專題三方案設計問題
a組 2023年全國中考題組
一、選擇題
1. (2015·浙江寧波，12，4分)如圖，小明家的住房平面圖呈長方形，被分割成3個正方形和2個長方形後仍是中心對稱圖形．若只知道原住房平面圖長方形的周長，則分割後不用測量就能知道周長的圖形標號為( )
a．①② b．②③ c．①③ d．①②③
解如圖，∵長方形被分割成3個正方形和2個長方形後仍是中心對稱圖形，∴a的對應點是a′，b的對應點是b′，∴ab＝a′b′.∵①的長和②的邊長的和等於原長方形的長，①的寬和②的邊長的和等於原長方形的寬，∴①②的周長和等於原長方形的周長，∴分割後不用測量就能知道周長的圖形的標號為①②，其餘的圖形的周長不用測量無法判斷．故選a.
答案 a
二、填空題
2．(2015·浙江溫州，16，5分)圖甲是小明設計的帶菱形圖案的花邊作品，該作品由形如圖乙的矩形圖案拼接而成(不重疊，無縫隙)．圖乙中，＝，ef＝4 cm，上、下兩個陰影三角形的面積之和為54 cm2，其內部菱形由兩組距離相等的平行線交叉得到，則該菱形的周長為________cm.
解析設ab＝6x cm，bc＝7x cm，af＝y cm.
由題意得
解得∴ab＝12，ad＝14，∴df＝9，
∴cf＝15，∴fh＝dh＝.
∵△fge∽△fhd，
∴＝，∴fg＝，
∴gh＝－＝.∴菱形的周長為.
答案 三、解答題
3．(2015·四川廣安，21，12分)手工課上，老師要求同學們將邊長為4 cm的正方形紙片恰好剪成六個等腰直角三角形，聰明的你請在下列四個正方形中畫出不同的剪裁線，並直接寫出每種不同分割後得到的最小等腰直角三角形面積(注：不同的分法，面積可以相等)．
解根據分析，可得
(1)第一種情況下，分割後得到的最小等腰直角三角形是△aeh，△bef，△cfg，△dhg，每個最小的等腰直角三角形的面積是：
(4÷2)×(4÷2)÷2＝2×2÷2＝2(cm2)．
(2)第二種情況下，分割後得到的最小等腰直角三角形是△aeo，△beo，△bfo，△cfo，每個最小的等腰直角三角形的面積是：
(4÷2)×(4÷2)÷2＝2×2÷2＝2(cm2)．
(3)第三種情況下，分割後得到的最小等腰直角三角形是△aho，△dho，△bfo，△cfo，每個最小的等腰直角三角形的面積是：
(4÷2)×(4÷2)÷2＝2×2÷2＝2(cm2)．
(4)第四種情況下，分割後得到的最小等腰直角三角形是△aei，△oei，每個最小的等腰直角三角形的面積是：
(4÷2)×(4÷2)÷2÷2＝2×2÷2÷2＝1(cm2)．
4．(2015·四川綿陽，21，8分)南海地質勘探隊在南沙群島的一小島發現很有價值的a，b兩種礦石，a礦石大約565噸，b礦石大約500噸，上報公司，要一次性將兩種礦石運往冶煉廠，需要不同型號的甲、乙兩種貨船共30艘，甲貨船每艘運費1 000元，乙貨船每艘運費1 200元．
(1)設運送這些礦石的總費用為y元，若使用甲貨船x艘，請寫出y和x之間的函式關係式；
(2)如果甲貨船最多可裝a礦石20噸和b礦石15噸，乙貨船最多可裝a礦石15噸和b礦石25噸，裝礦石時按此要求安排甲、乙兩種貨船，共有幾種安排方案？哪種安排方案運費最低並求出最低運費．
解 (1)根據題意得：y＝1 000x＋1 200(30－x)＝36 000－200x.
(2)設安排甲貨船x艘，則安排乙貨船(30－x)艘，
根據題意得：
化簡得：∴23≤x≤25.
∵x為整數，∴x＝23，24，25，
方案一：甲貨船23艘，則安排乙貨船7艘，運費y＝36 000－200×23＝31 400元；
方案二：甲貨船24艘，則安排乙貨船6艘，運費y＝36 000－200×24＝31 200元；
方案三：甲貨船25艘，則安排乙貨船5艘，運費y＝36 000－200×25＝31 000元；
經分析得方案三運費最低，為31 000元．
5．(2015·浙江金華，23，10分)圖1、圖2為同一長方體房間的示意圖，圖3為該長方體的表面展開圖．
(1)蜘蛛在頂點a′處．
①蒼蠅在頂點b處時，試在圖1中畫出蜘蛛為捉住蒼蠅，沿牆面爬行的最近路線．
②蒼蠅在頂點c處時，圖2中畫出了蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線，往天花板abcd爬行的最近路線a′gc和往牆面bb′c′c爬行的最近路線a′hc，試通過計算判斷哪條路線更近．
(2)在圖3中，半徑為10 dm的⊙m與d′c′相切，圓心m到邊cc′的距離為15 dm，蜘蛛p**段ab上，蒼蠅q在⊙m的圓周上，線段pq為蜘蛛爬行路線，若pq與⊙m相切，試求pq長度的範圍．
解 (1)①根據「兩點之間，線段最短」可知：
線段a′b為最近路線，如圖1所示．
②ⅰ.將長方體展開，使得長方形abb′a′和長方形abcd在同一平面內，如圖2①.
