幾何證明與計算
1．如圖，在△abc中，ad⊥bc於點d，bd＝ad，dg＝dc，點e，f分別是bg，ac的中點．
(1)求證：de＝df，de⊥df；
(2)連線ef，若ac＝10，求ef的長．
2. 如圖，在abcd中，de＝ce，連線ae並延長交bc的延長線於點f.
(1)求證：△ade≌△fce；
(2)若ab＝2bc，∠f＝36°.求∠b的度數．
3. 如圖，在菱形abcd中，g是bd上一點，連線cg並延長交ba的延長線於點f，交ad於點e.
(1)求證：ag＝cg；
(2)求證：ag2＝ge·gf.
4. 如圖，在△abc中，∠c＝90°，∠b＝30°，ad是△abc的角平分線，de∥ba交ac於點e，df∥ca交ab於點f，已知cd＝3.
(1)求ad的長；
(2)求四邊形aedf的周長．(注意：本題中的計算過程和結果均保留根號)
5. 如圖，在菱形abcd中，點e，o，f分別為ab，ac，ad的中點，連線ce，cf，oe，of.
(1)求證：△bce≌△dcf；
(2)當ab與bc滿足什麼關係時，四邊形aeof是正方形？請說明理由．
6. 如圖，點e是正方形abcd的邊bc延長線上一點，連線de，過頂點b作bf⊥de，垂足為f，bf分別交ac於點h，交cd於點g.
(1)求證：bg＝de；
(2)若點g為cd的中點，求的值．
7. 如圖，在正方形abcd中，點g在對角線bd上(不與點b，d重合)，ge⊥dc於點e，gf⊥bc於點f，連線ag.
(1)寫出線段ag，ge，gf長度之間的數量關係，並說明理由；
(2)若正方形abcd的邊長為1，∠agf＝105°，求線段bg的長．
8. 如圖，在△abc中，ad⊥bc，be⊥ac，垂足分別為d，e，ad與be相交於點f.
(1)求證：△acd∽△bfd；
(2)當tan∠abd＝1，ac＝3時，求bf的長．
9. 如圖，在菱形abcd中，g是bd上一點，連線cg並延長交ba的延長線於點f，交ad於點e.
(1)求證：ag＝cg；
(2)求證：ag2＝ge·gf.
10. 如圖，在△abc和△bcd中，∠bac＝∠bcd＝90°，ab＝ac，cb＝cd.延長ca至點e，使ae＝ac；延長cb至點f，使bf＝bc.
連線ad，af，df，ef，延長db交ef於點n.
(1)求證：ad＝af；
(2)求證：bd＝ef；
(3)試判斷四邊形abne的形狀，並說明理由．
11. 在△abc中，∠abm＝45°，am⊥bm，垂足為m，點c是bm延長線上一點，連線ac.
(1)如圖①，若ab＝3，bc＝5，求ac的長；
(2)如圖②，點d是線段am上一點，md＝mc，點e是△abc外一點，ec＝ac，連線ed並延長交bc於點f，且點f是線段bc的中點，求證：∠bdf＝∠cef.
12. 如圖，正方形abcd中，m為bc上一點，f是am的中點，ef⊥am，垂足為f，交ad的延長線於點e，交dc於點n.
(1)求證：△abm∽△efa；
(2)若ab＝12，bm＝5，求de的長．
參***：
1. 解：(1)證明：∵ad⊥bc，∴∠adb＝∠adc＝90°.
在△bdg和△adc中，
，∴△bdg≌△adc.
∴bg＝ac，∠bgd＝∠c.∵∠adb＝∠adc＝90°，
e，f分別是bg，ac的中點，∴de＝bg＝eg，
df＝ac＝af.∴de＝df，∠edg＝∠egd，∠fda＝∠fad.
∴∠edg＋∠fda＝90°，∴de⊥df.
(2)∵ac＝10，∴de＝df＝5，由勾股定理，得ef＝＝5.
2. 解：(1)證明：∵四邊形abcd是平行四邊形，∴ad∥bc，ad＝bc.
∴∠d＝∠ecf.在△ade和△fce中，
∴△ade≌△fce(asa)．
(2)∵△ade≌△fce，∴ad＝fc.∵ad＝bc，ab＝2bc，
∴ab＝fb.∴∠baf＝∠f＝36°.∴∠b＝180°－2×36°＝108°.
3. 證明：(1)∵四邊形abcd是菱形，∴ab∥cd，ad＝cd，
∠adb＝∠cdb.又gd為公共邊，∴△adg≌△cdg(sas)，∴ag＝cg.
(2)∵△adg≌△cdg，∴∠eag＝∠dcg.∵ab∥cd，
∴∠dcg＝∠f.∴∠eag＝∠f.∵∠age＝∠age，
∴△age∽△fga.∴＝.∴ag2＝ge·gf.
4. 解：(1)∵∠c＝90°，∠b＝30°，∴∠cab＝60°.
∵ad平分∠cab，∴∠cad＝∠cab＝30°.
在rt△acd中，∵∠acd＝90°，∠cad＝30°，∴ad＝2cd＝6.
(2)∵de∥ba交ac於點e，df∥ca交ab於點f，
∴四邊形aedf是平行四邊形，∠ead＝∠adf＝∠daf.
∴af＝df.∴四邊形aedf是菱形．∴ae＝de＝df＝af.
在rt△ced中，∵de∥ab，∴∠cde＝∠b＝30°.
∴de＝＝2.∴四邊形aedf的周長為8.
