考點方法破譯
1. 理解掌握切割線定理和相交弦定理.並能用切割線定理和相交弦定理進行推理論證；
2. 能運用分析法和綜合法用三角形相似證明等積式.
經典考題賞析
【例1】⑴如圖，已知ab為⊙o的直徑，c為⊙o上一點，cd⊥ab於d，ad＝9，bd＝4，以c 為圓心、cd為半徑的圓與⊙o相交於p、q兩點，弦pq交cd於e，則peeq的值是（ ）
a、24 b、9 c、6 d、27
⑵如圖，ab為⊙o的直徑，p點在ab延長線上，pm切⊙o於m點，若oa＝a,pm＝a,那麼△pmb的周長為
【解法指導】⑴延長dc交⊙c於f，由相交弦定理得peeq＝deef，∵cd⊥直徑ab於d，根據相交弦定理推論得cdcd＝adbd＝9×4，∴cd＝6.延長cd交⊙o於m，由相交弦定理得peeq＝ceem，∴deef＝ceem，而cm＝df＝12，設ce＝x,則x（12－x）＝（6－x）(x＋6),解得x＝3.∴peeq＝27.
應選d.
⑵方法一：連線om，則∠omp＝90°.∵pm切⊙o於m，由切割線定理得pm2＝pbpa，∵pm＝a，∴ aa＝pb（pb＋2a）,解得pb＝a,在rt△omp中，mb＝op÷2＝a，則△pmb的周長為a＋2a.
方法二：連線om，則∠omp＝90°，由勾股定理得po2＝3a2＋a2,∴po＝2a.後面的解法與方法一相同.
【變式題組】
1.如圖，pt切⊙o於點t，pa交⊙o於a、b兩點，且與直徑ct交於點d，cd＝2，ad＝3，bd＝6，則pb
2.如圖，已知a、b、c、d在同一圓上，bc＝cd，ac與bd交於e，若ac＝8，cd＝4，且線段be、ed為正整數，則bd
【例2】如圖，ab是⊙o的直徑，點p在ba的延長線上，弦cd⊥ab於e，且pc2＝pepo.
⑴求證：pc是⊙o的切線；⑵oe︰ea＝1︰2，且pa＝6，求⊙o的半徑；⑶求sin∠pca的值.
【解法指導】⑴證明：連線cd.∵pc2＝pepo，∴pc︰pe＝po︰pc，且∠p公用，∴△pec∽△pco，∴∠pec＝∠pco，又∵cd⊥ab，∴∠pec＝90°，∴∠pco＝90°，∴pc⊥oc於c，∴pc是⊙o的切線.
⑵設oe＝ k,則ea＝2k,⊙o的半徑為3k,在rt △pco中，∵ce⊥po於e，則射影定理得：oc2＝oeop，
∴（3k）2＝k（3k＋6）,∵k＞0，解得k＝1.∴⊙o的半徑為3.
⑶連線bc，由弦切角定理得∠pca＝∠abc，∵ab是⊙o的直徑，∴∠acb＝90°.有rt△abc中，∵ ce⊥ab，∴由射影定理得ac2＝aeab，∴ac2＝2×6，∴ac＝2，∴sin∠abc＝＝＝，∴sin∠abc＝.
【變式題組】
3. 如圖，已知ab是⊙o的直徑，點c在⊙o上，過點c的直線與ab的延長線交於點p，ac＝pc，∠cob＝2∠pcb.⑴求證：
pc是⊙o的切線；⑵求證：bc＝ab；⑶點m是ab的中點，cm交ab於點n，若ab＝4，求mnmc的值.
【例3】如圖，已知銳角△abc及其外接圓⊙o，am是bc邊的中線，分別過點b，c作⊙o的切線，兩條切線相交於點x，鏈結ax，求證：＝cos∠bac.
【解法指導】證明：設ax與⊙o相交於點a1，連線ob，oc，o a1..又m為bc的中點，所以，連線ox，它過點m，因為ob⊥bx，ox⊥bc，所以xb2＝xmxo①.
又由切割除線定理得xb2＝xa1xa②.由①，②得＝，於是△xma∽△xa1o，所以＝＝.又∠boc＝2∠bac，所以∠box＝∠bac，於是＝＝cos∠bac.
【變式題組】
4.如圖，在矩形abcd中，ab＝3，bc＝2，以bc為直徑在矩形內作半圓，自點a作半圓的切線ae，則sin∠cbe＝（ ）
a. b. cd.
