題型一：圓與直線
1．如圖，在△abc中，ab＝ac，以ab為直徑的⊙o交bc於點d，過點d作ef⊥ac於點e，交ab的延長線於點f．
（1）求證：ef是⊙o的切線；
（2）如果∠a＝60，則de與df有何數量關係？請說明理由；
（3）如果ab＝5，bc＝6，求tan∠bac的值．
2. 如圖，在rt△abc中，∠c=90，以ac為直徑作⊙o，交ab於d，過點o作oe∥ab，交bc於e。
（1）求證，ed為⊙o的切線；
（2）如果⊙o的半徑為，ed=2，延長eo交⊙o於f，連線df、af求△adf的面積。
2.（2012，蘭州）如圖，rt△abc中，∠abc＝90°，以ab為直徑的⊙o交ac於點d，e是bc的中點，連線de、oe．
（1）判斷de與⊙o的位置關係並說明理由；
（2）若tanc＝，de＝2，求ad的長．
3.（廣西崇左市）如圖，bc是⊙o的直徑，ad⊥bc，垂足為d，ce⊥bc，be交⊙o於點a，f是ad的中點，bf的延長線與ce相交於點g，ag的延長線與bc的延長線相交於點h．
（1）求證：cg＝eg；
（2）求證：ah是⊙o的切線；
（3）若⊙o的半徑長為，且cg＝fg，求bd和fg的長．
4.（2010蘭州）如圖，已知ab是⊙o的直徑，點c在⊙o上，過點c的直線與ab的延長線交於點p，ac=pc，∠cob=2∠pcb.
（1）求證：pc是⊙o的切線；
（2）求證：；
（3）點m是弧ab的中點，cm交ab於點n，若ab=4，求mn·mc的值.
5. 如圖，梯形abcd是等腰梯形，且ad∥bc，o是腰cd的中點，以cd長為直徑作圓，交bc於e，過e作eh⊥ab於h．eh= cd，
（1）求證：oe∥ab；
（2）求證：ab是⊙o的切線；
（3）若be=4bh，求的值．
6．已知△abc內接於⊙o，bt與⊙o相切於點b，點p在直線ab上，過點p作bc的平行線交直線bt於點e，交直線ac於點f．
（1）如圖，當點p**段ab上時，求證：pa·pb＝pe·pf；
（2）當點p在ba延長線上時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）若ab＝4，cos∠eba＝，求⊙o的半徑．
7.（2012，宿遷）如圖，在四邊形abcd中，∠dab=∠abc=90°，cd與以ab為直徑的半圓相切於點e，ef⊥ab於點f，ef交bd於點g，設ad=a，bc=b．
（1）求cd的長度（用a，b表示）；
（2）求eg的長度（用a，b表示）；
（3）試判斷eg與fg是否相等，並說明理由．
8．如圖，ab是半圓o的直徑，ab＝2，射線am、bn為半圓o的切線．在am上取一點d，連線bd交半圓於點c，連線ac．過o點作bc的垂線oe，垂足為點e，與bn相交於點f．過d點作半圓o的切線dp，切點為p，與bn相交於點q．
（1）求證：△abc∽△ofb；
（2）當△abd與△bfo的面枳相等時，求bq的長；
（3）求證：當d在am上移動時（a點除外），點q始終是線段bf的中點．
題型二：圓與三角形
1．如圖，在銳角△abc中，ac是最短邊，以ac中點o為圓心， ac長為半徑作⊙o，交bc於e，過o作od∥bc交⊙o於d，鏈結ae、ad、dc．
（1）求證：d是的中點；
（2）求證：∠dao＝∠b＋∠bad；
（3）若＝，且ac＝4，求cf的長.
2.（2011菏澤）如圖，bd為⊙o的直徑，ab=ac，ad交bc於點e，ae=2，ed=4，
（1）求證：△abe∽△adb；
（2）求ab的長；
（3）延長db到f，使得bf=bo，連線fa，試判斷直線fa與⊙o的位置關係，並說明理由．
3.如圖，bd是⊙o的直徑，oa⊥ob，m是劣弧上一點，過點m點作⊙o的切線mp交oa的延長線於p點，md與oa交於n點．
（1）求證：pm＝pn；
（2）若bd＝4，pa＝ao，過點b作bc∥mp交⊙o於c點，求bc的長
4.（2009本溪）如圖所示，ab是⊙o直徑，od⊥弦bc於點f，且交⊙o於點e，若∠aec=∠odb．
（1）判斷直線bd和⊙o的位置關係，並給出證明；
（2）當ab=10，bc=8時，求bd的長．
5. 如圖，⊙o是△abc的外接圓，fh是⊙o的切線，切點為f，fh∥bc，連線af交bc於e，∠abc的平分線bd交af於d，連線bf．
（1）證明：af平分∠bac；
（2）證明：bf=fd；
（3）若ef=4，de=3，求ad的長．
6．已知：如圖，在半徑為4的⊙o中，ab，cd是兩條直徑，m為ob的中點，cm的延長線交⊙o於點e，且em＞mc．連線de，de=
（1）求證：ammb=emmc；
（2）求sin∠eob的值；
（3）若p是直徑ab延長線上的點，且bp=12，求證：直線pe是⊙o的切線．
7.（2010荊門）如圖，圓o的直徑為5，在圓o上位於直徑ab的異側有定點c和動點p，已知bc：ca=4：
3，點p在半圓弧ab上運動（不與a、b重合），過c作cp的垂線cd交pb的延長線於d點．
（1）求證：accd=pcbc；
（2）當點p運動到ab弧中點時，求cd的長；
（3）當點p運動到什麼位置時，△pcd的面積最大？並求這個最大面積s．
8．如圖，⊙o的弦ad∥bc,過點d的切線交bc的延長線於點e，ac∥de交bd於點h，do及延長線分別交ac、bc於點g、f.
