專題三數列
第一講等差、等比數列的計算與證明
一、選擇題
1．(2010·全國ⅱ)如果等差數列中，a3＋a4＋a5＝12，那麼a1＋a2＋…＋a7＝( )
a．14 b．21 c．28 d．35
解析：由等差數列性質得a3＋a4＋a5＝3a4，
由3a4＝12，得a4＝4，所以a1＋a2＋…＋a7＝＝7a4＝28.
答案：c
2．(2010·福建)設等差數列的前n項和為sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當sn取最
小值時，n等於
a．6 b．7 c．8 d．9
解析：∵是等差數列，
∴a4＋a6＝2a5＝－6，
則a5＝－3，d＝＝＝2，得是首項為負數的遞增數列，所有的非正
項之和最小．∵a6＝－1，a7＝1，∴當n ＝6時，sn取最小．故選a.
答案：a
3．等比數列前n項的積為tn，若a3a6a18是乙個確定的常數，那麼數列t10，t13，
t17，t25中也是常數的項是
a．t10 b．t13 c．t17 d．t25
解析：a3a6a18＝aq2＋5＋17＝(a1q8)3＝a，即a9為定值，所以與a1下標和為18的項
積為定值，可知t17為定值．
答案：c
4．各項均為正數的等比數列的前n項和為sn，若sn＝2，s3n＝14，則s4n等於( )
a．80b．26c．30d．16
解析：＝＝，
∴qn＝2.
∴s4n＝sn·＝30.故選c.
答案：c
5．(2010·遼寧)設是由正數組成的等比數列，sn為其前n項和．已知a2a4＝1，s3＝7，
則s5abcd.
解析： an>0， a2a4＝aq4＝1①
s3＝a1＋a1q＋a1q2＝7②
解得a1＝4，q＝或－(捨去)，
s5＝＝＝，故選b.
答案：b
二、填空題
6．(2010·福建)在等比數列中，若公比q＝4，且前3項之和等於21，則該數列的通
項公式an
解析：∵是等比數列，q＝4，s3＝＝21，∴a1＝1，∴an＝4n－1.
答案：4n－1
7．(2009·遼寧理)等差數列的前n項和為sn，且6s5－5s3＝5，則a4
解析：由題意知6－5＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4＝5，
故a4＝.
答案：8．數列滿足：an＋1＝an(1－an＋1)，a1＝1，數列滿足：bn＝anan＋1，則數列
的前10項和s10
解析：由題可知an＋1＝an(1－an＋1)，整理可得－＝1，則＝1＋(n－1)＝n，所
以an＝，bn＝anan＋1＝＝－，故s10＝b1＋b2＋…＋b10＝1－＝.
答案：9．已知數列(n∈n*)滿足：an＝則a2 007
解析：由an＝－an－6(n≥7，且n∈n*)知an＋12＝－an＋6＝an
從而知當n≥7時有an＋12＝an
於是a2 007＝a167×12＋3＝a3＝3.
答案：3
三、解答題
10．如圖給出了乙個「等差數陣」：
其中每行、每列都是等差數列，aij表示位於第i行第j列的數．
(1)寫出a45的值；
(2)寫出aij的計算公式．
解：(1)該等差數陣的第1列是首項為4，公差為3的等差數列，a41＝4＋3×(4－1)
＝13，第2列是首項為7，公差為5的等差數列，a42＝7＋5×(4－1)＝22.
∵a41＝13，a42＝22，
∴第4行是首項為13，公差為9的等差數列．
∴a45＝13＋9×(5－1)＝49.
(2)∵a1j＝4＋3(j－1)，a2j＝7＋5(j－1)，
∴第j列是首項為4＋3(j－1)，公差為2j＋1的等差數列．
∴aij＝4＋3(j－1)＋(2j＋1)·(i－1)＝i(2j＋1)＋j.
11．等差數列的前n項和為sn，a1＝1＋，s3＝9＋3.
(1)求數列的通項an與前n項和sn；
(2)設bn＝(n∈n*)，求證：數列中任意不同的三項都不可能成為等比數列．
(1)解：由已知得∴d＝2，
故an＝2n－1＋，sn＝n(n＋)．
(2)證明：由(1)得bn＝＝n＋
假設數列中存在三項bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比數列，則b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈n*，
∴∴2＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r.
這與p≠r相矛盾．
所以數列中任意不同的三項都不可能成為等比數列．
12．已知數列的各項均為正數，前n項的和sn＝，
(1)求的通項公式；
(2)設等比數列的首項為b，公比為2，前n項的和為tn.若對任意n∈n*，sn≤tn
均成立，求實數b的取值範圍．
解：(1)由a1＝，解得a1＝1.
當n≥2時，由an＝sn－sn－1＝，
得(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0.
又因為an>0，所以an－an－1＝2.
因此是首項為1，公差為2的等差數列，
即an＝2n－1(n∈n*)．
(2)因為sn＝n2，tn＝b(2n－1)，
所以sn≤tn對任意n∈n*恆成立，
當且僅當≤對任意n∈n*均成立．
令cn＝，因為cn＋1－cn＝－＝，
所以c1>c2，且當n≥2時，cn因此≤c2＝，即b≥.
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