測)若關於x的方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,則實數a的取值範圍是( )
a.(-∞,-8]∪[0,+∞)
b.(-∞,-4)
c.[-8,4)
d.(-∞,-8]
【解析】選d.由方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,
即a+4=-≤-4,所以a≤-8.
2.下列不等式的證明過程正確的是 ( )
a.若a,b∈r,則+≥2=2
b.若x>0,則cosx+≥2=2
c.若x<0,則x+≤2=4
d.若a,b∈r,且ab<0,則+=-[+]≤-2=-2
【解析】選中在應用基本不等式時忽視了前提「正數」,故均錯誤.
3.(2015·福建高考)若直線+=1(a>0,b>0)過點(1,1),則a+b的最小值等於
( )
a.2b.3c.4d.5
【解題指南】利用基本不等式及「1」的代換求解.
【解析】選c.因為直線過點(1,1),所以+=1,所以a+b=(a+b)=
1+1++=2++,因為a>0,b>0,所以2++≥2+2=4,當且僅當「a=b=2」時等號成立.
二、填空題(每小題6分,共12分)
4.(2016·佛山高二檢測)已知x+3y-2=0,則3x+27y+1的最小值是
【解析】3x+27y+1=3x+33y+1≥2+1=7.
答案:7
5.若正數a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值範圍是
【解析】令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,則t2≥2t+3,所以t≥3或t≤-1(捨去),所以≥3,ab≥9,當a=b=3時取等號.
答案:[9,+∞)
【誤區警示】解答本題過程中易忽視a,b∈(0,+∞)而求出ab∈(-∞,1]∪
[9,+∞)的錯誤.
三、解答題(每小題10分,共30分)
6.求函式y=(x≥0)的最小值.
【解析】原式變形得:
y==x+2++1,
因為x≥0,所以x+2>0,
所以x+2+≥6,
所以y≥7,當且僅當x=1時等號成立.
所以y=(x≥0)的最小值為7.
7.(2016·銀川高二檢測)如圖,已知小矩形花壇abcd中,ab=3m,ad=2m,現要將小矩形花壇建成大矩形花壇ampn,使點b在am上,點d在an上,且對角線mn過點c.
(1)要使矩形ampn的面積大於32m2,an的長應在什麼範圍內?
(2)m,n是否存在這樣的位置,使矩形ampn的面積最小?若存在,求出這個最小面積及相應的am,an的長度;若不存在,說明理由.
【解析】(1)設am=x,an=y(x>3,y>2),矩形ampn的面積為s,則s=xy.
因為△ndc∽△nam,所以=,所以x=,所以s=(y>2).
由》32,得28,所以an的長度應在或(8,+∞)內.
(2)當y>2時,s==3≥3×=3×(4+4)=24,當且僅當y-2=,即y=4時,等號成立,解得x=6.所以存在m,n點,當am=6,an=4時,矩形ampn面積最小為24.
8.已知x,y都是正實數.
求證:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.
【證明】因為x,y都是正實數,
所以x+y≥2>0,x2+y2≥2xy>0,
x3+y3≥2>0.
三式相乘,得(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.(2016·聊城高二檢測)已知a>0,b>0,則++2的最小值為 ( )
a.2b.2c.4d.5
【解析】選c.++2≥2+2≥4.
2.對於x∈,不等式+≥16恆成立,則p的取值範圍為 ( )
a.(-∞,-9b.(-9,9]
c.(-∞,9d.[9,+∞)
【解題指南】可令t=sin2x,將原不等式轉化為關於t的不等式恆成立問題求解.
【解析】選d.令t=sin2x,則cos2x=1-t.
又x∈,所以t∈(0,1).
不等式+≥16可化為p≥(1-t),
令y=(1-t)
=17-≤17-2=9,
當且僅當=16t,即t=時取等號,
因此原不等式恆成立,只需p≥9.
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.若a>0,b>0,a+b=1,則的最小值是
【解析】因為
=·=·=
==1+.
由a>0,b>0,a+b=1得ab≤=.
所以≥4,所以≥9.
答案:9
4.已知x>0,y>0且滿足x+y=6,則使不等式+≥m恆成立的實數m的取值範圍為
【解題指南】由已知條件先求得+的最小值,只要m小於等於其最小值即可.
【解析】因為x>0,y>0,+=
=≥(10+6)=,
當且僅當=,又x+y=6,得x=,y=時取等號.所以m的取值範圍是.
答案:三、解答題(每小題10分,共20分)
5.設a,b,c均為正數,且a+b+c=1.證明:++≥1.
【證明】因為+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++a+b+c≥2(a+b+c),
所以++≥a+b+c=1.
當且僅當a=b=c=時取等號.
6.已知a,b,x,y∈r+,x,y為變數,a,b為常數,且a+b=10,+=1,x+y的最小值為18,求a,b.
【解析】因為x+y=(x+y)
=a+b++≥a+b+2=(+)2,
當且僅當=時取等號.又(x+y)min=(+)2=18,
即a+b+2=18, ①
又a+b=10, ②
由①②可得或
【拓展延伸】基本不等式的應用技巧
判斷定值條件是應用基本不等式的難點和易忽略點,常見的方法有:
(1)拆項、添項、配湊
此法常用在求分式型函式的最值中,
如函式f(x)=
=,可按由高次項向低次項的順序逐步配湊.
(2)常值代換
這種方法常用於「已知ax+by=m(a,b,x,y均為正數),求+的最小值」和「已知+=1(a,b,x,y均為正數),求x+y的最小值」兩類題型.
(3)構造不等式
當和與積同時出現在同乙個不等式中時,可利用基本不等式構造乙個不等式,從而求出和或積的取值範圍,如已知a+b=ab-3,求ab的取值範圍,可構造出不等式2≤a+b=ab-3,即()2-2-3≥0.
基本不等式
教學重點 基本不等式成立的三個必要條件 一正二定三相等教學難點 積或 和 變換為定值的技巧 教學方法 師生探求，揭示規律 教學過程 基本不等式 當且僅當a b取等號 1 感受基本不等式成立的必要條件之一 正數例1.若 設計意圖 轉化為用基本不等式求解 2 感受基本不等式成立的必要條件之二 定值練習1...
基本不等式與不等式證明
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考點 基本不等式
知識點1 不等式平均值定理的內容是 若干個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數 即 如果a1，a2，a3，an r 且n n n 1，那麼 當且僅當a1 a2 a3 an時取等號 a，b r時，a2 b2 2ab 當且僅當a b時 號成立 a，b 0時，a b 2 當且僅當a b時 號成立 公式的...