圓的證明和計算（有切線型）
圓的證明與計算是中考中的一類重要的問題，一般出現在第22題，此題完成情況的好壞對解決後面問題的發揮有重要的影響，所以解決好此題比較關鍵。
一、考點聚焦：
主要以解答題的形式出現,第1問主要是判定切線；第2問主要是與圓有關的計算：①求線段長②求面積③求線段比…
二、回顧圓的證明、計算題中常用的幾個重要定理（學生提前完成）
1.垂徑定理定理及其推論：
①垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧。
②平分弦的直徑於弦，並且弦所對的兩條 。
③弦的垂直平分線過 ，且弦對的兩條弧。
④平分一條弦所對的兩條弧的直線過 ，且和此弦。
⑤平行弦夾的弧 。
2.切線的判定定理、性質定理、切線長定理：
(1)切線的判定：
①經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
②到圓心的距離等於圓的半徑的直線是圓的切線。
(2)切線的性質：
①圓的切線垂直於過切點的半徑。
②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點。
③經過切點作切線的垂線經過圓心。
(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線。
(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
三、基礎練習：
1、如圖，直線ab經過⊙o上的點c，並且oa=ob，ca=cb，求證：直線ab是⊙o的切線。
2、如圖，直線ab是⊙o的直徑，c是ab延長線上的一點，且bc=，∠pca= 30°，試判斷⊙o與直線cp的位置關係，並證明你的結論。
方法總結：
（1）若切點明確，則「連半徑，證垂直」。
（2）若切點不明確，則「作垂直，證半徑」。
四、典型基本圖型例析：
已知：ab是⊙o的直徑，點e、c是⊙o上的兩點，ac平分∠bae；ad⊥cd；
基本結論有：
（1）如圖1，證明：dc是⊙o的切線。
（2）如圖2，證明dc=of；如圖3，證明de=cf。
（3）如圖4：若ck⊥ab於k，證明：①ck=cd=be；②bk=de；③ae+ab=2ak=2ad。
總結：計算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等等知識的結合，形式複雜，無規律性。分析時要重點注意觀察已知線段間的關係，選擇定理進行線段或者角度的轉化。
特別是要借助圓的相關定理進行弧、弦、角之間的相互轉化，找出所求線段與已知線段的關係，從而化未知為已知，解決問題。
其中重要而常見的數學思想方法有：
（1）構造思想：如：①構建矩形轉化線段；②構造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；③構造勾股定理模型。
（2）方程思想：設出未知數表示關鍵線段，通過線段之間的關係，特別是發現其中的相等關係建立方程，解決問題。
五、典型例題講解：
如圖，已知rt△abc，∠bca= 90°，以ab邊上一點o為圓心，以ob為半徑作⊙o交bc於點e；交ab於點f，弧ef的中點d在ac上，
（1） 證明：ac與⊙o相切；
（2） 若ce=1，cd=2，求⊙o的半徑；
（3） 若，求的值。（改編自2023年中考題）；
（4） 延長fd交bc的延長線於g點，若dg=6，bf=10，求的值。（改編自2023年中考題）；
（5） 過點d作dg垂直平分of，g為垂足，作直徑dk，連線ke，若ec=2，求⊿ebk的面積。
題1、2題3題4題5
作業：以下問題都是由基本圖型變形而來，請同學們好好體會。
圖形變式1：
如圖5：ab是⊙o的直徑，點e、c是⊙o上的兩點，ac平分∠bae；ad⊥cd；
bg⊥cd於e時（如圖5），
基本結論有：
證明：①de=gb；
②dc=cg；
③ad+bg=ab；
圖形變式2：
如圖6已知，ab是⊙o的直徑，c是中點，cd⊥ab於d，bg交cd、ac於e、f。
基本結論有：
證明：①cd=bg；be=ef=ce；gf=2de
②oe=af，oe∥ac；即oe是△abf的中位線
③若d是ob的中點，則：⊿cef是等邊三角形圖6
圖形變式3
如圖7：rt⊿abc中，∠abc=90°,以ab為直徑作⊙o交ac於d，
de切⊙o於點d交cb於點e。
基本結論有：
證明：① de=be=ce；即e是 cb中點。
②∠ced=2∠a圖7
圖形變式4：
如圖8，⊿abc中，ab=ac，以ab為直徑作⊙o，交bc於點d，交ac於點f，de⊥ac
基本結論有：
證明：①de切⊙o；
②⊿dfc是等腰三角形；
③ef=ec；
③d是的中點，得ad是∠bac的角平分線。圖6
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