2008——2009學年度高三數學同步測試——不等式解法與證明
（時間：120分鐘，分值150分）
一、選擇（60分）
1．不等式組的解集是（ ）
a．｛x｜－1＜x＜1b．｛x｜0＜x＜３
c．｛x｜0＜x＜1d．｛x｜－1＜x＜３
解析：原不等式等價於： 0＜x＜1。答案：c
點評：一元二次不等式的求解問題是高中數學的基礎性知識，是解決其它問題的基礎。
變式．不等式》0的解集為（ ）a. b.c. d.。答案：c
點評：簡單的分式不等式的解法是高中數學中常用到的求範圍問題工具，分式不等式的解題思路是：分式化整式（注意分母不為零）。
2．不等式（1＋x）（1－｜x｜）＞0的解集是（ ）
a．｛x｜0≤x＜1b.｛x｜x＜0且x≠－1
c．｛x｜－1＜x＜1d.｛x｜x＜1且x≠－1
解析：答案：d；
解法一：①x≥0時，原不等式化為：（1＋x）（1－x）＞0，
∴（x＋1）（x－1）＜0，
∴0≤x＜1。
②x＜0時，原不等式化為：（1＋x）（1＋x）＞0（1＋x）2＞0，
∴x≠－1，
∴x＜0且x≠－1。
綜上，不等式的解集為x＜1且x≠－1。
解法二：原不等式化為： ①或 ②
①解得－1＜x＜1，
②解得即x＜－1，
∴原不等式的解集為x＜1且x≠－1。
點評：該題體現了對討論不等式與不等式組的轉化及去絕對值的基本方法的要求。
3．不等式組的解集是（ ）
a.｛x｜0＜x＜2 b.｛x｜0＜x＜2.5c.｛x｜0＜x＜ d.｛x｜0＜x＜3
答案：c
解法一：當x≥2時，原不等式化為，
去分母得（x+2）（3－x）＞（x+3）（x－2），
即－x2＋x＋6＞x2＋x－6，2x2－12＜0，。
注意x≥2，得2≤x＜；
當0＜x＜2時，原不等式化為，去分母得－x2＋x＋6＞－x2－x＋6。
即2x＞0 注意0＜x＜2，得0＜x＜2。
綜上得0＜x＜，所以選c。
解法二：特殊值法.取x=2，適合不等式，排除a；取x=2.5，不適合不等式，排除d；再取x=，不適合不等式，所以排除b；選c。
點評：此題考查不等式的解法、直覺思維能力、估算能力。
4．在（0，2π）內，使sinx＞cosx成立的x取值範圍為（ ）
ab.（，π）
cd.（，π）∪（，）
答案：c
解法一：作出在（0，2π）區間上正弦和余弦函式的圖象，解出兩交點的橫座標和，由圖4—6可得c答案。
圖4—6圖4—7
解法二：在單位圓上作出
一、三象限的對角線，由正弦線、余弦線知應選c.（如圖4—7）。
變式2：（06山東理，3）設f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為（ ）
(a)（1，2）（3b)（，+∞）
(c)（1，2d)（1，2）
答案：c；
點評：特殊不等式的求解，轉化是一方面，借助於函式的性質和圖象也是解決問題的有效手段。
5．已知集合a＝，b＝，且，則實數的取值範圍是（c）
a． b． a<1 c． d．a>2
6．已知為r上的減函式，則滿足的實數的取值範圍是（c）
a．（－1，1b．（0，1）
c．（－1，0）（0，1） d．（－，－1）（1，＋）
7．已知集合，則（b）
(a) (b) (cd)
8．若，，則的元素個數為 （ ）b
（a）0b）1c）2d）3
9．不等式: >0的解集為（c）
(a)( -2, 1b) ( 2, +∞)
(c) ( -2, 1)∪ ( 2d) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)
10．「」是「」的什麼條件……（a ）
a．充分而不必要 b．必要而不充分 c．充要 d．既不充分也不必要
11．已知是r上的減函式，則滿足的實數x的取值範圍是（d ）
a． b． c． d．
12．設均為正數，且，，．則（ a ）
二、填空（25分）
13．不等式（）＞3－2x的解集是_____。
解析：將不等式變形得則－x2＋8＞－2x，從而x2－2x－8＜0，
（x＋2）（x－4）＜0，－2＜x＜4，所以不等式的解集是｛x|－2＜x＜4｝．
評述：此題考查指數不等式的解法；
14．已知集合，．若，則實數的取值範圍是 （2，3
15．設集合，，，
（1）的取值範圍是 ；
（2）若，且的最大值為9，則的值是
（1）（2）
16．（07重慶）若函式f(x) =的定義域為r，則a的取值範圍為_______.
17．三個同學對問題「關於的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恆成立，求實數的取值範圍」提出各自的解題思路。
甲說：「只須不等式左邊的最小值不小於右邊的最大值」；
乙說：「把不等式變形為左邊含變數的函式，右邊僅含常數，求函式的最值」；
丙說：「把不等式兩邊看成關於的函式，作出函式影象」；
參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即的取值範圍是 。
答案：a≤10。
三、解答題（65分）
18．解關於x的不等式
解：下面對引數m進行分類討論：
①當m=時，原不等式為 –(x+1)>0，∴不等式的解為
②當時，原不等式可化為
，∴不等式的解為或
③當時，原不等式可化為
， 當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式無解
綜上述，原不等式的解集情況為：
①當時，解為；
②當時，無解；
③當時，解為；
④當m=時，解為；
⑤當時，解為或
19．己知都是正數，且成等比數列，求證：
證明：成等比數列，
都是正數，
20．記關於的不等式的解集為，不等式的解集為．
（）若，求；
（）若，求正數的取值範圍．
解：（）由，得．
（）．由，得，又，所以，
即的取值範圍是．
21．某化工企業2023年底投入100萬元，購入一套汙水處理裝置．該裝置每年的運轉費用
是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由於裝置
老化，以後每年的維護費都比上一年增加2萬元．
（1）求該企業使用該裝置年的年平均汙水處理費用（萬元）；
（2）問為使該企業的年平均汙水處理費用最低，該企業幾年後需要重新更換新的汙水
處理裝置？
解：（1）
即（）；（不註明定義域不扣分，或將定義域寫成也行）
（2）由均值不等式得：（萬元）
當且僅當，即時取到等號．
答：該企業10年後需要重新更換新裝置．
22.已知拋物線與直線相切於點．
（ⅰ）求的解析式；
（ⅱ）若對任意，不等式恆成立，求實數的取值範圍．
解：（ⅰ）依題意，有，．
因此，的解析式為；
（ⅱ）由（）得（），解之得
（）由此可得
且，所以實數的取值範圍是．
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