5. 解：(1)證明：∵四邊形abcd是菱形，∴∠b＝∠d，
ab＝bc＝dc＝ad.∵點e，o，f分別為ab，ac，ad的中點，
∴ae＝be＝df＝af，of＝dc，oe＝bc，oe∥bc.
在△bce和△dcf中，
∴△bce≌△dcf(sas)．
(2)當ab⊥bc時，四邊形aeof是正方形，
理由如下：由(1)得ae＝oe＝of＝af，
∴四邊形aeof是菱形．∵ab⊥bc，oe∥bc，
∴oe⊥ab.∴∠aeo＝90°.∴四邊形aeof是正方形．
6. 解：(1)證明：∵bf⊥de，∴∠gfd＝90°.∵∠bcg＝90°，
∠bgc＝∠dgf，∴∠cbg＝∠cde.
在△bcg與△dce中.
∴△bcg≌△dce(asa)，∴bg＝de.
(2)設cg＝x，∵g為cd的中點，∴gd＝cg＝x，
由(1)可知△bcg≌△dce(asa)，∴cg＝ce＝x.
由勾股定理可知de＝bg＝x，∵sin∠cde＝＝，
∴gf＝x.∵ab∥cg，∴△abh∽△cgh.∴＝＝.
∴bh＝x，gh＝x.∴＝.
7. 解：(1)結論：ag2＝ge2＋gf2.理由：連線cg.
∵四邊形abcd是正方形，∴點a，c關於對角線bd對稱．
∵點g在bd上，∴ga＝gc.∵ge⊥dc於點e，gf⊥bc於點f，
∴∠gec＝∠ecf＝∠cfg＝90°.∴四邊形egfc是矩形．
∴cf＝ge.在rt△gfc中，∵cg2＝gf2＋cf2，∴ag2＝gf2＋ge2.
(2)過點b作bn⊥ag於點n，在bn上取一點m，使得am＝bm.
設an＝x.∵∠agf＝105°，∠fbg＝∠fgb＝∠abg＝45°，
∴∠agb＝60°，∠gbn＝30°，∠abm＝∠mab＝15°.
∴∠amn＝30°.∴am＝bm＝2x，mn＝x.
在rt△abn中，∵ab2＝an2＋bn2，∴1＝x2＋(2x＋x)2，
解得x＝，∴bn＝.∴bg＝＝.
8. 解：(1)∵ad⊥bc，be⊥ac，∴∠bdf＝∠adc＝∠bec＝90°，∴∠c＋∠dbf＝90°，∠c＋∠dac＝90°，∴∠dbf＝∠dac，∴△acd∽△bfd
(2)∵tan∠abd＝1，∠adb＝90°，∴＝1，∵△acd∽△bfd，∴＝＝1，∴bf＝ac＝3
9. 解：(1)∵四邊形abcd是菱形，∴ab∥cd，ad＝cd，∠adb＝∠cdb，可證△adg≌△cdg(sas)，∴ag＝cg
(2)∵△adg≌△cdg，∴∠eag＝∠dcg，∵ab∥cd，∴∠dcg＝∠f，∴∠eag＝∠f，∵∠age＝∠age，∴△age∽△fga，∴＝，∴ag2＝ge·gf
10. 解：(1)∵ab＝ac，∠bac＝90°，∴∠abc＝∠acb＝45°，∴∠abf＝135°，∵∠bcd＝90°，∴∠acd＝∠acb＋∠bcd＝135°，∴∠abf＝∠acd，∵cb＝cd，cb＝bf，∴bf＝cd，可證△abf≌△acd(sas)，∴ad＝af
(2)由(1)知af＝ad，△abf≌△acd，∴∠fab＝∠dac，∵∠bac＝90°，∴∠eab＝∠bac＝90°，∴∠eaf＝∠bad，可證△aef≌△abd(sas)，∴bd＝ef
(3)四邊形abne是正方形．理由如下：∵cd＝cb，∠bcd＝90°，∴∠cbd＝45°，又∵∠abc＝45°，∴∠abd＝∠abc＋∠cbd＝90°，由(2)知∠eab＝90°，△aef≌△abd，∴∠aef＝∠abd＝90°，∴四邊形abne是矩形，又∵ae＝ab，∴四邊形abne是正方形
11. 解：(1)∵∠abm＝45°，am⊥bm，
∴am＝bm＝abcos45°＝3×＝3.
則cm＝bc－bm＝5－3＝2，∴ac＝＝＝.
(2)證明：延長ef到點g，使得fg＝ef，連線bg.∵dm＝mc，∠bmd＝∠amc，bm＝am，∴△bmd≌△amc(sas)．∴ac＝bd.
又ce＝ac，∴bd＝ce.∵bf＝fc，∠bfg＝∠efc，fg＝fe，∴△bfg≌△cfe.∴bg＝ce，∠g＝∠e.
∴bd＝ce＝bg，∴∠bdg＝∠g＝∠e.
12. 解：(1)證明：∵四邊形abcd是正方形，
∴ab＝ad，∠b＝90°，ad∥bc.∴∠amb＝∠eaf.
又∵ef⊥am，∴∠afe＝90°.∴∠b＝∠afe.∴△abm∽△efa.
(2)∵∠b＝90°，ab＝ad＝12，bm＝5，∴am＝＝13.
∵f是am的中點，∴af＝am＝6.5.∵△abm∽△efa，
∴＝，即＝.∴ae＝16.9，∴de＝ae－ad＝4.9.
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