中考百分百——備戰中考專題
(方案設計型專題)
一、知識網路梳理
通過動手操作來解決一些數學問題特別是作圖題的設計，引導學生將所學的數學知識應用於實際，從數學角度對某些日常生活出現的問題進行設計性研究，有利於學生對數學知識的實踐應用能力和動手操作能力的提高，是學為之用的教改精神的具體體現，是數學教改中的一大熱點．這類題目不僅要求學生要有紮實的數學雙基知識，而且要能夠把實際問題中所涉及到的數學問題轉化、抽象成具體的數學問題，具有很普遍的實際意義，是中考熱點之一．
創新意識的激發，創新思維的訓練，創新能力的培養，是素質教育中最具活力的課題，考查學生的創新意識和實踐能力，將是今後數學中考命題的熱點之一．
近年一些省市的中考數學題中湧現了立意活潑、設計新穎、富有創新意識、培養創新能力的要求學生自我設計題目．這類命題以綜合考查閱讀理解能力、分析推理能力、資料處理能力、文字概括能力、書面表達能力和動手能力等．能與初中所學的重點知識進行聯結．
題型1 設計圖形題
幾何圖形的分割與設計在中考中經常出現，有時是根據面積相等來分割，有時是根據線段間的關係來分割，有時根據其它的某些條件來分割，做此類題一般用尺規作圖．
題型2 設計測量方案題
設計測量方案題滲透到幾何各章節之中，例如：測量底部不能直接到達的小山的高，測量池塘的寬度，測量圓的直徑等，此類題目解法不惟一，是典型的開放型試題．
題型3 設計最佳方案題
此類題目往往要求所設計的問題**現路程最短、運費最少、效率最高等詞語，解題時常常與函式、幾何聯絡在一起．
創新意識的激發，創新思維的訓練，創新能力的培養，是素質教育中最具活力的課題，考查學生的創新意識和實踐能力，將是今後數學中考命題的熱點之一．
近年一些省市的中考數學題中湧現了立意活潑、設計新穎、富有創新意識、培養創新能力的要求學生自我設計題目．這類命題以綜合考查閱讀理解能力、分析推理能力、資料處理能力、文字概括能力、書面表達能力和動手能力等．能與初中所學的重點知識進行聯結．
二、知識運用舉例
（一）方程、函式型設計題
例1．（茂名市）已知甲、乙兩輛汽車同時、同方向從同一地點a出發行駛．
（1）若甲車的速度是乙車的2倍，甲車走了90千公尺後立即返回與乙車相遇，相遇時乙車走了1小時．求甲、乙兩車的速度
（2）假設甲、乙每輛車最多只能帶200公升汽油，每公升汽油可以行駛10千公尺，途中不能再加油，但兩車可以互相借用對方的油，若兩車都必須沿原路返回到出發點a，請你設計一種方案使甲車盡可能地遠離出發點a，並求出甲車一共行駛了多少千公尺？
解：（1）設甲，乙兩車速度分別是x千公尺/時和y千公尺/時，
根據題意得： ．
解之得：．
即甲、乙兩車速度分別是120千公尺/時、60千公尺/時．
（2）方案一：設甲汽車盡可能地遠離出發點a行駛了x千公尺，
乙汽車行駛了y千公尺，則
． ∴即．
即甲、乙一起行駛到離a點500千公尺處，然後甲向乙借油50公升，乙不再前進，甲再前進1000千公尺返回到乙停止處，再向乙借油50公升，最後一同返回到a點，此時，甲車行駛了共3000千公尺．
方案二：（畫圖法）
如圖此時，甲車行駛了（千公尺）．
方案三：先把乙車的油均分4份，每份50公升．當甲乙一同前往，用了50公升時，甲向乙借油50公升，乙停止不動，甲繼續前行，當用了100公升油後返回，到乙停處又用了100公升油，此時甲沒有油了，再向乙借油50公升，一同返回到a點．
此時，甲車行駛了（千公尺）．
例2．（鄂爾多斯）有甲、乙兩家通迅公司，甲公司每月通話的收費標準如圖15所示；乙公司每月通話收費標準如表3所示．
表3（1）觀察圖15，甲公司使用者月通話時間不超過100分鐘時應付話費金額是元；甲公司使用者通話100分鐘以後，每分鐘的通話費為_________元；
（2）李女士買了一部手機，如果她的月通話時間不超過100分鐘，她選擇哪家通迅公司更合算？如果她的月通話時間超過100分鐘，又將如何選擇？
解：（1）；
（2）通話時間不超過100分鐘選甲公司合算
設通話時間為分鐘（），甲公司使用者通話費為元，乙公司使用者通話費為元．
則：當即：時，
當即：時，
當即：時，
答：通話時間不超過500分鐘選甲公司；500分鐘選甲、乙公司均可；超過500分鐘選乙公司．
例3．光華農機租賃公司共有50臺聯合收割機，其中甲型20臺，乙型30臺.現將這50臺聯合收割機派往a、b兩地區收割小麥，其中30台派往a地區，20台派往b地區．
兩地區與該農機租賃公司商定的每天的租賃**見下表：
（1）設派往a地區x臺乙型聯合收割機，租賃公司這50臺聯合收割機一天獲得的租金為y(元)，求y與x間的函式關係式，並寫出x的取值範圍；
（2）若使農機租賃公司這50臺聯合收割機一天獲得的租金總額不低於79600元，說
明有多少種分派方案，並將各種方案設計出來；
（3）如果要使這50臺聯合收割機每天獲得的租金最高，請你為光華農機租賃公司提
出一條合理建議．
解：（1）若派往a地區的乙型收割機為x臺，則派往a地區的甲型收割機為(30－x)臺；派往b地區的乙型收割機為（30－x）臺，派往b地區的甲型收割機為（x－10）臺．
