中考重難點突破
這類問題是近幾年來各地中考的「熱點」．解決存在性問題就是：假設存在→推理論證→得出結論．若能匯出合理的結果，就做出「存在」的判斷，匯出矛盾，就做出不存在的判斷．尤其以二次函式中的是否存在相似三角形、三角形的面積相等、等腰(直角)三角形、平行四邊形作為考查物件是中考命題熱點．這類題型對基礎知識，基本技能提出了較高要求，並具備較強的探索性，正確、完整地解答這類問題，是對知識、能力的一次全面的考查．
【例】拋物線y＝x2－x＋2與x軸交於a，b兩點(oa(1)求點a，b，c的座標；
(2)點p從點o出發，以每秒2個單位長度的速度向點b運動，同時點e也從點o出發，以每秒1個單位長度的速度向點c運動，設點p的運動時間為t秒(0①過點e作x軸的平行線，與bc相交於點d(如圖所示)，當t為何值時，＋的值最小，求出這個最小值並寫出此時點e，p的座標；
②在滿足①的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點f，使△efp為直角三角形？若存在，請直接寫出點f的座標；若不存在，請說明理由．
【學生解答】解：(1)在拋物線的解析式中，令y＝0，即x2－x＋2＝0，解得：x1＝2，x2＝4，∵oa【規律總結】這類問題一般是對結論作出肯定的假設，然後由肯定的假設出發，結合已知條件建立方程，解出方程的解的情況和結合題目的已知條件確定「存在與否」．解題的方法主要是建立方程模型，由方程有無符合條件的解來肯定「存在與否」的問題．
模擬題區
1．在平面直角座標系中，拋物線y＝x2＋(k－1)x－k與直線y＝kx＋1交於a，b兩點，點a在點b的左側．
(1)如圖(1)，當k＝1時，寫出a，b兩點的座標；
(2)在(1)的條件下，點p為拋物線上的乙個動點，且在直線ab下方，試求出△abp面積的最大值及此時點p的座標；
(3)如圖(2)，拋物線y＝x2＋(k－1)x－k(k>0)與x軸交於點c，d兩點(點c在點d的左側)，在直線y＝kx＋1上是否存在唯一一點q，使得∠oqc＝90°？若存在，請求出此時k的值；若不存在，請說明理由．
解：(1)當k＝1時，拋物線的解析式為y＝x2－1，直線的解析式為y＝x＋1.聯立兩個解析式，得x2－1＝x＋1，解得：
x＝－1或x＝2，當x＝－1時，y＝x＋1＝0；當x＝2時，y＝x＋1＝3，∴a(－1，0)，b(2，3)；(2)設p(x，x2－1)．如圖(1)所示， 過點p作pf∥y軸，交直線ab於點f，則f(x，x＋1)．∴pf＝(x＋1)－(x2－1)＝－x2＋x＋注：an、bm是兩個三角形的高)，∴s△abp＝(－x2＋x＋2)＝－＋，當x＝時，y＝x2－1＝－.∴△abp面積最大值為，此時點p座標為；(3)設直線ab：
y＝kx＋1與x軸、y軸分別交於點e，f，則e，f(0，1)，oe＝，of＝1.在rt△eof中，由勾股定理得：ef＝＝.
令y＝x2＋(k－1)x－k＝0，即(x＋k)(x－1)＝0，解得x＝－k或x＝1.∴c(－k，0)，oc＝k.設以oc為直徑的圓與直線ab相切於點q，根據圓周角定理，此時∠oqc＝90°.
設點n為oc中點，連線nq，如圖(2)所示，則nq⊥ef，nq＝cn＝on＝.∴en＝oe－on＝－.∵∠neq＝∠feo，∠eqn＝∠eof＝90°，∴△eqn∽△eof，∴＝，即＝，解得k＝±，∵k>0，∴k＝.
∴當k＝時，存在唯一一點q，使得∠oqc＝90°.
2．如圖所示，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過原點o，與x軸交於另一點n，直線y＝kx＋4與兩座標軸分別交於a，d兩點，與拋物線交於b(1，m)，c(2，2)兩點．
(1)求直線與拋物線的解析式；
(2)若拋物線在x軸上方的部分有一動點p(x，y)，設∠pon＝α，求當△pon的面積最大時tanα的值．
(3)若動點p保持(2)中的運動路線，問是否存在點p，使得△poa的面積等於△pon面積的？若存在，請求出點p的座標；若不存在，請說明理由．
解：(1)直線解析式為y＝－x＋4，拋物線解析式為y＝－2x2＋5x；
(2)tanα＝；
(3)存在．p(1，3)．
中考真題區
3．如圖，在平面直角座標系xoy中，拋物線y＝－x2＋bx＋c過點a(0，4)和c(8，0)，p(t，0)是x軸正半軸上的乙個動點，m是線段ap的中點，將線段mp繞點p順時針旋轉90°得線段pb.過點b作x軸的垂線，過點a作y軸的垂線，兩直線相交於點d.
