上海市2013—2014學年度高考數學模擬試卷
一、填空題（本大題共有14題，滿分56分）只要求直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.
1.函式的定義域為
2.複數滿足=，則
3.底面邊長為2m，高為1m的正三稜錐的全面積為 m2
4.某工廠生產10個產品，其中有2個次品，從中任取3個產品進行檢測，則3個產品中至多有1個次品的概率為
5.若非零向量滿足,則夾角的余弦值為_______
6.已知圓：，直線：，設圓上到直線的距離等於1的點的個數為，則
7.已知是定義在上的奇函式.當時，，則不等式的解集用區間表示為
8.已知為等比數列，其前項和為，且，則數列的通項公式為
9.設，若對於任意的，都有滿足方程，這時的取值範圍為
10.已知是拋物線的焦點，是拋物線上兩點，線段的中點為，則的面積為
11.如圖,已知樹頂a離地面公尺，樹上另一點b離地面公尺，
某人在離地面公尺的c處看此樹，則該人離此樹公尺時，
看a、b的視角最大
12.將函式（）的圖象向左平移個單位，得到函式的圖象，若在上為增函式，則的最大值為
13.如圖，矩形的一邊在軸上，另外兩個頂點在函式的圖象上.若點的座標，記矩形的周長為，數列的前項和為，則=
14.已知定義域為的偶函式，對於任意，滿足。且當時。令，，其中，函式則方程的解的個數為 （結果用表示）
二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分) 每小題都給出四個選項，其中有且只有乙個選項是正確的，選對得 5分，否則一律得零分.
15. 記max為a和b兩數中的較大數．設函式和的定義域都是r，則「和都是偶函式」是「函式為偶函式」的
a.充分不必要條件b.必要不充分條件.
c.充要條件d.既不充分也不必要條件.
16.將函式的圖象向左平移個單位，再將圖象上各點的橫座標伸長到原來的2倍(縱座標不變)，所得函式圖象的一條對稱軸是
abc． d.
17.如圖，偶函式的圖象形如字母m，奇函式的圖象形如字母n，若方程： 的實數根的個數分別為a、b、c、d，則
a．27b．30c．33d．36
18.已知表示大於的最小整數，例如．下列命題:
①函式的值域是；
②若是等差數列，則也是等差數列；
③若是等比數列，則也是等比數列；
④若，則方程有個根.
其中正確的是
abcd.①④
三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）解答下列各題必須寫出必要的步驟．
19. （本題滿分12分，第1小題6分，第2小題6分）
如圖，在三稜錐中，側面與側面均為等邊三角形，，為中點．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
已知分別在射線（不含端點）上運動，，在中，角、、所對的邊分別是、、．
（1）若、、依次成等差數列，且公差為2．求的值；
（2）若，，試用表示的周長，並求周長的最大值．
21.（本題滿分14分，第1小題7分，第2小題7分）
給定數列.對,該數列前項的最大值記為,後項的最小值記為,.
(1)設()是公比大於1的等比數列,且.證明:, ,...,是等比數列
(2)設, ,...,是公差大於0的等差數列,且,證明:, ,...,是等差數列
22.（本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）
在平面直角座標系xoy中，設橢圓c的中心在原點，焦點在x軸上，短半軸長為2，橢圓c長軸的右端點到其右焦點的距離為．
（1）求橢圓c的方程
（2）設直線l與橢圓c相交於a，b兩點，且．
求證：原點o到直線ab的距離為定值
(3)在（2）的條件下，求ab的最小值
23.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）
對於函式，如果存在實數使得，那麼稱為的生成函式.
（1）下面給出兩組函式，是否分別為的生成函式？並說明理由；
第一組：；
第二組：；
（2）設，生成函式.若不等式
在上有解，求實數的取值範圍；
（3）設，取，生成函式影象的最低點座標為. 若對於任意正實數且.試問是否存在最大的常數，使恆成立？如果存在，求出這個的值；如果不存在，請說明理由.
一、填空題（本大題共有14題，滿分56分）只要求直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.
1. 2. 5 3. 4. 5.
6. 4 7. 8. 9.
10. 2 11. 6 12. 2 13. 14.
二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分) 每小題都給出四個選項，其中有且只有乙個選項是正確的，選對得 5分，否則一律得零分.
15. a 17. b
三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）解答下列各題必須寫出必要的步驟．
19. （本題滿分12分，第1小題6分，第2小題6分）
（1）由題設，鏈結，為等腰直角三角形，所以
，且，又為等腰三角形，
，且，從而． 所
以為直角三角形，．又．
所以平面．
（2）取中點，鏈結，由（1）知，
得．為二面角的平面角．
由得平面．
所以，又，故．所以二面角的余弦值為
20.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
（1）、、成等差，且公差為2，
、. 又，，
恒等變形得，解得或.又， .
（2）在中，
的周長，又， ,
當即時，取得最大值．
21.（本題滿分14分，第1小題7分，第2小題7分）
(1)因為,公比,所以是遞增數列.
因此,對, ,.
於是對,.
因此且(),即, ,,是等比數列.
(2)設為, ,,的公差.
對,因為, ,所以=.
又因為,所以.
從而是遞增數列,因此().
又因為,所以.
因此. 所以.
所以=.
因此對都有,即, ,...,是等差數列.
22.（本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）
（1）由題意，可設橢圓c的方程為，
所以橢圓方程為
（2）設原點到直線的距離為h，則由題設及面積公式知．
當直線的斜率不存在或斜率為時，或
於是．當直線的斜率存在且不為時，則，
解得同理
在rt△oab中，，
則所以．
綜上，原點到直線的距離為定值
另解：，所以．
（3）因為h為定值，於是求的最小值即求的最小值．
令，則，
於是， 因為，所以，
當且僅當，即，取得最小值，因而
所以的最小值為．
23.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）
（1）①
所以是的生成函式
② 設，即，
則，該方程組無解.所以不是的生成函式.
（2）若不等式在上有解， ，即
設，則，，
，故，.
（3）由題意，得，則
，解得，所以
假設存在最大的常數，使恆成立.
於是設=
令，則，即
設在上單調遞減，
，故存在最大的常數
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