專題一：線段和差
１．(海淀2012.1)24. 已知在□abcd中，aebc於e，df平分adc 交線段ae於f.
（1）如圖1，若ae=ad，adc=60, 請直接寫出線段cd與af+be之間所滿足的
等量關係;
（2）如圖2, 若ae=ad，你在（1）中得到的結論是否仍然成立, 若成立,對你的結論
加以證明, 若不成立, 請說明理由；
（3）如圖3, 若ae ad =a b，試**線段cd、af、be之間所滿足的等量關係，
請直接寫出你的結論.
解: （1）線段cd與af+be之間所滿足的等量關係為:
（2圖1
圖2（3）線段cd、af、be之間所滿足的等量關係為:
圖3２．(西城北區2012.1)24．已知：如圖，正方形abcd的邊長為a，bm，dn分別平分正方形的兩個外角，且滿足
，鏈結mc，nc，mn．
（1）填空：與△abm相似的三角形是用含a的代數式表示）
（2）求的度數；
（3）猜想線段bm，dn和mn之間的等量關係並證明你的結論．
３．(西城南區2012.1)24．已知：⊙o是△abc的外接圓，點m為⊙o上一點.
（1）如圖，若△abc為等邊三角形，bm=1，cm=2，
求am的長；
（1） 若△abc為等腰直角三角形，∠bac=，，（其中），直接寫出am的長(用含有a，b的代數式表示).
專題二：與旋轉有關的幾何問題
1.（石景山2012.1）23．如圖1，在△abc中，∠acb=90°，ac=3，bc=4，將△abc繞頂點c順時針旋轉30°，得到△a′b′c．聯結a′a、b′b，設△aca′和△bcb′的面積分別為s△aca′ 和s△bcb′．
（1）直接寫出s△aca′ ︰s△bcb′ 的值
（2）如圖2，當旋轉角為（0°＜＜180°）時，s△aca′ 與s△bcb′ 的比值是否發生變化，若不變請證明；若改變，寫出變化後的比值（可用含的代數式表示）．
圖1圖2
2.(東城南區2011.1)23．在rt△abc中，ab＝ac，∠bac=90°，o為bc的中點.
(1)寫出點o到△abc的三個頂點a、b、c的距離的大小關係(不要求證明)；
(2)如果點m、n分別**段ab、ac上移動，在移動中保持an＝bm，請判斷△omn的形狀，並證明你的結論.
3.(平谷2011.1)25.
△abc中，∠bac=90°，ab=ac，點d是bc的中點，把乙個三角板的直角頂點放在點d處，將三角板繞點d旋轉且使兩條直角邊分別交ab、ac於e、f .
（1）如圖1，觀察旋轉過程，猜想線段af與be的數量關係並證明你的結論；
（2）如圖2，若連線ef，試探索線段be、ef、fc之間的數量關係，直接寫出你的結論（不需證明）；
（3）如圖3，若將「ab=ac，點d是bc的中點」改為：「∠b=30°，ad⊥bc於點d」，其餘條件不變，探索（1）中結論是否成立？若不成立，請探索關於af、be的比值.
解：4.（朝陽2010.1）如圖，ab為⊙o直徑，點c在⊙o上，且 ac＝bc＝2，將一塊等腰三角形的直角頂點放在圓心o處之後，將此三角形繞點o旋轉，三角形的兩直角邊分別交射線ac、cb於d、e兩點。
圖①，②，③是旋轉三角形得到的圖形中的3種情況．
請你回答下列問題：
（1）三角形繞點o旋轉，觀察線段od和oe之間有什麼數量關係？並結合圖②加以證明；
（2）三角形繞點o旋轉，是否能使△obe為等腰三角形？若能，寫出△obe為等腰三角形的所有情況中ce的長，若不能，請說明理由；
（3）如圖④，若將三角形的直角頂點移到ab上的點m處，且am:mb＝1:3，試問線段md和me之間有什麼數量關係？並結合圖④加以證明．
證明：5.(西城北區2011.
1)25. 含30°角的直角三角板abc中，∠a=30°.將其繞直角頂點c順時針旋轉角（且≠ 90°），得到rt△，邊與ab所在直線交於點d，過點 d作de∥交邊於點e，連線be.
（1）如圖1，當邊經過點b時
（2）在三角板旋轉的過程中，若∠cbd的度數是∠cbe度數的m倍，猜想m的值並證明你的結論；
（3） 設 bc=1，ad=x，△bde的面積為s，以點e為圓心，eb為半徑作⊙e，當s=
時，求ad的長，並判斷此時直線與⊙e的位置關係.
