數學思想方法
【題型特徵】 數學思想是對數學知識、方法、規律的一種本質認識;數學方法是解決數學問題的策略和程式,是數學思想的具體反映.對於學習者來說,運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程,當這種積累達到一定程度就會產生飛躍,從而上公升為數學思想,一旦數學思想形成之後,便對數學方法起著指導作用.因此,人們通常將數學思想與方法看成乙個整體概念——數學思想方法.
在初中數學中常見如下四大數學思想方法:(1)轉化化歸的思想方法;(2)數形結合的思想方法;(3)方程與函式的思想方法;(4)分類討論的思想方法.
【解題策略】 (1)轉化化歸的思想方法:將不熟悉和難解的問題轉化為熟知的易解的或已經解決的問題,將抽象的問題轉化為具體的直觀的問題,將複雜的問題轉化為簡單的問題,將一般性的問題轉化為直觀的特殊的問題;將實際問題轉化為數學問題,使問題便於解決.如解分式方程時,我們將其轉化為整式方程來解、一元二次方程我們將其轉化為一元一次方程來解、四邊形我們將其轉化為三角形來研究、立體圖形將其轉化為平面圖形來研究等.
(2)數形結合的思想方法:數形結合解題就是在解決與幾何圖形有關的問題時,將圖形資訊轉換成代數的資訊,利用數量特徵,將其轉化為代數問題.在解決與數量有關的問題時,根據數量的結構特徵,構造出相應的幾何圖形,即化為幾何問題.
(3)方程與函式的思想方法:用運動、變化的觀點,分析研究具體問題中的數量關係,通過將問題轉化為函式和方程模型來解決就體現了方程與函式的思想方法.具體地,函式思想,是指用函式(一次函式、反比例函式、二次函式)的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題.
方程思想,是從問題的數量關係入手,運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組),然後通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解.有時,還實現函式與方程的互相轉化、接軌,達到解決問題的目的.
(4)分類討論的思想方法:當求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能性時,就要進行分類討論.比如前面等腰三角形、直角三角形的有關計算問題、圓的有關問題(垂徑定理計算問題、弦所對的圓周角的大小問題、位置關係問題等)中,往往因為已知的不確定性,需要分類討論.
這些同學們應引起重視,否則可能會出現漏解.
型別一轉化化歸的思想方法
典例1 (2015·四川涼山州)先化簡,再求值:
【技法梳理】 解題過程體現了部分向整體的轉化.就是考慮問題時不是著眼於它的區域性特徵,而是把注意力和著眼點放在問題的整體結構上,通過對其全面深刻的觀察,從巨集觀上、整體上認識問題的實質,把一些彼此獨立,但實質上又相互緊密聯絡著的量作為整體來處理.
舉一反三
1. (2015·湖北荊門)如圖,已知圓柱底面的周長為4dm,圓柱高為2dm,在圓柱的側面上,過點a和點c嵌有一圈金屬絲,則這圈金屬絲的周長最小為( ).
(第1題)
a. 4dm b. 2dm
c. 2dm d. 4dm
【小結】 轉化就是在研究和解決有關數學問題時,採用某種方法將問題通過變換使之轉化,進而達到解決的一種方法.一般總是將複雜的問題通過變換轉化為簡單的問題,將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題,將未解決的問題轉化為已解決的問題.所謂「化歸」就是將要解決的問題轉化歸結為另乙個較易問題或已經解決的問題.
型別二數形結合的思想方法
典例2 (2015·河北)如圖,將長為2、寬為1的矩形紙片分割成n個三角形後,拼成面積為2的正方形,則n≠( ).
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5
【解析】 如圖所示:將長為2、寬為1的矩形紙片分割成n個三角形後,拼成面積為2的正方形,
則n可以為3,4,5,
故n≠2.
【全解】 a.
【技法梳理】 利用矩形的性質以及正方形的性質,結合勾股定理得出分割方法即可.
舉一反三
3. (2015·寧夏)實數a,b在數軸上的位置如圖所示,以下說法正確的是( ).
(第3題)
a. a+b=0 b. bc. ab>0 d. |b|<|a|
【小結】 利用數形結合的思想求解更形象直觀.數形結合的思想方法是指將數(量)與(圖)形結合起來進行分析、研究、解決問題的一種思維策略.本題通過圖形語言,發現問題結論,實現數與形的完美結合.
型別三方程與函式的思想方法
典例3 (2015·安徽)如圖,矩形abcd中,ab=3,bc=4,動點p從a點出發,按a→b→c的方向在ab和bc上移動,記pa=x,點d到直線pa的距離為y,則y關於x的函式圖象大致是( ).
【全解】 ①點p在ab上時,點d到ap的距離為ad的長度,②點p在bc上時,根據同角的餘角相等求出∠apb=∠pad,再利用相似三角形的列出比例式整理得到y與x的表示式,從而得解.具體過程如下:
①點p在ab上時,0≤x≤3,點d到ap的距離為ad的長度,是定值4.