（1）求證：df垂直平分ac；
（2）求證：fc＝ce；
（3）若弦ad＝5㎝，ac＝8㎝，求⊙o的半徑.
9.在中，,是的平分線，點e在ab邊上，以ae為直徑的⊙o經過點d.
（1）判斷bc與⊙o的位置關係，並說明理由；
（2）求證：;
（3）設⊙o交ac於點f,連線ef,若tan∠bac=,求的值.
10．（2012煙台）如圖，ab為⊙o的直徑，弦cd⊥ab，垂足為點e，cf⊥af，且cf=ce．
（1）求證：cf是⊙o的切線；
（2）若sin∠bac=，求的值．
11.如圖，在中，，是角平分線，交於，的外接圓⊙與邊相交於點，過作的垂線交於，交⊙於，連線.
（1）求證：是⊙的切線；
（2）若，求⊙的半徑；
（3）在（2）的條件下，求的長.
12.（四川省廣安市）如圖，ab、ac分別是⊙o的直徑和弦，點d為劣弧ac上一點，弦de⊥ab分別交⊙o於點d、e，交ab於點h，交ac於點f．p是ed延長線上一點，且pc＝pf．
（1）求證：pc是⊙o的切線；
（2）點d在劣弧ac的什麼位置時，才能使ad 2＝de·df，為什麼？
（3）在（2）的條件下，若oh＝1，ah＝2，求弦ac的長．
13.如圖，ab是⊙o的弦，d為oa半徑的中點，過d作cd⊥oa交弦ab於點e，交⊙o於點f，且ce=cb．
（1）求證：bc是⊙o的切線；
（2）連線af，bf，求∠abf的度數；
（3）如果cd=15，be=10，sina=，求⊙o的半徑．
14．如圖1，⊙o是△abc的外接圓，ab是直徑，od∥ac，且∠cbd=∠bac，od交⊙o於點e．
（1）求證：bd是⊙o的切線；
（2）若點e為線段od的中點，證明：以o、a、c、e為頂點的四邊形是菱形；
（3）作cf⊥ab於點f，連線ad交cf於點g（如圖2），求的值．
15.（2012內蒙古）如圖，已知ab為⊙o的直徑，過⊙o上的點c的切線交ab 的延長線於點e , ad⊥ec 於點d 且交⊙o於點f ，連線bc , cf , ac 。
（1）求證：bc=cf；
（2）若ad=6,de=8，求be 的長；
（3）求證：af + 2df = ab。
16. 如圖，在⊙o中，弧dc=弧dn，點p為⊙o上一點，過d作cn的平行線交pn，pc的延長線於a，b，過p作pm∥ab交dc的延長線於m，
（1）求證：ab為⊙o的切線
（2）若pn=3an，求的值。
17.（2012湘潭）如圖，在⊙o上位於直徑ab的異側有定點c和動點p，ac=ab，點p在半圓弧ab上運動（不與a、b兩點重合），過點c作直線pb的垂線cd交pb於d點．
（1）如圖1，求證：△pcd∽△abc；
（2）當點p運動到什麼位置時，△pcd≌△abc？請在圖2中畫出△pcd並說明理由；
（3）如圖3，當點p運動到cp⊥ab時，求∠bcd的度數．
18．如圖1，⊙o中ab是直徑，c是⊙o上一點，∠abc＝45°，等腰直角三角形dce中∠dce是直角，點d**段ac上．
（1）證明：b、c、e三點共線；
（2）若m是線段be的中點，n是線段ad的中點，證明：mn＝om；
（3）將△dce繞點c逆時針旋轉α（0°＜α＜90°）後，記為△d1ce1（如圖2），若m1是線段be1的中點，n1是線段ad1的中點，m1n1＝om1是否成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由．
題型三：圓與四邊形
1.（2012天水）如圖，四邊形abcd內接於⊙o，已知直徑ad=6，∠abc=120°，∠acb=45°，連線ob交ac於點e．
（1）求ac的長．
（2）求ce：ea的值．
（3）在cb的延長線上取一點p，使cb=bp，求證：直線pa與⊙o相切．
2.（2012資陽）如圖，在△abc中，ab=ac，∠a=30°，以ab為直徑的⊙o交bc於點d，交ac於點e，連線de，過點b作bp平行於de，交⊙o於點p，連線ep、cp、op
（1）bd=dc嗎？說明理由；
（2）求∠bop的度數；
（3）求證：cp是⊙o的切線；
3．（2012宜賓）如圖，⊙o1、⊙o2相交於p、q兩點，其中⊙o1的半徑r1=2，⊙o2的半徑r2=．過點q作cd⊥pq，分別交⊙o1和⊙o2於點c．d，連線cp、dp，過點q任作一直線ab交⊙o1和⊙o2於點a．b，連線ap、bp、ac．db，且ac與db的延長線交於點e．
（1）求證：；
（2）若pq=2，試求∠e度數．
4.（2012常德）如圖8，已知ab=ac，∠bac=120，在bc上取一點o，以o為圓心ob為半徑作圓，且⊙o過a點，過a作ad∥bc交⊙o於d，
求證：（1）ac是⊙o的切線；
（2）四邊形boad是菱形。
5.（2011鹽城）如圖，在△abc中，∠c= 90°，以ab上一點o為圓心，oa長為半徑的圓與bc相切於點d，分別交ac、ab於點e、f．
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