2015-2016初二數學期末解答題專題複習（1）
1．如圖①，長方形abcd中，ab=6cm，bc=4cm，e為cd的中點．點p從a點出發，沿a﹣b﹣c的方向在長方形邊上勻速運動，速度為1cm/s，運動到c點停止．設點p運動的時間為ts．（圖②③為備用圖）
（1）當p在ab上，t為何值時，△ape的面積為長方形面積的？
（2）整個運動過程中，t為何值時，△ape為等腰三角形？
參考解答：
解：（1）設t秒後，△ape的面積為長方形面積的，根據題意得：ap=t，
∴△ape的面積=apad=t×4=，t=4，∴4秒後，△ape的面積為長方形面積的；
（2）①當p在ae垂直平分線上時，ap=ep，勾股定理列方程解得t=；
．②當ea=eb時，ap=6，∴t=6，③當ae=ap時，∴t=5．
∴當t=、5、6時，△ape是等腰三角形．．
2．如圖（1），凸四邊形abcd，如果點p滿足∠apd=∠apb=α．且∠bpc=∠cpd=β，則稱點p為四邊形abcd的乙個半等角點．
（1）在圖（3）正方形abcd內畫乙個半等角點p，且滿足α≠β；
（2）在圖（4）四邊形abcd中畫出乙個半等角點p，保留畫圖痕跡（不需寫出畫法）；
（3）若四邊形abcd有兩個半等角點p1、p2（如圖（2）），證明線段p1p2上任一點也是它的半等角點．
解：（1）所畫的點p在ac上且不是ac的中點和ac的端點，即給（4分）．
（2）畫點b關於ac的對稱點b』，延長db』交ac於點p，點p為所求
（3）連p1a、p1d、p1b、p1c和p2d、p2b，根據題意，
∠ap1d=∠ap1b，∠dp1c=∠bp1c，∴∠ap1b+∠bp1c=180度．∴p1在ac上，
同理，p2也在ac上．（9分）在△dp1p2和△bp1p2中，
，∴△dp1p2≌△bp1p2（asa）
所以dp1=bp1，dp2=bp2，於是b、d關於ac對稱．
設p是p1p2上任一點，連線pd、pb，由對稱性，得∠dpa=∠bpa，∠dpc=∠bpc，
所以點p是四邊形的半等角點．（14分）
3．八年級數學課上，朱老師出示了如下框中的題目．
小聰與同桌小明討論後，進行了如下參考解答：
（1）特殊情況探索結論
當點e為ab的中點時，如圖1，確定線段ae與的db大小關係．請你直接寫出結論：ae = db（填「＞」，「＜」或「=」）．
（2）特例啟發解答題目
解：題目中，ae與db的大小關係是：ae db（填「＞」，「＜」或「=」）．理由如下：
如圖2，過點e作ef∥bc，交ac於點f，（請你完成以下解答過程）
（3）拓展結論設計新題
在等邊三角形abc中，點e在直線ab上，點d在直線bc上，且ed=ec．若△abc的邊長為3，ae=1，則cd= （請你直接寫出結果）．
解：（1）如圖1，過點e作ef∥bc，交ac於點f，
∵△abc為等邊三角形，∴∠afe=∠acb=∠abc=60°，△aef為等邊三角形，∴∠efc=∠ebd=120°，ef=ae，∵ed=ec，
∴∠edb=∠ecb，∠ecb=∠fec，∴∠edb=∠fec，
在△bde和△fec中∴△bde≌△fec（aas），
∴bd=ef，∴ae=bd，故答案為：=；
（2）如圖2，過點e作ef∥bc，交ac於點f，∵△abc為等邊三角形，∴∠afe=∠acb=∠abc=60°，△aef為等邊三角形，
∴∠efc=∠ebd=120°，ef=ae，∵ed=ec，
∴∠edb=∠ecb，∠ecb=∠fec，∴∠edb=∠fec，
在△bde和△fec中∴△bde≌△fec（aas），
∴bd=ef，∴ae=bd，故答案為：=；
（3）因為ae=1，△abc的邊長為3，所以e點可能**段ab上，也可能在ba的延長線上，當點e在ab時，同（2）可知bd=ae=1，則cd=bc+bd=1+3=4，
當點e在ba的延長線上時，如圖3，過點e作ef∥bc，交ca的延長線於點f，則∠f=∠fcb=∠b=60°，∠fec+∠ecd=∠fec+∠edc=180°，
∴∠edb=∠fec，且ed=ec，
在△bde和△fec中∴△bde≌△fec（aas），∴ef=bd，
又可判定△aef為等邊三角形，∴bd=ef=ae=1，∴cd=bc﹣bd=3﹣1=2，
故答案為：2或4．
4．【問題提出】
學習了三角形全等的判定方法（即「sas」、「asa」、「aas」、「sss」）和直角三角形全等的判定方法（即「hl」）後，我們繼續對「兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等」的情形進行研究．【初步思考】
我們不妨將問題用符號語言表示為：在△abc和△def中，ac=df，bc=ef，∠b=∠e，然後，對∠b進行分類，可分為「∠b是直角、鈍角、銳角」三種情況進行**．
【深入**】
第一種情況：當∠b是直角時，△abc≌△def．
（1）如圖①，在△abc和△def，ac=df，bc=ef，∠b=∠e=90°，根據 ，可以知道rt△abc≌rt△def．
第二種情況：當∠b是鈍角時，△abc≌△def．
（2）如圖②，在△abc和△def，ac=df，bc=ef，∠b=∠e，且∠b、∠e都是鈍角，求證：△abc≌△def．
第三種情況：當∠b是銳角時，△abc和△def不一定全等．
