中考複習專題 --------圓的切線的判定與性質
知識考點：
1、掌握切線的判定及其性質的綜合運用，在涉及切線問題時，常鏈結過切點的半徑，切線的判定常用以下兩種方法：一是連半徑證垂直，二是作垂線證半徑。
2、掌握切線長定理的靈活運用，掌握三角形和多邊形的內切圓，三角形的內心。
精典例題：
一、若直線l過⊙o上某一點a，證明l是⊙o的切線，只需連oa，證明oa⊥l就行了，簡稱「連半徑，證垂直」，難點在於如何證明兩線垂直.
例1 如圖，在△abc中，ab=ac，以ab為直徑的⊙o交bc於d，交ac於e，b為切點的切線交od延長線於f.
求證：ef與⊙o相切.
例2 如圖，ad是∠bac的平分線，p為bc延長線上一點，且pa=pd.
求證：pa與⊙o相切.
例3 如圖，ab=ac，ab是⊙o的直徑，⊙o交bc於d，dm⊥ac於m
求證：dm與⊙o相切.
例4 如圖，已知：ab是⊙o的直徑，點c在⊙o上，且∠cab=300，bd=ob，d在ab的延長線上.
求證：dc是⊙o的切線
例5 如圖，ab是⊙o的直徑，cd⊥ab，且oa2=od·op.
求證：pc是⊙o的切線.
例6 如圖，abcd是正方形，g是bc延長線上一點，ag交bd於e，交cd於f.
求證：ce與△cfg的外接圓相切.
二、若直線l與⊙o沒有已知的公共點，又要證明l是⊙o的切線，只需作oa⊥l，a為垂足，證明oa是⊙o的半徑就行了，簡稱：「作垂直；證半徑」
例7 如圖，ab=ac，d為bc中點，⊙d與ab切於e點.
求證：ac與⊙d相切.
例8 已知：如圖，ac，bd與⊙o切於a、b，且ac∥bd，若∠cod=900.
求證：cd是⊙o的切線.
[習題練習]
例1如圖，ab是⊙o的弦（非直徑），c、d是ab上兩點，並且oc=od，求證：ac=bd．
例2已知：如圖，在△abc中，ab=ac，以ab為直徑的⊙o與bc交於點d，與ac交於點e，求證：△dec為等腰三角形．
例3如圖，ab是⊙o的直徑，弦ac與ab成30°角，cd與⊙o切於c，交ab的延長線於d，求證：ac=cd．
例4如圖20-12，bc為⊙o的直徑，ad⊥bc，垂足為d，，bf和ad交於e，
求證：ae=be．
例5如圖，ab是⊙o的直徑，以oa為直徑的⊙o1與⊙o2的弦相交於d，de⊥oc，垂足為e．
（1）求證：ad=dc．（2）求證：de是⊙o1的切線．
例6如圖，已知直線mn與以ab為直徑的半圓相切於點c，∠a=28°．
（1）求∠acm的度數．（2）在mn上是否存在一點d，使ab·cd=ac·bc，說明理由．
例7如圖，在rt△abc中，∠c=90°，ac=5，bc=12，⊙o的半徑為3．
（1）若圓心o與c重合時，⊙o與ab有怎樣的位置關係？
（2）若點o沿ca移動，當oc等於多少時，⊙o與ab相切？
19.如圖，rt△abc內接於⊙o，ac=bc，∠bac的平分線ad與⊙0交於點d，與bc交於點e，延長bd，與ac的延長線交於點f，鏈結cd，g是cd的中點，鏈結0g．(1)判斷0g與cd的位置關係，寫出你的結論並證明；(2)求證：ae=bf；（3）若，求⊙o的面積。
12、如圖，割線abc與⊙o相交於b、c兩點，d為⊙o上一點，e為的中點，oe交bc於f，de交ac於g，∠adg＝∠agd。
（1）求證：ad是⊙o的切線；
（2）如果ab＝2，ad＝4，eg＝2，求⊙o的半徑。
13、如圖，在△abc中，∠abc＝900，o是ab上一點，以o為圓心，ob為半徑的圓與ab交於點e，與ac切於點d，ad＝2，ae＝1，求。
1如圖，等腰三角形abc中，ac＝bc＝10，ab＝12。以bc為直徑作⊙o交ab於點d，交ac於點g，df⊥ac，垂足為f，交cb的延長線於點e。
