第24周分解質因數二

第二十四周分解質因數（二）

專題簡析：

許多題目，特別是一些競賽題，初看起來很玄妙，但它們都與乘積有關，對於這類題目，我們可以用分解質因數的方法求解。因此，掌握並靈活應用分解質因數的知識，能解答許多一般方法不能解答的與積有關的應用題。

例題1 三個質數的和是80，這三個數的積最大可以是多少？

分析三個質數相加的和是偶數，必有乙個質數是2。80－2=78，剩下兩個質數的和是78，而且要使它的積最大，只能是41和37。因此，這三個質數是2、37和41。

最大積是2×37×41=3034

練習一1，有三個質數，它們的乘積是1001，這三個質數各是多少？

2，張明是個初中生，有一次，他參加數學競賽後，所得的名次、分數和他的歲數三者的積是2910。求張明的成績、名次和年齡分別是多少？

3，寫出若干個連續的自然數，使它們的積是15120。

例題2 長方形的面積是375平方公尺，已知它的寬比長少10公尺，長和寬的和是多少公尺？

分析這道題如果用方程來解會比較麻煩，我們可以把375分解質因數看一看。375=5×5×5×3，因為5×5比5×3正好多10，所以，此長方形的長是5×5=25公尺，寬是5×3=15公尺，它們的和是40公尺。

練習二1，237除以乙個兩位數，所得的餘數是6，請寫出適合於這個條件的所有兩位數。

2，有4個孩子，恰好乙個比乙個大1歲，4人的年齡積是3024，這4個孩子中最大的幾歲？

3，有一塊長方形的場地，它是由319塊1平方分公尺的水泥方磚鋪成的，求這塊長方形場地的周長。

例題3 某班同學在班主任老師帶領下去種樹，學生恰好平均分成三組，如果師生每人種樹一樣多，一共種了1073棵，那麼，平均每人種了多少棵？

分析根據每人種樹棵數×參加人數=1073，把1073分解質因數：1073=29×37，再根據學生恰好平均分成三組可知：參加種樹的人數是3的倍數多1，由於只有37比3的倍數多1，所以有37人，平均每人種29棵。

練習三1，乙個長方體的長、寬、高是三個連續的自然數。已知這個長方體的體積是9240立方厘公尺，那麼，這個長方體的表面積是多少？

2，老師用216元買一種鋼筆若干支，如果每支鋼筆便宜1元錢，那麼他就能多買3支。每支鋼筆原價多少元？

3，王老師帶同學們擦玻璃，同學們恰好平均分成3組。如果師生每人擦的塊數同樣多，一共擦111塊，那麼，平均每人擦了多少塊？

例題4 把155/186和221/187約分。

分析這兩個分數的分子和分母都比較大，不能一眼看出分子和分母的公約數。我們可以先求出分子與分母的差，如果差是質數，就直接用這個質數去約分；如果差是合數，就把這個合數分解質因數，然後用其中的乙個質數去約分。

（1）186－155=31，31是質數，用31約分得：155/186=5/6；

（2）221－187=34，34=2×17，用17約分得：221/187=13/11。

練習四請用上面的方法把下面的幾個分數約分。

46/69 143/117 247/323 161/253

例題5 小明用2.16元買了一種畫片若干張，如果每張畫片的價錢便宜1分錢，那麼他還能多買3張。小明買了多少張畫片？

分析根據題意可知：畫片的單價×張數=216分，它們乘積的質因數和216的質因數相同。我們可以先把216分解質因數，再寫成兩數相乘的形式分析：

216=2^3×3^3=8×27=9×24，顯然，216分可以買8分的畫片27張，也可以買9分的畫片24張。所以，小明買了24張畫片，符合題意。

練習五1，求2310的約數中，除它本身以外最大的約數是多少？

2，自然數a乘以2376，所得的積正好是自然數b的平方，求a最小是多少？

3，將750元獎金平均分給若干個獲獎者，如果每人所得的錢數化成角為單位的數就正好是得錢人數的12倍，求獲獎人數和每人分得的錢數。

第24周分解質因數 二