圖2①在rt△a′b′c中，∠b′＝90°，a′b′＝40，b′c＝60，
∴ac＝＝＝20.
ⅱ.將長方體展開，使得長方形abb′a′和長方形bcc′b′在同一平面內，如圖2②.
在rt△a′c′c中，∠c′＝90°，a′c′＝70，c′c＝30，
∴a′c＝＝＝10.
∵＜，∴往天花板abcd爬行的最近路線a′gc更近；
(2)過點m作mh⊥ab於h，鏈結mq，mp，ma，mb，如圖3.
∵半徑為10 dm的⊙m與d′c′相切，圓心m到邊cc′的距離為15 dm，bc′＝60 dm，
∴mh＝60－10＝50，hb＝15，ah＝40－15＝25，
根據勾股定理可得am＝＝＝，
mb＝＝＝，
∴50≤mp≤.
∵⊙m與pq相切於點q，∴mq⊥pq，∠mqp＝90°，
∴pq＝＝.
當mp＝50時，pq＝＝20；
當mp＝時，pq＝＝55.
∴pq長度的範圍是20 dm≤pq≤55 dm.
6．(2015·四川南充，22，12分)如圖，矩形紙片abcd，將△amp和△bpq分別沿pm和pq摺疊(ap＞am)，點a和點b都與點e重合；再將△cqd沿dq摺疊，點c落**段eq上點f處．
(1)判斷△amp，△bpq，△cqd和△fdm中有哪幾對相似三角形？(不需說明理由)
(2)如果am＝1，sin∠dmf＝，求ab的長．
解 (1)△amp∽△bpq∽△cqd，
∵四邊形abcd是矩形，∴∠a＝∠b＝∠c＝90°，
根據摺疊的性質可知：∠apm＝∠epm，∠epq＝∠bpq，
∴∠apm＋∠bpq＝∠epm＋∠epq＝90°.
∵∠apm＋∠amp＝90°，∴∠bpq＝∠amp，
∴△amp∽△bpq，同理：△bpq∽△cqd，
根據相似的傳遞性，△amp∽△cqd；
(2)∵ad∥bc，∴∠dqc＝∠mdq，
根據摺疊的性質可知：∠dqc＝∠dqm，
∴∠mdq＝∠dqm，
∴md＝mq.
∵am＝me，bq＝eq，
∴bq＝mq－me＝md－am，
∵sin∠dmf＝＝，∴設df＝3x，md＝5x，
∴bp＝pa＝pe＝，bq＝5x－1.
∵△amp∽△bpq，∴＝，∴＝，
解得：x＝或x＝2，
∴ab＝或6.
b組 2014～2023年全國中考題組
解答題1．(2013·天津，24，8分)甲、乙兩商場以同樣的****同樣的商品，並且又各自推出不同的優惠方案：在甲商場累計購物超過100元後，超出100元的部分按90%收費；在乙商場累計購物超過50元後，超出50元的部分按95%收費．設小紅在同一商場累計購物x元，其中x>100.
(1)根據題意，填寫下表(單位：元)：
(2)當x取何值時，小紅在甲、乙兩商場的實際花費相同？
(3)當小紅在同一商場累計購物超過100元時，在哪家商場的實際花費少？
解 (1)在甲商場：271，0.9x＋10；在乙商場：278，0.95x＋2.5.
(2)根據題意，有0.9x＋10＝0.95x＋2.5，解得x＝150，
∴當x＝150時，小紅在甲、乙兩商場的實際花費相同；
(3)由0.9x＋10<0.95x＋2.5，解得x>150，
由0.9x＋10>0.95x＋2.5，解得x<150.
∴當小紅累計購物超過150元時，在甲商場的實際花費少．
當小紅累計購物超過100元而不到150元時，在乙商場的實際花費少．當小紅累計購物150元時，甲、乙商場花費一樣．
2．(2014·山東濟寧，20，8分)在數學活動課上，王老師發給每位同學一張半徑為6個單位長度的圓形紙板，要求同學們：(1)從帶刻度的三角板、量角器和圓規三種作圖工具中任意選取作圖工具，把圓形紙板分成面積相等的四部分；(2)設計的整個圖案是某種對稱圖形．王老師給出了方案一，請你用所學的知識再設計兩種方案，並完成下面的設計報告.
解 3.(2014·山東煙台，23，8分)山地自行車越來越受到中學生的喜愛，各種品牌相繼投放市場，某車行經營的a型車去年銷售總額為5萬元，今年每輛售價比去年降低400元，若賣出的數量相同，銷售總額將比去年減少20%.
(1)今年a型車每輛售價多少元？(用列方程的方法解答)
(2)該車行計畫新近一批a型車和**b型車共60輛，且b型車的進貨數量不超過a型車數量的兩倍，應如何進貨才能使這批車獲利最多？
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