(1)求證：直線ef是⊙o的切線；
(2)求cf:ce的值。
2如圖，ab是⊙o的直徑，ac是弦，∠bac的平分線ad交⊙o於點d，de⊥ac，交ac的延長線於點e，oe交ad於點f．⑴求證：de是⊙o的切線；⑵若，求的值。
3如圖，中，，以為直徑作交邊於點，是邊的中點，連線．
（1）求證：直線是的切線；
（2）連線交於點，若，求的值．
4．如圖，點o在∠apb的平分線上，⊙o與pa相切於點c．
(1) 求證：直線pb與⊙o相切；
(2) po的延長線與⊙o交於點e．若⊙o的半徑為3，pc=4．求弦ce的長．
已知：如圖，在中，，點在上，以為圓心，長為半徑的圓與分別交於點，且．
（1）判斷直線與的位置關係，並證明你的結論；
（2）若，，求的長．
解：（1）
（2）如圖18，四邊形內接於，是的直徑，，垂足為，平分．
（1）求證：是的切線；
（2）若，求的長．
如圖所示，是直角三角形，，以為直徑的交於點，點是邊的中點，鏈結．
（1）求證：與相切；
（2）若的半徑為，，求．
24、如圖，ab是⊙o的直徑，∠bac=30°，m是oa上一點，過m作ab的垂線交ac於點n，交bc的延長線於點e，直線cf交en於點f，且∠ecf=∠e.
（1）證明cf是⊙o的切線；
（2）設⊙o的半徑為1，且ac=ce，求mo的長.
【例1】如圖，ac為⊙o的直徑，b是⊙o外一點，ab交⊙o於e點，過e點作⊙o的切線，交bc於d點，de＝dc，作ef⊥ac於f點，交ad於m點。
（1）求證：bc是⊙o的切線；
（2）em＝fm。
證明： 【例2】如圖，△abc中，ab＝ac，o是bc的中點，以o為圓心的圓與ab相切於點d。求證：ac是⊙o的切線。
【例3】如圖，已知ab是⊙o的直徑，bc為⊙o的切線，切點為b，oc平行於弦ad，oa＝。
（1）求證：cd是⊙o的切線；
（2）求的值；
（3）若ad＋oc＝，求cd的長。
探索與創新：
【問題一】如圖，以正方形abcd的邊ab為直徑，在正方形內部作半圓，圓心為o，cg切半圓於e，交ad於f，交ba的延長線於g，ga＝8。
（1）求∠g的余弦值；
（2）求ae的長。
【問題二】如圖，已知△abc中，ac＝bc，∠cab＝（定值），⊙o的圓心o在ab上，並分別與ac、bc相切於點p、q。
（1）求∠poq；
（2）設d是ca延長線上的乙個動點，de與⊙o相切於點m，點e在cb的延長線上，試判斷∠doe的大小是否保持不變，並說明理由。
圓的切線證明及線段長求解在在中考中的常見題型
1、已知：如圖，在矩形中，點在對角線上，以的長為半徑的⊙與，分別交於點e、點f，且∠=∠．
（1）判斷直線與⊙的位置關係，並證明你的結論；
（2）若，，求⊙的半徑．
2、已知：如圖，⊙o的半徑oc垂直弦ab於點h，連線bc，過點a作弦ae∥bc，過點c作cd∥ba交ea延長線於點d，延長co交ae於點f．
（1）求證：cd為⊙o的切線；
（2）若bc＝5，ab＝8，求of的長．
3、如圖，是等腰三角形，，以為
直徑的⊙與交於點，，垂足為，
的延長線與的延長線交於點．
（1）求證：是⊙的切線；
（2）若⊙的半徑為，，求的值．
4、已知：如圖，是的直徑，切於，交於，為邊的中點，鏈結．
(1)是的切線；
(2) 若，的半徑為5， 求的長.
5、如圖，在中，，是角平分線，
平分交於點，經過兩點的交於
點，交於點，恰為的直徑．
（1）求證：與相切；
（2）當時，求的半徑．
6、如圖，ab是的直徑，，m是oa上一點，過m作ab的垂線交ac於點n,交bc的延長線於點e,直線cf交en於點f,且
（1）證明cf是的切線
(2) 設⊙o的半徑為1．且ac=ce,求mo的長.