6.(昌平2010.1)25．和是繞點旋轉的兩個相似三角形，其中與、與為對應角．
（1）如圖1，若和分別是以與為頂角的等腰直角三角形，且兩三角形旋轉到使點、、在同一條直線上的位置時，請直接寫出線段與線段的關係；
（2）若和為含有角的直角三角形，且兩個三角形旋轉到如圖2的位置時，試確定線段與線段的關係，並說明理由；
（3）若和為如圖3的兩個三角形，且=，，在繞點旋轉的過程中，直線與夾角的度數是否改變？若不改變，直接用含、的式子表示夾角的度數；若改變，請說明理由．
7.（延慶2012.1）24．如圖：點o是等邊△abc內一點，∠aob=110°，∠boc=α.將線段oc繞點
c按順時針方向旋轉60°得到線段cd，連線od、ad.
(1) 求證：ad=bo
（2） 當α=150°時，試判斷△aod的形狀，並說明理由；
（3） **：當α為多少度時（直接寫出答案），△aod是等腰三角形？
7.(崇文2010.1)23、如圖，p為正方形abcd內一點，若pa=a，pb=2a，pc=3a(a＞0)．
(1) 求∠apb的度數；
(2) 求正方形abcd的面積．
8.(朝陽2012.1)24. （本小題滿分8分）
已知，在△abc中，∠bac=90°，ab=ac，bc=，點d、e在bc邊上（均不與點b、c重合，點d始終在點e左側），且∠dae＝45°．
（1）請在圖①中找出兩對相似但不全等的三角形，寫在橫線上
（2）設be＝m，cd＝n，求m與n的函式關係式，並寫出自變數n的取值範圍；
（3）如圖②，當be＝cd時，求de的長；
（4）求證：無論be與cd是否相等，都有de2=bd2+ce2.
圖圖備用圖
9.(燕山2010.1)如圖，已知在△abc中，ab=ac，∠bac=90°，點d是bc上的任意一點，
(1)**：bd+ cd與 ad的關係，
(2)並證明你的結論。
10.(東城2011.1)24．在△abc中，∠acb為銳角．點d為射線bc上一動點，連線ad， 將線段ad繞點a逆時針旋轉90 得到ae，鏈結ec．
（1）如果ab=ac，∠bac=90．
當點d**段bc上時（與點b不重合），如圖1，請你判斷線段ce、bd之間的位置和數量關係（直接寫出結論）；
當點d**段bc的延長線上時，請你在圖2畫出圖形，判斷中的結論是否仍然成立，並證明你的判斷；
（2）如圖3，當點d**段bc上運動時，df⊥ad交線段ce於點f，且∠acb=45 ， ac＝，試求線段cf長的最大值．
專題三：與中點有關的專題
1.（東城2012.1）24．已知△abc和△ade是等腰直角三角形，∠acb=∠ade=90°，點f為be中點，鏈結df、cf.
（1）如圖1, 當點d在ab上，點e在ac上，請直接寫出此時線段df、cf的數量關係和位置關係（不用證明）；
（2）如圖2，在（1）的條件下將△ade繞點a順時針旋轉45°時，請你判斷此時（1）中的結論是否仍然成立，並證明你的判斷；
（3）如圖3，在（1）的條件下將△ade繞點a順時針旋轉90°時，若ad=1，ac=，求此時線段cf的長(直接寫出結果).
2.(海淀2011.1)25．如圖一，在△abc中，分別以ab，ac為直徑在△abc外作半圓和半圓，其中和分別為兩個半圓的圓心.
f是邊bc的中點，點d和點e分別為兩個半圓圓弧的中點.
（1）鏈結，
證明：；
（2）如圖二，過點a分別作半圓和半圓的切線，交bd的延長線和ce的延長線於點p和點q，鏈結pq，若∠acb=90°,db=5，ce=3，求線段pq的長;
（3）如圖三，過點a作半圓的切線，交ce的延長線於點q，過點q作直線fa的垂線，交bd的延長線於點p，鏈結pa. 證明：pa是半圓的切線.
3.（石景山2010.1）24．（1）如圖1所示，在四邊形中， =，與相交於點，分別是的中點，聯結，分別交、於點，試判斷的形狀，並加以證明；（提示：利用三角形中位線定理）
（2）如圖2，在四邊形中，若，分別是的中點，聯結fe並延長，分別與的延長線交於點，請在圖2中畫圖並觀察，圖中是否有相等的角，若有，請直接寫出結論
（3）如圖3，在中，，點在上，，分別是的中點，聯結並延長，與的延長線交於點，若，判斷點與以ad為直徑的圓的位置關係，並簡要說明理由．
解：專題四：動點問題
１．(門頭溝2012.1)24. 如圖，四邊形abcd中，ad＝cd，∠dab＝∠acb＝90°，過點d作de⊥ac，垂足為f，de與ab相交於點e．
（1）求證：ab·af＝cb·cd；
（2）已知ab＝15 cm，bc＝9 cm，p是射線de上的動點．設dp＝x cm（），四邊形bcdp的面積為y cm2．
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