②點p在bc上時,3∵∠apb+∠bap=90°,
∠pad+∠bap=90°,
∴∠apb=∠pad.
又∠b=∠dea=90°,
∴△abp∽△dea.
縱觀各選項,只有b選項圖形符合.
故選b.
舉一反三
4. (2015·山東德州)如圖,在一張矩形紙片abcd中,ab=4,bc=8,點e,f分別在ad,bc上,將紙片abcd沿直線ef摺疊,點c落在ad上的一點h處,點d落在點g處,有以下四個結論:
①四邊形cfhe是菱形;
②ec平分∠dch;
③線段bf的取值範圍為3≤bf≤4;
④當點h與點a重合時,ef=2.
以上結論中,你認為正確的有( )個.
(第4題)
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
【小結】 本類題考查了動點問題函式圖象,主要利用了相似三角形的判定與性質,難點在於根據點的位置分情況討論.對於一些需要用運動、變化的觀點,分析研究問題中的數量關係的問題,我們可以通過函式形式把這種數量關係進行刻劃並加以研究,從而使問題獲得解決.這些都體現了方程與函式的思想方法.
型別四分類討論的思想方法
典例4 (2015·江蘇無錫)如圖(1),已知點a(2,0),b(0,4),∠aob的平分線交ab於c,一動點p從o點出發,以每秒2個單位長度的速度,沿y軸向點b作勻速運動,過點p且平行於ab的直線交x軸於q,作p,q關於直線oc的對稱點m,n.設p運動的時間為t(0(1)求c點的座標,並直接寫出點m,n的座標(用含t的代數式表示);
(2)設△mnc與△oab重疊部分的面積為s.
①試求s關於t的函式表示式;
②在圖(2)的直角座標系中,畫出s關於t的函式圖象,並回故s是否有最大值?若有,寫出s的最大值;若沒有,請說明理由.
(1)(2)
【全解】 (1)如圖(1),過點c作cf⊥x軸於點f,ce⊥y軸於點e,
(1)由題意,易知四邊形oecf為正方形,設正方形邊長為x.
∵ce∥x軸,
∴op=2oq.
∵p(0,2t),
∴q(t,0).
∵對稱軸oc為第一象限的角平分線,
∴對稱點座標為:m(2t,0),n(0,t).
(2)①當0(2)
當1(3)
設直線mn的表示式為y=kx+b,將m(2t,0),n(0,t)代入得
②畫出函式圖象,如圖(4)所示:
(4)觀察圖象,可知當t=1時,s有最大值,最大值為1.
【技法梳理】 (1)如圖(1),作輔助線,由比例式求出點c的座標;
(2)①所求函式表示式為分段函式,需要分類討論.
圖(2),圖(3)表示出運動過程中重疊部分(陰影)的變化,分別求解;
②畫出函式圖象,由兩段拋物線構成.觀察圖象,可知當t=1時,s有最大值.
舉一反三
5. (2015·四川瀘州)已知x1,x2是關於x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的兩實數根.
(1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值;
(2)已知等腰△abc的一邊長為7,若x1,x2恰好是△abc另外兩邊的邊長,求這個三角形的周長.
【小結】 分類討論是通過比較數學物件本質屬性的相同點和差異點,然後根據某一種屬性將數學物件區分為不同種類的思想方法.分類討論能克服思維的片面性,防止漏解.
型別一1. (2015·江蘇連雲港)若ab=3,a-2b=5,則a2b-2ab2的值是 .
4. (2015·山東東營)【**發現】如圖(1),△abc是等邊三角形,∠aef=60°,ef交等邊三角形外角平分線cf所在的直線於點f,當點e是bc的中點時,有ae=ef成立;
【數學思考】某數學興趣小組在**ae,ef的關係時,運用「從特殊到一般」的數學思想,通過驗證得出如下結論:
當點e是直線bc上(b,c除外)任意一點時(其它條件不變),結論ae=ef仍然成立.
假如你是該興趣小組中的一員,請你從「點e是線段bc上的任意一點」;「點e時線段bc延長線上的任意一點」;「點e時線段bc反向延長線上的任意一點」三種情況中,任選一種情況,在圖(2)中畫出圖形,並證明ae=ef.
【拓展應用】當點e**段bc的延長線上時,若ce=bc,在圖(3)中畫出圖形,並運用上述結論求出s△abc∶s△aef的值.
(1)(2)
(3)(第4題)
型別二(第6題)
a. y1>y2 b. y1=y2
c. y1(第7題)
a. x>2 b. x<-2
c. -22
8. (2015·黑龍江黑河)如圖,在在平面直角座標系xoy中,有乙個等腰直角三角形aob,∠oab=90°,直角邊ao在x軸上,且ao=1.將rt△aob繞原點o順時針旋轉90°得到等腰直角三角形a1ob1,且a1o=2ao,再將rt△a1ob1繞原點o順時針旋轉90°得到等腰三角形a2ob2,且a2o=2a1o,…,依此規律,得到等腰直角三角形a2015ob2015,則點a2015的座標為 .
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