熱點專題四圖形的認識
【考點聚焦】
圖形的認識主要包括點、線、面、角，平行線與相交線，三角形，四邊形，圓，尺規作圖，檢視與投影七個部分．基本幾何圖形的考題多以填空、選擇、解答題、實踐操作題、拓展**題等形式出現．這部分內容的考題大多為容易題或中難題，但有的與其他知識點綜合在一起出現在較難題中．
1．角：會計算角度；認識度、分、秒，會進行簡單的換算；了解角平分線及其性質．
2．平行線與相交線：線段垂直平分線及性質；相交線中「兩線四角」及「三線八角」中形成的對頂角、同位角、內錯角、同旁內角等角與角之間的關係；平行線的性質及判定；平行線間的距離及平行線、垂線的畫法等．
3．三角形：三角形的邊角關係及三角形的分類；三角形的角平分線、中線、高線、中位線等重要線段的性質；全等三角形的性質與判定；等腰三角形的性質與判定；等邊三角形的性質；直角三角形中的勾股定理及其逆定理等．
4．四邊形：對平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質與判定，了解多邊形的內角和與外角和公式、正多邊形的概念，平面的密鋪及其簡單設計等．
5．圓：有關概念，如：弧、弦、圓心角、圓周角等及其它們之間的關係；點與圓、直線與圓、圓與圓之間的位置關係，切線的性質及判定；與圓有關的計算，如求弧長、扇形的面積、圓錐的側面積與全面積等．
6．尺規作圖：能完成以下基本作圖：作一條線段等於已知線段，作乙個角等於已知角，作角的平分線，作線段的垂直平分線，過一點作垂線；能利用基本作圖作三角形：
已知三邊作三角形；已知兩邊及其夾角作三角形；已知兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；會探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓．了解尺規作圖的步驟，對於尺規作圖題，會寫已知、求作和作法（不要求證明）．
7．檢視與投影：會畫基本幾何體（直稜柱、圓柱、圓錐、球）的三檢視（主檢視、左檢視、俯檢視），會判斷簡單物體的三檢視，能根據三檢視描述基本幾何體或實物原型；了解直稜柱、圓錐的側面展開圖，能根據展開圖判斷和製作立體模型；了解基本幾何體與其三檢視、展開圖（球除外）之間的關係．
【熱點透視】
熱點1：平行線的性質及角的計算的考查
例1 （2008株州）如圖1，已知，直線mn分別交ab、cd於e、f，，平分∠meb，那麼∠meg的大小是_________度．
分析：本題根據兩直線平行，同位角相等可得，再利用角平分線的定義迅速求得∠meg的大小．
解：25．
點評：本題考查了平行線的性質和角平分線及其性質，這種型別的題注重雙基，注重通性通法，在試題難度上屬容易題，學生解題時能迅速上手．
熱點2：平行線的性質與三角形知識相聯絡的考查
例2 （2008永州）如圖2所示，，，，則的度數為（ ）
分析：本題延長ea交cd於點f，則將求的度數轉化為求的度數，利用三角形外角的性質可迅速求解．
解：選（c）．
點評：本題亦可延長ba或鏈結ca並延長，構造三角形求解，考查了平行線的性質及三角形內角及外角的性質，具有一定的綜合性．
熱點3：三角形角之間關係的考查
例3 （2008永州）如圖3，已知中，，剪去後成四邊形，則______．
分析：本題先利用三角形的內角和求出，再利用四邊形的內角和可求得．
解：．點評：本題考查三角形的內角與外角的關係，可以從多個角度思考，既可利用三角形的內角和定理，也可利用四邊形的內角和定理來解決此問題．從多個角度著手解題是數學試題的共同特點．
熱點4：三角形與其他知識的聯絡的考查
例4 （2008長沙）已知點在的邊所在的直線上，且，，分別交邊所在的直線於點．
（1）如圖4，如果點在邊上，那麼；
（2）如圖5，如果點在邊上，點在的延長線上，那麼線段的長度關係是_______；
（3）如圖6，如果點在的反向延長線上，點在的延長線上，那麼線段的長度關係是_______．
對（1）（2）（3）三種情況的結論，請任選乙個給予證明．
分析：構造全等三角形是解決本題的關鍵．
解：（2）；（3）；
證明（2）：如圖7，過點作交ac於，
∵，∴四邊形為平行四邊形．
∴．∵，∴，．又∵，∴．
∵，∴，即．
點評：本題考查同學們對三角形全等及平行四邊形的有關性質與識別等知識的把握．本題將合情推理與演繹推理有機的結合在一起，通過同學們的觀察、模擬思考後，提出猜想，進而利用「截長補短」的方法加以論證；而且本題證明時只要求三選一，給同學們提供了廣闊的思維空間，這也是近幾年，尤其新課程改革後的一種時尚考法．
熱點5：多邊形的內角和、外角和及平面密鋪等基礎知識的考查
例5 （2008長沙）正五邊形的乙個內角的度數是
分析：正五邊形的每個內角都相等是解決這個問題的關鍵．
解：．點評：本題考查同學們對n邊形的內角和為及正多邊形的概念這兩個知識點的綜合應用，立足基礎，注重實效．
