圓的切線證明及計算複習
【知識回顧】
1、切線證明的兩種主要型別：
（1）已知直線經過圓上某一點，輔助性的作法是連線圓心和這一點，判定方法是：經過半徑的外端並且垂直於半徑的直線是圓的切線。（有點就連證垂直）
（2）未知直線是否經過圓上的某一點，輔助線的作法是過圓心作直線的垂線段，判定方法是：到圓心的距離等於圓的半徑的直線是圓的切線。（無點有作證半徑）
2、圓的有關計算：經常用到垂徑定理、勾股定理等。
【例題講解】
◆ 勾股定理
例1：如圖1，在rt△abc中，,be平分∠abc交ac於點e，點d在ab上，.
（1） 求證：ac是△bde的外接圓的切線；
（２）若，求ec的長.
注：（1）角平分線、平行於角平分線一邊的直線、等腰三角形中，任意兩個作為條件都可以推導出第三個。
（2）直角三角形中的特殊邊角關係的應用。
◆ 角平分線的運用
例2：如圖2，在rt△abc中，∠b=90°，∠a的平分線交bc於d，e為ab上一點，de=dc，以d為圓心，以db的長為半徑畫圓。
求證：（1）ac是⊙d的切線；
（2）ab+eb=ac。
◆ 矩形的構造
3、已知如圖，以ｒt△ａｂｃ為直角邊ａｃ為直徑作⊙ｏ，⊙ｏ與ａｂ交於點ｄ，ｅ是弧ａｄ上的點，且有弧ｄｅ＝弧ｄｃ，ｄｆ⊥ａｅ於點ｆ，
（１）求證：df是⊙ｏ的切線。
（2）若df=4，⊙ｏ的半徑為5，求ef的長。
◆ 垂徑定理的運用
4、如圖10，ab是⊙o的直徑，c是弧bd的中點，ce⊥ab，垂足為e，bd交ce於點f．
（1）求證：；
（2）若，⊙o的半徑為3，求bc的長．
◆ 關注特殊角
5、（2011四川宜賓）已知：在△abc中，以ac邊為直徑的⊙o交bc於點d，在劣弧上到一點e使∠ebc=∠dec，延長be依次交ac於g，交⊙o於h．
（1）求證：ac⊥bh；
（2）若∠abc=45°，⊙o的直徑等於10，bd=8，求ce的長．
【達標練習】
1、 如圖，ab是⊙o的直徑，c是弧bd的中點，ce⊥ab，bd交ce於點f，
（1） 求證：cf=bf
（2） 若ad=2，⊙o的半徑為3，求△bcd的面積。
2、如圖4，在rt△abc中，∠b＝90°，∠bac的平分線交bc於點d，e為ab上的一點，de＝dc，以d為圓心，db長為半徑作⊙d,ab＝5,eb＝3.
求證:⑴ac是⊙o的切線；
⑵求線段ac的長.
3、如圖5，已知以rt△abc的邊ab為直徑作△abc的外接圓⊙o，∠b的平分線be交ac於d，交⊙o於e，過e作ef ∥ac交ba的延長線於f．
（1）求證：ef是⊙o切線；
（2）若ab = 15，ef = 10，求ae的長．
4、已知：如圖6，∠acb=60°，ce為∠acb的角平分線，o為射線ce上的一點，⊙o切ac於點d．
（1）求證：bc與⊙o相切；
（2）若⊙o的半徑為6，p為⊙o上一點，且使得∠dpc=90°，求dp的長．
5、（2023年元月調考試題）如圖7，在邊長為4的正方形中，以為直徑作⊙，以為圓心，長為半徑作⊙，兩圓交於正方形內一點，連並延長交於.
(1)求證：與⊙相切；
（2）求△和直角梯形周長之比.
【課後作業】
1、如圖8，ab為⊙o的直徑，d是⊙o 外一點， ad交⊙o於c，ae平分∠bad交⊙o於e，ad⊥ed於d。
（1）求證：de為⊙o的切線。
（2）若ce∥ab,ab=10,求cd的長
2、如圖10，ab是⊙o的直徑，ac是弦，弦ae平分∠cab，ed⊥ac於d，
（1）試判斷直線de與⊙o的位置關係，並證明你的結論；
（2）若ab＝10，de＝4，求ac的長。
3如圖11，中，∠acb=90°,以ac為直徑的⊙o交ab於d,oe∥ab交bc於e,連de.
