例說綜合法與分析法
所謂綜合法，是指「由因導果」的思維方法，即從已知條件出發，不斷地展開思考，去探索結論的方法。
綜合法的思維過程的全貌可概括為下面形式：「已知→可知→可知→…結論」。
所謂分析法，是指「執果索因」的思維方法，即從結論出發，不斷地去尋找需知，直至達到已知事實為止的方法。
分析法的思維過程的全貌可概括為下面形式：「結論→需知→需知→…已知」。
例1．設a、b是兩個正實數，且a≠b，求證：＋＞
證明一：(分析法)
要證+＞成立，
只需證(a+b)( -ab+)＞ab(a+b)成立，
即需證-ab+＞ab成立。(∵a+b＞0)
只需證-2ab+＞0成立，
即需證＞0成立。
而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以＞0顯然成立，由此命題得證。
證明二：(綜合法)
∵a≠b，∴a-b≠0，∴＞0，即-2ab+＞0
亦即-ab+＞ab
由題設條件知，a+b＞0，∴(a+b)( -ab+)＞(a+b)ab
即+＞，由此命題得證。
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在實際證題過程中，分析法與綜合法是統一運用的，把分析法和綜合法孤立起來運用是脫離實際的。沒有分析就沒有綜合；沒有綜合也沒有分析。問題僅在於，在構建命題的證明路徑時，有時分析法居主導地位，綜合法伴隨著它；有時卻剛剛相反，是綜合法導主導地位，而分析法伴隨著它。
特別是，對於那些較為複雜的數學命題，不論是從「已知」推向「未知」，或者是由「未知」靠攏「已知」都有乙個比較長的過程，單靠分析法或綜合法顯得較為困難。為保證探索方向準確及過程快捷，人們又常常把分析法與綜合法兩者並列起來使用，即常採用同時從已知和結論出發，尋找問題的乙個中間目標。從已知到中間目標運用綜合法思索，而由結論到中間目標運用分析法思索，以中間目標為橋梁溝通已知與結論，構建出證明的有效路徑。
上面所言的思維模式可概括為如下圖所示：
綜合法與分析法都是邏輯推理的思維方法，它對於培養思維的嚴謹性極為有用。把分析法與綜合法兩者並列起來進行思維，尋求問題的解答途徑方式，就是人們通常所說的分析、綜合法。
下面舉一具體例子來加以說明。
例2、若a,b,c是不全相等的正數，求證：lg+ lg+ lg＞lga+lgb+lgc。
證明：要證lg+ lg+ lg＞lga+lgb+lgc，
只需證lg··>lg（a·b·c），
只需證··＞abc。
但是，，，。
且上述三式中的等號不全成立，所以，
··＞abc。
因此lg+ lg+ lg＞lga+lgb+lgc。
注：這個證明中的前半部分用的是分析法，後半部分用的是綜合法。
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談綜合法與分析法的應用
綜合法與分析法是數學中的重要方法，它是求解與分析數學問題思維基礎，很多看似較難的問題通過合理、準確的使用綜合法與分析法，都能使結論快速產生；本文再談此兩法的應用，進一步揭示兩法的應用技巧，望對你的學習能有所幫助；
1、使用綜合法
綜合法是從已知出發，經過逐步推理，最後匯出所要達到的結論；可以看出，若使用綜合法求解問題，一定要將條件與結論結合起來，看看條件、再看看結論，如何架好從條件通往結論的橋梁？
例1、設，求證：
證明：由於時，，得
那麼，上述第乙個不等式中等號成立的條件為：
故原不等式成立。
點評：本題的證明不重要，產生這個證明方法的思維過程很重要；你知道是怎麼產生的嗎？是綜合法的「功勞」，請看：
欲從左邊證到右邊，必須消去；如何消？只有經過平方，才能將從根號中「解救」出來，「解救」出來後才有消去的可能；於是在基本不等式中開始「搜尋」與平方有關的不等式，慢慢的就「浮出水面」，解法自然也就誕生了；
2、使用分析法
分析法是從結論出發，逐步尋找使結論成立的充分條件，直到找到乙個明顯成立的條件，這個條件可以是已知條件、公理、定理、定義等；可以看出，若使用分析法求解問題，對結論的簡化與轉化很重要，它是向條件靠攏的重要措施；
例2、設為任意三角形邊長，，
試證：證明：由於
欲證，只需，
只需證，即；
只需證且；
先看，只需證，即，顯然，此式成立，
再看，只需證；
只需證；
只需證且且，由於為三角形邊長，顯然，結論成立；
故點評：本題從表面上看不易「征服」，但通過分析法將結論逐步轉化，由看上去很難「接受」的，轉化為較為親切的，顯然，這比原題的結論看上去要「舒服」多了，當然，求解也就順暢了很多；
3、綜合法與分析同時使用
綜合法與分析法是數學中的兩個「**」，在求解具體數學問題時，不是孤立的，往往它們會聯手出擊；
例3、試證：如果乙個角的兩邊分別平行於另乙個角的兩邊，並且方向相同，那麼這兩個角相等；
已知：如圖，與中，
且，且兩角的方向相同；
求證：分析：（1）與不可能用平行線
的性質，只有考慮構造兩個全等的三角形，再設法證
明兩三角形全等；為此，分別在上擷取，，鏈結，得到；
（2）欲證兩三角形全等，只需證；
（3）只需證是平行四邊形，也就是平行且等於；
（4）只需證「平行且等於」且「平行且等於」
（5）只需證與均為平行四邊形，顯然這是乙個成立的結論；於是：
證明：由於是平行四邊形，則平行且等於；
同理，得平行且等於；
於是平行且等於，那麼是平行四邊形，得
在與中，由於、且，因此，全等於，從而；
點評：分析法找思路較為自然，容易產生解題思路與方法，但由於是「逆行」往往敘述較為複雜；而綜合法產生的解法往往又顯得很突然，一時不知此法由何而來；於是，二者結合，互相彌補便成了大家提倡的，即「用分析找思路，用綜合法寫過程」是十分行之有效方法；
好了，對於綜合法與分析法，本文就談到此，你看後有收穫嗎？
直接證明與間接證明教材精析
在前面我們已經知道合情推理和演繹推理都是根據某些已知判斷來確定乙個新的判斷的思維過程.其中演繹推理在大前提小前提都正確的情況下所得的結論一定正確，而合情推理（歸納、模擬等）所猜測得到的結論不一定正確，必須通過邏輯（演繹）推理的方式加以證明.下面就研究兩類基本的證明方法———直接證明與間接證明.
