高考真題-幾何證明選講
3．（2008江蘇，21a，10分）如圖，設△abc的外接圓的切線ae與bc的延長線交於點e，∠bac的平分線與bc交於點d。
求證：ed2=ec·eb。
4．（2008寧夏、海南，22，10分）（選修4—1：幾何證明選講）如圖，過圓o外一點m作它的一條切線，切點為a，過a點作直線ap垂直直線om，垂足為p。
（1）證明：om·op=oa2；
（2）n為線段ap上一點，直線nb垂直直線on，且交圓o於b點。過b點的切線交直線on於k。證明：∠okm=90°。
5．（2007海南、寧夏，22a，10分）（選修4—1：幾何證明選講）如圖，已知ap是⊙o的切線，p為切點，ac是⊙o的割線，與⊙o交於b、c兩點，圓心o在∠pac的內部，點m是bc的中點。
（1）證明a，p，o，m四點共圓；
（2）求∠oam+∠apm的大小。
8.（2009海南寧夏22） 如圖，已知的兩條角平分線ad和ce相交於h，
，f在ac上，且ae=af。[**:z,xx,
（i）證明：b，d，h，e四點共圓；
（ⅱ）證明：
xx|k
.co9．（2009遼寧22）
已知△abc中，ab=ac，d是△abc外接圓劣弧ac的點（不與點a，c重合），延長bd至e。
（i）求證：ad的延長線平分∠cde；
（ii）若∠bac=30°，△abc中bc邊上的高為，求△abc外接圓的面積。
[**:zx
[1．（2023年高考江蘇卷試題21）選修4-1：幾何證明選講
（本小題滿分10分）
ab是圓o的直徑，d為圓o上一點，過d作圓o的切線交ab延長線於點c，若da=dc，求證：ab=2bc。
2. (2023年全國高考寧夏卷22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，已經圓上的弧，過c點的圓切線與ba的延長線交於e點，證明：
（ⅰ）∠ace=∠bcd；
（ⅱ）bc2=bf×cd。
3．（2023年高考遼寧卷理科22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，的角平分線ad的延長線交它的外接圓於點e
（）證明：
（）若的面積，求的大小。
[**:學科
3．【解析】因為ae是圓的切線，所以∠abc=∠cae。又因為ad是∠bac的平分線，所以∠bad=∠cad，從而∠abc+∠bad=∠cae+∠cad。因為∠ade=∠abc+∠bad，∠dae=∠cae+∠cad，所以∠ade=∠dae，故ea=ed。
因為ea是圓的切線，所以由切割線定理知，ea2=ec·eb。而ea=ed，所以ed2=ec·eb。
4．【解析】（1）證明：因為ma是圓o的切線，所以oa⊥am。又因為ap⊥om，在rt△oam中，由射影定理知，oa2=om·op。
（2）證明：因為bk是圓o的切線，bn⊥ok，同（1），有ob2=on·ok，又ob=oa，
所以op·om=on·ok，即
又∠nop=∠mok，
所以△onp∽△omk，
故∠okm=∠opn=90°
[**:z,xx,
5．【解析】（1）鏈結op、om。[**:學§科§網]
因為ap與⊙o相切於點p，所以op⊥ap。因為m是⊙o的弦bc的中點，所以om⊥bc。於是∠opa+∠oma=180°，由圓心o在∠pac的內部，可知四邊形apom的對角互補，所以a，p，o，m四點共圓。
（2）由（1）得a，p，o，m四點共圓，所以∠oam=∠opm。由（1）得op⊥ap。由圓心o在∠pac的內部，可知∠opm+∠apm=90°，所以∠oam+∠apm=90°
6.【解析】
（ⅰ）證明：因為ma是圓o的切線，所以oa⊥am
又因為ap⊥om，在rt△oam中，由射影定理知，
（ⅱ）證明：因為bk是圓o的切線，bn⊥ok，
同（ⅰ），有ob2=on·ok，又ob=oa，
所以op·om=on·ok，即
又∠nop=∠mok，
所以△onp∽△omk，故∠okm=∠opn=90°
（ⅰ）在△abc中，因為∠=600，[**
所以∠bac+∠bca=1200．
因為ad，ce是角平分線，
所以∠hac+∠hca=600，
故∠ahc=1200．
於是∠ehd=∠ahc=1200．
因為∠ebd+∠ehd=1800，
所以b、d、h、e四點共圓．
（ⅱ）鏈結bh，則bh為∠abc的平分線， 得∠hbd=300
由（ⅰ）知b、d、h、e四點共圓，
所以∠ced=∠hbd=300．
又∠ahe=∠ebd=600，
由已知可得ef⊥ad，
可得∠cef=300．
所以ce平分∠def．
9．【解析】
（1）如圖，設f為ad延長線上一點。
（ii）設o為外接圓圓心，連線ao交bc於h，則。
鏈結oc，由題意
設圓半徑為r，則外接圓面積為4。
(2010)
【試題評析】本題主要考查平面幾何中的直線與圓的綜合，要注意有
二、解答題：
1． [解析] 本題主要考查三角形、圓的有關知識，考查推理論證能力。
（方法一）證明：鏈結od，則：od⊥dc，
又oa=od，da=dc，所以∠dao=∠oda=∠dco，
∠doc=∠dao+∠oda=2∠dco，
所以∠dco=300，∠doc=600，
所以oc=2od，即ob=bc=od=oa，所以ab=2bc。
（方法二）證明：鏈結od、bd。
因為ab是圓o的直徑，所以∠adb=900，ab=2 ob。
因為dc 是圓o的切線，所以∠cdo=900。
又因為da=dc，所以∠dac=∠dca，
於是△adb≌△cdo，從而ab=co。
即2ob=ob+bc，得ob=bc。
故ab=2bc。
2. （22）解：
（i）因為,
所以.又因為與圓相切於點，故，
所以.（ii）因為,
所以∽，故，
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