(1) 求證：de為⊙o切線；
(2) 若⊙o的半徑為3，de=4，求ad之長.
4已知：如圖12，△abc中，ab=ac，點o在ab上，⊙o過點b且分別與邊ab、bc交於d、e兩點，過d作df⊥ac，垂足為f。
（1）判斷df與⊙o的位置關係，並證明你的結論；
（2）若ac與⊙o相切於點g，⊙o的半徑為3，cf=1，求ag的長。
5如圖13，rt△abc，以ab為直徑作⊙o交ac於點d，弧bd=弧de，過d作ae的垂線，f為垂足.
(1)求證：df為⊙o的切線；
(2)若df=12，⊙o的半徑為13，求ef.
6如圖14，△abc中，∠b=90°，o為ac上一點，以oa為半徑的⊙o經過bc上一點d，交ab於f ，交ac於e，且.
（1）求證：bc為⊙o切線;
（2）若bf=2，bd=4，求af的長.
7如圖15，ab是半圓o的直徑，ad為弦，∠dbc=∠a．
(1)求證：bc是半圓o的切線．
(2)若oc∥ad，oc交bd於e，bd=6，ce=4，求ad的長．
8如圖16，已知等邊△abc，以邊bc為直徑的半圓與邊ab、ac分別交於點d、點e，過點d作df⊥ac，垂足為點f．
（1）判斷df與⊙o的位置關係，並證明你的結論．
（2）過點f作fh⊥bc，垂足為點h，若等邊△abc的邊長為4，求fh的長．
9如圖17，⊙o為四邊形abcd的外接圓，圓心o在ad上，oc∥ab.
（1）求證：ac平分∠dab；
（2）若ac=8，ad∶bc=5，試求⊙o的半徑.
10圖,在中, ∠acb=900,d是ab的中點,以dc為直徑的⊙o交的邊於g,f點,求證:(1)f是bc的中點(2) ∠a=∠gef
11，d為直角三角形△abc斜邊ab上一點，以cd為直徑作⊙o交邊ab於e、f兩點，dg⊥ab於點g，
（1） 求證：af=ge （2）若af=2，fg=ac=4，求⊙o的半徑。
【**訓練】
12．已知，如圖，在rt△abc中，∠acb = 90°，以bc為直徑的⊙o交ab於d，e為中點，ce交ab於g，ef⊥bc於f交ab於h，則下列結論中①ac = ag；②eh = bh；③；④gd = 2fh．其中正確的結論為（ ）
abcd．①②③④
12、圖24,△abc中，∠a=60，bc為定長，以bc為直徑的⊙o分別交ab、ac於點d、e,鏈結de、oe.下列結論其中正確是（ ）
①bc＝2de；②d點到oe的距離不變；③bd+ce＝2de；④oe為△ade外接圓的切線.
a.①② b.③④ c.①②③ d.①②④
16．如圖，在平面直角座標系中，⊙p切x軸於原點o，平行於y軸的直線交⊙p於m、n兩點，若m（2，1），則過n點的反比例函式中k值為
22．(8』)已知，如圖，在rt△abc中，∠c = 90°，ac=12，bc=16，ad平分∠bac交bc於d，經過a、d兩點的圓o交ab於e，且點o在ab上．
（1）求證：bc是⊙o切線；
（2）求⊙o半徑．
25．(12』)已知，m為平面直角座標系中第一象限內一點，m點座標為（2，2）．若以m為圓心的圓與兩座標軸分別交於a、b、c、d四點．
（1）如圖1，若a（-1，0），求c點座標．
（2）如圖2，過點a作ae⊥bc，垂足為e，交y軸於h，求ch.
（3）n為y軸正半軸上一點，過m、o、n三點的圓與x軸負半軸交於p點，i為△pon內心，ig⊥pn，當n點在y軸上運動時，的值是否發生變化，若不變求其值，若變求其變化範圍．
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