(1)求b，c的值；
(2)當t為何值時，點d落在拋物線上；
(3)是否存在t，使得以a，b，d為頂點的三角形與△aop相似？若存在，求此時t的值；若不存在，請說明理由．
解：(1)c＝4，b＝；(2)∵∠aop＝∠peb＝90°，∠oap＝90°－∠apo＝∠epb，∴△aop∽△peb，且相似比為＝＝2，∵ao＝4，∴pe＝2，oe＝op＋pe＝t＋2，又∵de＝oa＝4，∴點d的座標為(t＋2，4)，∴點d落在拋物線上時，有－(t＋2)2＋(t＋2)＋4＝4，解得t＝3或t＝－2，∵t＞0，∴t＝3，故當t為3時，點d落在拋物線上；(3)存在t，能夠使得以a，b，d為頂點的三角形與△aop相似．理由如下：①當0＜t＜8時，若△poa∽△adb，則＝，即＝整理，得t2＋16＝0，∴t無解，若△poa∽△bda，同理，解得t＝－2±2 (負值捨去)；②當t＞8時，若△poa∽△adb，則＝，即＝，解得t＝8±4 (負值捨去)；若△poa∽△bda，同理，解得t無解．綜上所述，當t＝－2＋2或t＝8＋4時，以a，b，d為頂點的三角形與△aop相似．
4．綜合與**
如圖，在平面直角座標系中，已知拋物線y＝ax2＋bx－8與x軸交於a，b兩點，與y軸交於點c，直線l經過座標原點o，與拋物線的乙個交點為d，與拋物線的對稱軸交於點e，連線ce，已知點a，d的座標分別為(－2，0)，(6，－8)．
(1)求拋物線的函式解析式，並分別求出點b和點e的座標；
(2)試**拋物線上是否存在點f，使△foe≌△fce? 若存在，請直接寫出點f的座標；若不存在，請說明理由；
(3)若點p是y軸負半軸上的乙個動點，設其座標為(0，m)，直線pb與直線l交於點q，試**：當m為何值時，△opq是等腰三角形．
解：(1)拋物線解析式為y＝x2－3x－8，∵y＝x2－3x－8＝(x－3)2－，∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，又∵拋物線與x軸交於點a，b兩點，點a座標(－2，0)，∴點b的座標為(8，0)．設直線l的解析式為y＝kx，∵經過點d(6，－8)，∴6k＝－8，∴k＝－，∴直線l的解析式為y＝－x，∵點e為直線l與拋物線對稱軸的交點，∴點e的橫座標為3，縱座標為－×3＝－4，∴點e的座標(3，－4)；(2)拋物線上存在點f使得△foe≌△fce，此時點f縱座標為－4，∴x2－3x－8＝－4，∴x2－6x－8＝0，x＝3±，∴點f座標(3＋，－4)或(3－，－4)；
圖1(3)①如圖1中，當op＝oq時，△opq是等腰三角形．∵點e座標(3，－4)，∴oe＝＝5，過點e作直線me∥pb，交y軸於點m，交x軸於點h.則＝，∴om＝oe＝5，∴點m座標(0，－5)．設直線me的解析式為y＝k1x－5，∴3k1－5＝－4，k1＝，∴直線me的解析式為y＝x－5，令y＝0，得x－5＝0，解得x＝15，∴點h的座標(15，0)，∵mh∥pb，∴＝，即＝，∴m＝－；
圖2②如圖2中，當qo＝qp時，△poq是等腰三角形．∵當x＝0時，y＝x2－3x－8＝－8，∴點c座標(0，－8)，∴ce＝＝5，∴oe＝ce，∴∠1＝∠2，∵qo＝qp，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴ce∥pb，設直線ce交x軸於n，解析式為y＝k2x－8，將點e座標代入，∴3k2－8＝－4，k2＝，∴直線ce的解析式為y＝x－8，令y＝0，得x－8＝0，x＝6，∴點n座標(6，0)，∵cn∥pb，∴＝，∴＝，∴m＝－.綜上所述，當m＝－或－時，△opq是等腰三角形．
2019屆廣州中考數學複習限時訓練題 五
班級姓名分數 一 選擇題 6x8 48分 1 的相反數是 a b 2cd 2 2.下列運算正確的是 a a3 a4 a7 b 2a3a4 2a7 c 2a4 3 8a7 d a8 a2 a4 3.一次函式y 2x 1的圖象不經過下列哪個象限 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 4...
中考數學總複習
課時1 實數 班級姓名 學習目標 1 了解有理數 無理數 實數 數軸 絕對值的概念 2 了解有效數字 近似數 科學記數法的意義 3 理解平方根 算術平方根 立方根的概念及運算。考點鏈結 1 實數的意義 實數可分為和 數軸的三要素為和數軸上的點與構成一一對應.實數的相反數為若，互為相反數，則 非零實數...
中考複習02 數學總複習
在教與學的統一體中，教總是起著主導作用，而進入初三總複習階段，學生的學相對來說要主動些了。這時，老師如何教，教什麼，這對提高教學質量，培養學生能力更是至關重要。為使學生在中考中獲得主動，得到優良的成績，就必須在中考之前有計畫 有步驟地安排總複習，明確總複習的思路。那麼，初中數學總複習應如何安排？要注...