y＝1600x＋1800(30－x)＋1200(30－x)＋1600(x－10)＝200x＋74000．
x的取值範圍是：10≤x≤30(x是正整數)．
（2）由題意得200x＋74000≥79600，
解不等式得x≥28.由於10≤x≤30，∴x取28，29，30這三個值，
有3種不同分配方案．
1 當x＝28時，即派往a地區甲型收割機2臺，乙型收割機28臺；派往b
地區甲型收割機18臺，乙型收割機2臺．
2 當x＝29時，即派往a地區甲型收割機1臺，乙型收割機29臺；派往b
地區甲型收割機19臺，乙型收割機1臺．
③ 當x＝30時，即30臺乙型收割機全部派往a地區；20臺甲型收割機全部派往b地區．
（3）由於一次函式y＝200x＋74000的值y是隨著x的增大而增大的，所以，當x＝30時，y取得最大值.如果要使農機租賃公司這50臺聯合收割機每天獲得租金最高，只需x＝30，此時，y＝6000＋74000＝80000．
建議農機租賃公司將30臺乙型收割機全部派往a地區；20臺甲型收割要全部派往b地區，可使公司獲得的租金最高．
（二）統計型設計題
例4．（江西省）某學校舉行演講比賽，選出了10名同學擔任評委，並事先擬定從如下4個方案中選擇合理的方案來確定每個演講者的最後得分（滿分為10分）：
方案1 所有評委所給分的平均數．
方案2 在所有評委所給分中，去掉乙個最高分和乙個最低分，然後再計算其餘給分的平均數．
方案3 所有評委所給分的中位數．
方案4 所有評委所給分的眾數．
為了**上述方案的合理性，先對某個同學的演講成績進行了統計實驗．下面是這個同學的得分統計圖：
（1）分別按上述4個方案計算這個同學演講的最後得分；
（2）根據（1）中的結果，請用統計的知識說明哪些方案不適合作為這個同學演講的最後得分．
解：（1）方案1最後得分：；
方案2最後得分：；
方案3最後得分：；
方案4最後得分：或．
（2）因為方案1中的平均數受極端數值的影響，不能反映這組資料的「平均水平」，
所以方案1不適合作為最後得分的方案．
因為方案4中的眾數有兩個，眾數失去了實際意義，所以方案4不適合作為最後得分的方案．
例5．（廈門）某中學要召開運動會，決定從初三年級全部的150名的女生中選30人，組成乙個彩旗方隊（要求參加方隊的同學的身高盡可能接近）．現在抽測了10名女生的身高，結果如下（單位：厘公尺）：
166 154 151 167 162 158 158 160 162 162
（1）依據樣本資料估計，初三年級全體女生的平均身高約是多少厘公尺？
（2）這10名女生的身高的中位數、眾數各是多少？
（3）請你依據樣本資料，設計乙個挑選參加方隊的女生的方案．（請簡要說明）
解：（1）因為（166＋154＋151＋167＋162＋158＋158＋160＋162＋162）÷10＝160（厘公尺），所以九年級全體女生的平均身高約是160厘公尺．
（2）這10名女生的身高的中位數是161厘公尺，眾數是162厘公尺．
（3）先將九年級中身高為162厘公尺的所有女生挑選出來作為參加旗隊的女生，如此進行下去，直至挑選到30人為止．
（三）測量設計題
例6．（潛江等）經過江漢平原的滬蓉(上海—成都)高速鐵路即將動工.工程需要測量漢江某一段的寬度.如圖①，一測量員在江岸邊的a處測得對岸岸邊的一根標桿b在它的正北方向，測量員從a點開始沿岸邊向正東方向前進100公尺到達點c處，測得．
（1）求所測之處江的寬度（）；
（2）除（1）的測量方案外，請你再設計一種測量江寬的方案，並在圖②中畫出圖形．
解：（1）在中，，
∴（公尺）
答：所測之處江的寬度約為248公尺
（2）從所畫出的圖形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知識
來解決問題的，只要正確即可得分．
例7．（樂山）如圖（14），小山上有一棵樹．現有測角儀和皮尺兩種測量工具，請你設計一種測量方案，在山腳水平地面上測出小樹頂端到水平地面的距離．
要求：（1）畫出測量示意圖；
（2）寫出測量步驟（測量資料用字母表示）；
（3）根據（2）中的資料計算．
解：（1）測量圖案（示意圖）如圖示
（2）測量步驟：
第一步：在地面上選擇點安裝測角儀，
測得此時樹尖的仰角，
第二步：沿前進到點，用皮尺量
出之間的距離，
第三步：在點安裝測角儀，測得此
時樹尖的仰角，
第四步：用皮尺測出測角儀的高
（3）計算：
令，則，得，
又，得，，，
解得，．
例8（資陽）一座建於若干年前的水庫大壩的橫斷面如圖7所示，其中背水面的整個坡面是長為90公尺、寬為5公尺的矩形. 現需將其整修並進行美化，方案如下：① 將背水坡ab的坡度由1∶0.
75改為1∶；② 用一組與背水坡面長邊垂直的平行線將背水坡面分成9塊相同的矩形區域，依次相間地種草與栽花 ．
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