【例4】已知線段ab的中點為c，以點a為圓心，ab為半徑作圓，**段ab的延長線上取點d，使得bd＝ac；再以點d為圓心，da為半徑作圓，與⊙a分別相交於f，g兩點，連線fg交ab於點h，則的值為
【解法指導】解：如圖，延長ad與⊙d交於點e，連線af，ef.由題設知ac＝ad，ab＝ae，在△fha和△efa中，∠efa＝∠fha＝90°，∠fha＝∠eaf所以rt△fha∽rt△efa，＝，而af＝ab，所以＝.
【變式題組】
4. 如圖，半徑不等的兩圓相交於a、b兩點，線段cd經過點a，且分別交兩圓於c、d兩點，連線bc、bd，設p、q、k分別是bc、bd、cd的中點，m、n分別是弧bc和弧bd的中點，求證：
⑴＝；⑵△kpm∽△nqk.
【例5】如圖，p是平行四邊形abcd的邊ab的延長線上一點，dp與ac、bc分別交於點e、f，eg是過b、f、p三點圓的切線，g為切點，求證：eg＝de.
【解法指導】eg、dg不能構成三角形，無法通過邊角代換證明它們相等，而eg是圓的切線，是特徵線段，即ec2＝efep，能證明de2＝efep即可.由平行比例可得de︰ef＝ae︰ce且ae︰ce＝ep︰de，∴de︰ef＝ep︰de，∴efep＝de2，綜合知eg＝de.
【變式題組】
5. 如圖，給定銳角三角形abc，bc＜ca，ad、be是它的兩條高，過點c作△abc的外接圓的切線索l,過點d、e分別作l的垂線，垂足分別為f、g.試比較線段df和eg的大小，並證明你的結論.
演練鞏固、反饋提高
1.圓內接四條邊長順次為5、10、11、14，則這個四邊形面積為（ ）
a、78.5 b、97.5 c、90 、102
2.了已知直角梯形abcd的四條邊長分別為ab＝2，bc＝cd＝10，ad＝6，過b、d兩點作圓，與ba的延長線交於點e，與cb的延長線交於點f，則be－bf的值為
3.圖中的三塊陰影部分由兩個半徑為1的圓及其外公切線分割而成，如果中間一塊陰影的面積等於上下兩塊面積之和，則這兩圓的公共弦長是
4.如圖，已知：在⊙o中，直徑ab＝4，點e是oa上任意一點，過e作弦cd⊥ab，點f是bc上一點，連線af交ce於h，連線ac、cf、bd、od.
⑴求證：△ach∽△afc；
⑵猜想：ah、af與ae、ab的數量關係，並說明你的猜想；
⑶**：當點e位於何處時，s△aec︰s△bod＝1︰4？並加以說明.
5.如圖，pa、pb是⊙o的兩條切線，pec是一條割線，d是ab與pc的交點，若pe＝2，cd＝1，求de的長.
6. 如圖，點p為⊙o外一點，過點p作⊙o的兩條切線，切點分別為a、b，過點a作pb的平行線，交⊙o於點c，連線pc，交⊙o於點e；連線ae，並延長ae交pb於點k，求證：peac＝cekb.
培優公升級奧賽檢測
1.如圖，在平行四邊形abcd中，過a、b、c三點的圓交ad於點e，且與cd相切，若ab＝4，be＝5，則de的長為（ ）
a、3 b、4 c、 d、
2.如圖，正方形abcd內接於⊙o，點p在劣弧上ab上，連線dp，dp交ac於點q，若qp＝qo，則的值為（ ）
a、－1 b、 c、＋ d、＋2
3.△abc中，ab＝7，bc＝8，ca＝9，過△abc的內切圓圓心，作de∥bc，分別與ab，ac相交於點d，e，則de的長為
4.如圖，點e、f分別在四邊形abcd的邊ad，bc的延長線上，且滿足＝.若cd，fe的延長線相交於點g，△deg的外接圓與△cfg的外接圓的另乙個交點為p，連線pa，pb，pc，pd.
求證：⑴＝；⑵△pab∽△pdc.
5.d是△abc的邊ab上的一點，使得ab＝3ad，p是△abc外接圓上一點，使得∠adp＝∠acb，求pb︰pd的值.
6.如圖，圓o與圓d相交於a、b兩點，bc為圓d的切線，點c在圓o上，且ab＝bc.
⑴證明：點o在圓d的圓周上；
⑵設△abc的面積為s，求⊙d的半徑r的最小值.
7. 如圖△abc為等腰三角形，ap是底邊bc上的高，點d是線段pc上的一點，be和cf分別是△abd和△acd的外接圓的直徑，連線ef，求證：tan∠pad＝.
第16講圓綜合訓練
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