（3）在△abc和△def，ac=df，bc=ef，∠b=∠e，且∠b、∠e都是銳角，請你用尺規在圖③中作出△def，使△def和△abc不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（4）∠b還要滿足什麼條件，就可以使△abc≌△def？請直接寫出結論：在△abc和△def中，ac=df，bc=ef，∠b=∠e，且∠b、∠e都是銳角，若則△abc≌△def．
：（1）解：hl；
（2）證明：如圖，過點c作cg⊥ab交ab的延長線於g，過點f作fh⊥de交de的延長線於h，∵∠abc=∠def，且∠abc、∠def都是鈍角，∴180°﹣∠abc=180°﹣∠def，
即∠cbg=∠feh，在△cbg和△feh中，，∴△cbg≌△feh（aas），
∴cg=fh，在rt△acg和rt△dfh中，，∴rt△acg≌rt△dfh（hl），
∴∠a=∠d，在△abc和△def中，，∴△abc≌△def（aas）；
（3）解：如圖，△def和△abc不全等；
（4）解：若∠b≥∠a，則△abc≌△def．
故答案為：（1）hl；（4）∠b≥∠a．
5．已知△abc中，∠c=90°，ab=10，ac=6，點o是ab的中點，將一塊直角三角板的直角頂點與點o重合併將三角板繞點o旋轉，圖中的m、n分別為直角三角板的直角邊與邊ac、bc的交點．
（1）如圖①，當點m與點a重合時，求bn的長．
（2）當三角板旋轉到如圖②所示的位置時，即點m在ac上（不與a、c重合），
①猜想圖②中am2、cm2、cn2、bn2之間滿足的數量關係式，並說明理由．
②若在三角板旋轉的過程中滿足cm=cn，請你直接寫出此時bn的長．
解：（1）連線an，如圖①，∵∠c=90°，ab=10，ac=6，∴bc==8，
在△oan和△obn中，∴ae∥bc，
∴∠eac=90°
由垂直平分線性質可得：mn=em，
∵ae2+am2=em2，cn2+cm2=mn2，
∴am2+bn2=cn2+cm2．
②∵①中已經證明：am2+bn2=cn2+cm2，
設cm=cn=x，則bn=8﹣x，am=6﹣x，
代入上式得：x=，
∴．點評：
本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等、對應角相等的性質，本題中求證ae=bn是解題的關鍵．
6．在△abc中，ab、bc、ac三邊的長分別為、、，求這個三角形的面積．小華同學在解答這道題時，先畫乙個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格點△abc（即△abc三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示．這樣不需求△abc的高，而借用網格就能計算出它的面積．這種方法叫做構圖法．
（1）△abc的面積為： ．
（2）若△def三邊的長分別為、、，請在圖2的正方形網格中畫出相應的△def，並利用構圖法求出它的面積為 ．
（3）如圖3，△abc中，ag⊥bc於點g，以a為直角頂點，分別以ab、ac為直角邊，向△abc外作等腰rt△abe和等腰rt△acf，過點e、f作射線ga的垂線，垂足分別為p、q．試**ep與fq之間的數量關係，並證明你的結論．
（4）如圖4，乙個六邊形的花壇被分割成7個部分，其中正方形prba，rqdc，qpfe的面積分別為13m2、25m2、36m2，則六邊形花壇abcdef的面積是 m2．
參考解答：
解：（1）△abc的面積=3×3﹣×2×1﹣×3×1﹣×2×3=，
=9﹣1﹣1.5﹣3，
=9﹣5.5，
=3.5；
（2）△def如圖2所示；
面積=2×4﹣×1×2﹣×2×2﹣×1×4，
=8﹣1﹣2﹣2，
=8﹣5，
=3；（3）∵△abe是等腰直角三角形，
∴ab=ae，∠bae=90°，
∴∠pae+∠bag=180°﹣90°=90°，
又∵∠aep+∠pae=90°，
∴∠bag=∠aep，
在△abg和△eap中，
，∴△abg≌△eap（aas），
同理可證，△acg≌△faq，
∴ep=ag=fq；
（4）如圖4，過r作rh⊥pq於h，設rh=h，
在rt△prh中，ph==，
在rt△rqh中，qh==，
∴pq=+=6，
=6﹣，
兩邊平方得，25﹣h2=36﹣12+13﹣h2，
整理得，=2，
兩邊平方得，13﹣h2=4，
解得h=3，
∴s△pqr=×6×3=9，
∴六邊形花壇abcdef的面積=25+13+36+4×9=74+36=110m2．
故答案為：（1）3.5；（2）3；（4）110．
點評：本題考查了勾股定理，構圖法求三角形的面積，全等三角形的判定與性質，讀懂題目資訊，理解構圖法的操作方法是解題的關鍵．
7．已知正方形abcd和正方形aefg有公共頂點a，將正方形aefg繞點a旋轉．
（1）發現：當e點旋轉到da的延長線上時（如圖1），△abe與△adg的面積關係是： ．
（2）引申：當正方形aefg旋轉任意乙個角度時（如圖2），△abe與△adg的面積關係是： ．並證明你的結論．
初二數學期末卷
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初二試卷4 一 選擇題 本大題共6題，每題2分，滿分12分 1 已知直線,當時,直線不經過 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限.2 兩條對角線相等且互相平分的四邊形是 a 平行四邊形 b 矩形 c 菱形 d 正方形.3 下列判斷中，不正確的是 ab 如果，則 cd 4 下列事件中...