7、如圖，已知ab為⊙o的直徑,dc切⊙o於點c,過d點作 de⊥ab,垂足為e,de交ac於點f. 求證：△dfc是等腰三角形.
8、在rt中，∠f=90°，點b、c分別在ad、fd上，以ab為直徑的半圓o 過點c，聯結ac，將△afc 沿ac翻摺得，且點e恰好落在直徑ab上.
（1）判斷：直線fc與半圓o的位置關係是並證明你的結論.
（2）若ob=bd=2,求ce的長．
9、已知：如圖，在△abc中，ab=ac，以ab為直徑的⊙o分別交bc、ac於點d、e，
聯結eb交od於點f．
（1）求證：od⊥be；
（2）若de=，ab=5，求ae的長．
10、如圖所示，ab是⊙o的直徑，od⊥弦bc於點f，且交⊙o於點e，若∠aec=∠odb．
（1）判斷直線bd和⊙o的位置關係，並給出證明；
（2）當ab=10，bc=8時，求bd的長．
11、已知：ab是⊙o的弦，od⊥ab於m交⊙o於點d，cb⊥ab交ad的延長線於c．
（1）求證：ad＝dc；
（2）過d作⊙o的切線交bc於e，若de＝2，ce=1，
求⊙o的半徑．
12、如圖，為⊙的直徑，平分交⊙於點，
的延長線於點，交的延長
線於點，
（1）求證：是⊙的切線；
（2）若⊙的半徑為5，求的長．
13、如圖，等腰三角形abc中，ac＝bc＝6，ab＝8．以bc為直徑作⊙o交ab於點d，交ac於點g，df⊥ac，垂足為f，交cb的延長線於點e．
（1）求證：直線ef是⊙o的切線；
（2）求sin∠e的值．
14、如圖，為半圓的直徑，點c在半圓上，過點作的平行線交於點，交過點的直線於點，且.
（1）求證：是半圓o的切線；
（2）若，，求的長.
15、已知：如圖，在△abc中，ab=bc，d是ac中點，be平分∠abd交ac於點e，點o是ab上一點，⊙o過b、e兩點, 交bd於點g，交ab於點f．
（1）求證：ac與⊙o相切；
（2）當bd=2，sinc=時，求⊙o的半徑．
16、如圖，ab是⊙o的直徑，點c在⊙o上，m是的中點，om交⊙o的
切線bp於點p．
（1）判斷直線pc和⊙o的位置關係，
並證明你的結論．
（2）若sin∠bac＝0.8，⊙o的半徑為2，
求線段pc的長．
17、如圖，在⊙o中，ab是直徑，ad是弦，∠ade = 60°，∠c = 30°．
圓切線證明
中考複習專題 圓的切線的判定與性質 2013年6月9日 知識考點 1 掌握切線的判定及其性質的綜合運用，在涉及切線問題時，常鏈結過切點的半徑，切線的判定常用以下兩種方法 一是連半徑證垂直，二是作垂線證半徑。2 掌握切線長定理的靈活運用，掌握三角形和多邊形的內切圓，三角形的內心。精典例題 一 若直線l...
圓中切線的證明切線專題無答案
1 已知 如圖，在中，點在上，以為圓心，長為半徑的圓與分別交於點，且 1 判斷直線與的位置關係，並證明你的結論 2 若，求的長 2如圖，o的直徑ab 6，c為圓周上的一點，bc 3.過點c作 o的切線ge，作ad ge於點d，交 o於點f 1 求證 acg b 2 計算線段af的長.3 如圖，已知a...
圓中切線的證明切線專題無答案
1 已知 如圖，以的邊為直徑的交邊於點，且過點的切線平分邊 1 求證 是的切線 2 當滿足什麼條件時，以點 為頂點的四邊形是正方形？請說明理由 1 證明 2 滿足的條件是 理由 2 已知 如圖，在中，點在上，以為圓心，長為半徑的圓與分別交於點，且 1 判斷直線與的位置關係，並證明你的結論 2 若，求...