一、綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證法，也是證明數學問題時最常用的思維方式.
1.綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立的證明方法.又叫順推證法或由因導果法.
其推理方式可用框圖表示為：
其中表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，表示所要證明的結論，表示中間結論．
綜合法常用的表達格式為：，；
又，；，；又，．
2．分析法：從要證明的結論出發，對其進行分析和轉化，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最後，把要證明的結論歸結為判定乙個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止的證明方法.又叫逆推證法或執果索因法.
其推理方式可用框圖表示為：
其中表示要證明的結論，分別表示使成立的充分條件，表示最後尋求到的乙個明顯成立的條件．
分析法常用的表達格式為：
要證，只需證，只需證，，只需證，由於顯然成立，所以成立．
綜合法、分析法都是直接利用已知條件或定義、公理、定理等與所要證明的結論之間的關係推導出所要證明的結論或尋求出使它成立的充分條件，故均屬於直接證法.
二、反證法是間接證明的一種基本方法.
對於某些看來明顯成立而又不便知道根據什麼去推導（綜合法），甚至難於尋求到使之成立的充分條件（分析法）的「疑難」證明題，一般地，可在假設原命題不成立的前提下，經過正確的邏輯推理，最後得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立.這種證明方法叫做反證法.
簡易邏輯部分中四種命題間的關係領悟得好的同學不難悟出反證法的原理不外乎「互為逆否命題的兩個命題真假一致」，即：「」「」．
用反證法證題的格式一般為：
假設不成立，若，，則，這與已知（定義、公理、定理等）相矛盾，
∴假設不成立，成立．
1．綜合法的每一步都是三段論（或其簡略形式），大前提一定要正確，否則證明易出錯.
2.使用分析法時一定要注意對所要證明的結論是以「分析」的語氣對待的，因而證明格式上應體現出「分析」**性（「要證…，只需證…」），而非直接肯定結論.
例1 求證．
錯證：，
，，，，顯然原不等式成立．
錯因：對分析法的原理不理解，以至於將所要證明的結論當成已知條件來用了.
正：只需將「∵」改為「要證」，「∴」 改為「只需證」.
3.綜合法和分析法往往不是單一地使用的，而是結合兼用的，特別是較為複雜的證明（教科書例3）.一般是先用綜合法由已知條件p推出乙個中間結論m，再用分析法探求，發現m正是使所要證結論q成立的充分條件.
證明過程用框圖1表示；或者先用分析法尋求出使所要證明的結論q成立的充分條件m，再用綜合法由已知條件p推出m.證明過程用框圖2表示. 或
例2 教科書中對例3的證法是先綜合後分析，證明過程如框圖１的形式；我們還可以改用框圖2的形式，先分析後綜合來證.
證明：要證，
只需證，
即證即證，即證 ③．
另一方面，因為，所以將已知中的①②代入上式，
即得與③相同，於是問題得證．
4.綜合法與分析法當所用的證據相同時形式上是互逆的，因此往往可以互相改寫，但須注意二者表達格式的迥異.
5.反證法也經常與綜合法或分析法結合使用.
例3 證明不可能成等差數列．
證明（一）：假設成等差數列，即，下面（用分析法）證明．
要證，只需證，
即證，即證，
即證，而該式顯然成立，
故，這與假設相矛盾，
所以假設不成立，從而不成等差數列．
證明（二）：假設成等差數列，即，下面（用綜合法）證明．
，，，即，即，，這與假設相矛盾，
故假設不成立，從而不成等差數列．
22直接證明與間接證明
目標認知 學習目標 1 結合已經學過的數學例項，了解直接證明的兩種基本方法 綜合法和分析法，了解間接證明的一種基本方法 反證法 2 了解綜合法 分析法和反證法的思考過程 特點.重點 根據問題的特點，結合綜合法 分析法和反證法的思考過程 特點，選擇適當的證明方法或把不同的證明方法結合使用.難點 根據問...
數學22《直接證明與間接證明》素材新人教A版選修22
例說綜合法與分析法 所謂綜合法，是指 由因導果 的思維方法，即從已知條件出發，不斷地展開思考，去探索結論的方法。綜合法的思維過程的全貌可概括為下面形式 已知 可知 可知 結論 所謂分析法，是指 執果索因 的思維方法，即從結論出發，不斷地去尋找需知，直至達到已知事實為止的方法。分析法的思維過程的全貌可...
直接證明與間接證明
教學過程 課堂匯入 已知，運用分析法和綜合法證明不等式成立。下面進入我們今天的學習！複習預習 1 綜合法從已知出發，以已知的定義 公理 定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止 2 分析法從問題的結論出發，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止 3 ...