例6 （2008岳陽）在美麗的岳陽南湖廣場中心地帶整修工程中，計畫採用同一種正多邊形地板磚鋪砌地面，在下列形狀的地板磚：①正方形；②正五邊形；③正六邊形；④正八邊形中，能夠鋪滿地面的地板磚的種數有（ ）
（ａ）1種 （ｂ）2種 （ｃ）3種 （ｄ）4種
分析：本題應先求出各正多邊形的每個內角的度數，再依據平面密鋪的條件作出正確的選擇．
解：選（b）．
點評：本題考查了同學們對平面密鋪的條件的把握，要求在每個接合點處正好圍成的角，謹記「不重不漏」．
熱點6：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質與判定的考查
例7 （2008長沙）如圖8，四邊形中，，要使四邊形為平行四邊形，則應新增的條件是________（新增乙個條件即可）．
分析：本題可從四邊形的邊、角兩方面來尋找判定該四邊形為平行四邊形的方法．
解：答案不惟一，如或等．
點評：本題是一道開放性的問題，在答案不確定的情況下考查同學們對平行四邊形的判定方法的掌握，這是近幾年新課改後比較經典的考法．
例8 如圖9，菱形中，，為的中點，，於點，，交於點，交於點．
（1）求菱形的面積；
（2）求的度數．
解：（1）鏈結，相交於點，
∵，且平分，
∴和都是正三角形．∴．
因為是直角三角形，∴．
∴菱形的面積是8．
（2）∵是正三角形，，∴．
又∵，，∴四邊形是矩形．
∴．∴．
點評：菱形（矩形）面積計算一般通過計算對角線求解．本題綜合了菱形性質，等邊三角形的判定和菱形面積、角度計算．
熱點7：圓的有關概念、點與圓、直線與圓、圓與圓位置關係的考查
例9 （2008常德）如圖10，在直角座標系中，的半徑為1，
則直線與的位置關係是（ ）
（ａ）相離 （ｂ）相交
（ｃ）相切 （ｄ）以上三種情形都有可能
分析：本題關鍵是要求出點o到直線的距離．
解：選（c）．
點評：本題主要考查同學們對直線與圓的三種位置關係的判定依據的掌握程度，常利用圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的大小關係來判定．
熱點8：圓的切線的性質與判定的運用的考查
例10 （2008婁底）已知的內切圓，如圖11，
若，則等於（ ）
分析：本題先利用同圓中同弧所對的圓周角等於它所對圓心角的一半求得，再利用切線的性質便可求的度數．
解：選（d）．
點評：本題主要考查了圓的切線的性質及圓中同弧所對的圓周角與圓心角之間的關係．
熱點9：與圓有關的計算問題的考查
例11 （2008衡陽）如圖12，一塊呈三角形的草坪上，一小孩將繩子一端栓住兔子，另一端套在木樁處．若，繩子長3公尺（不包括兩個栓處用的繩子），則兔子在草坪上活動的最大面積是（ ）
（ａ） （ｂ）2 （ｃ）3 （ｄ）9
分析：本題中兔子在草坪上活動的最大面積即為半徑為3公尺，圓心角為的扇形的面積．
解：選（c）．
點評：本題從同學們熟悉的生活情境入手，考查同學們對扇形面積的求法，注重理論聯絡實際，體現了數學**於生活，又為生活實踐服務的新課程理念．
熱點10：考查尺規作圖中的五種基本作圖及其在實際中的應用．
例12 （2008永州）近年來，國家實施「村村通」工程和農村醫療衛生改革，某縣計畫在張村、李村之間建一座定點醫療站，張、李兩村座落在兩相交公路內（如圖13所示）．醫療站必須滿足下列條件：①使其到兩公路距離相等，②到張、李兩村的距離也相等，請你通過作圖確定ｐ點的位置．
分析：要「使其到兩公路距離相等」其實就是作角平分線，要「到張、李兩村的距離相等」其實就是作兩點連線的垂直平分線，它們的交點就是所求作的點．
解：如圖14，（1）畫出角平分線；（2）作出垂直平分線．點即為所求．
點評：此題是要求用作圖法解決有關實際問題，掌握五種基本作圖是解決此類題的關鍵．
熱點11：採用靈活多變的方式，考查基本幾何體與其三檢視、展開圖之間的關係．
例 13 （2008岳陽）下面的三個圖形是某幾何體的三種檢視，則該幾何體是（ ）
（ａ）正方體圓柱體
（ｃ）圓錐體球體
分析：根據三種檢視的特點，由圖可判斷該物體形狀為圓錐體．
解： 選（c）．
點評：本題是由三種檢視推斷立體圖形，其關鍵是「讀圖」，同時對常見幾何體的三種檢視也要熟悉．
熱點12：直稜柱、圓錐的側面展開圖
例14 （2008懷化）如圖15所示的圓柱體中底面圓的半徑是，高為2，若乙隻小蟲從a點出發沿著圓柱體的側面爬行到c點，則小蟲爬行的最短路程是______．（結果保留根號）
分析：本題是圓柱的側面展開圖知識的應用，圓柱的側面展開圖是乙個矩形，並能將這矩形的長與寬跟圓柱的高（或母線）、底面圓半徑找到相互轉化的對應關係．
熱點13：考查應用中心投影與平行投影解決有關實際問題．
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