2023年上海市普通高等學校春季招生考試
數學試卷
一. 填空題（本大題滿分36分）本大題共有12題，要求直接填寫結果，每題填對得3分，否則一律得0分
1．函式的定義域是
2．方程的解是
3．拋物線的準線方程是
4．函式的最小正週期是
5．已知向量，。若，則實數
6．函式的最大值是
7．複數（是虛數單位）的模是
8．在中，角所對邊長分別為，若，則
9．在如圖所示的正方體中，異面直線與所成角的大小為
10．從4名男同學和6名女同學中隨機選取3人參加某社團活動，選出的3人中男女同學都有的概率為 （結果用數值表示）。
11．若等差數列的前6項和為23，前9項和為57，則數列的前項和
12．36的所有正約數之和可按如下方法得到：因為，所以36的所有正約數之和為參照上述方法，可求得2000的所有正約數之和為
二．選擇題（本大題滿分36分）本大題共有12題，每題都給出四個結論，其中有且只有乙個結論是正確的。考生必須把真確結論的**寫在題後的括號內，選對得3分，否則一律得0分
13．展開式為的行列式是（ ）
（a） (b) (c) (d
14．設為函式的反函式，下列結論正確的是（ ）
(ab)
(cd)
15．直線的乙個方向向量是（ ）
(a) (b) (cd)
16．函式的大致影象是（ ）
17．如果，那麼下列不等式成立的是（ ）
(abcd)
18．若複數滿足，則在複數平面上對應的點
(a) 關於軸對稱b)關於軸對稱
(c) 關於原點對稱d)關於直線對稱
19．的二項展開式中的一項是（ ）
（a） （b） （c） （d）
20．既是偶函式又在區間上單調遞減的函式是（ ）
（a） （b）（c） （d）
21．若兩個球的表面積之比為，則這兩個球的體積之比為（ ）
（a） （b） （c） （d）
22．設全集，下列集合運算結果為的是（ ）
（a）（b） （c） （d）
23．已知，「」是「函式的影象恆在軸上方」的（ ）
（a）充分非必要條件b）必要非充分條件
（c）充要條件d）既非充分又非必要條件
24．已知為平面內兩定點，過該平面內動點作直線的垂線，垂足為.若，其中為常數，則動點的軌跡不可能是（ ）
（a）圓b） 橢圓c） 拋物線d）雙曲線
三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有7題，解答下列各題必須寫出必要的步驟
25．（本題滿分7分）
如圖，在正三稜錐中，，異面直線與所成角的大小為，求該三稜柱的體積。
26．（本題滿分7分）
如圖，某校有一塊形如直角三角形的空地，其中為直角，長公尺，長公尺，現欲在此空地上建造一間健身房，其占地形狀為矩形，且為矩形的乙個頂點，求該健身房的最大占地面積。
27．（本題滿分8分）
已知數列的前項和為，數列滿足，求。
28．（本題滿分13分）本題共有2個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分9分
已知橢圓的兩個焦點分別為、，短軸的兩個端點分別為
（1）若為等邊三角形，求橢圓的方程;
（2）若橢圓的短軸長為，過點的直線與橢圓相交於兩點，且，求直線的方程。
29．（本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分
已知拋物線的焦點為。
（1）點滿足。當點在拋物線上運動時，求動點的軌跡方程；
（2）在軸上是否存在點，使得點關於直線的對稱點在拋物線上？如果存在，求所有滿足條件的點的座標；如果不存在，請說明理由。
30．（本題滿分13分）本題共有2個小題，第一小題滿分4分，第二小題滿分9分
在平面直角座標系中，點在軸正半軸上，點在軸上，其橫座標為，且是首項為1、公比為2的等比數列，記，。
（1）若，求點的座標；
（2）若點的座標為，求的最大值及相應的值。
31．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分，第3小題滿分6分
已知真命題：「函式的影象關於點成中心對稱圖形」的充要條件為「函式是奇函式」。[**:學§科§網z§x§x§k]
（1）將函式的影象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時影象對應的函式解析式，並利用題設中的真命題求函式影象對稱中心的座標；
（2）求函式影象對稱中心的座標；
（3）已知命題：「函式的影象關於某直線成軸對稱影象」的充要條件為「存在實數a和b，使得函式是偶函式」。判斷該命題的真假。
如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請說明理由，並模擬題設的真命題對它進行修改，使之成為真命題（不必證明）。
2023年上海市普通高等學校春季招生考試
數學試卷
參***
一．（第1至12題）每一題正確的給3分，否則一律得0分
1． 2．3 3． 4． 5． 6． 5
7． 8． 7 9． 10． 11． 12． 4836
二．（第13至24題）每一題正確的給3分，否則一律得0分
13．b 14．b 15．d 16．a 17．d 18．a 19．c 20．b 21．c 22．a 23．d 24．c
三．（第25至31題）
25．[解]因為.
所以為異面直線與.所成的角，即=。
在rt中，,
從而,因此該三稜柱的體積為.
26．[解]如圖，設矩形為,長為公尺，其中，
健身房占地面積為平方公尺。因為∽，
以，,求得，
從而，當且僅當時，等號成立。
答：該健身房的最大占地面積為500平方公尺。
27．[解]當時，。
且，所以。
因為，所以數列是首項為1、公比為的無窮等比數列。
故。28．[解]（1）設橢圓的方程為。
根據題意知， 解得，
故橢圓的方程為。
（2）容易求得橢圓的方程為。
當直線的斜率不存在時，其方程為，不符合題意；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為。
由得。設，則
因為，所以,即
解得，即。
故直線的方程為或。
29．（1）設動點的座標為，點的座標為,則,
因為的座標為，所以，
由得。即解得
代入，得到動點的軌跡方程為。
（2）設點的座標為.點關於直線的對稱點為，
則解得若在上，將的座標代入，得，即或。
所以存在滿足題意的點，其座標為和。
30．[解]（1）設，根據題意，。由，知，
而，所以，解得或。
故點的座標為或。
（2）由題意，點的座標為，。
。因為，所以，
當且僅當，即時等號成立。
易知在上為增函式，
因此，當時，最大，其最大值為。
31．（1）平移後影象對應的函式解析式為，
整理得，
由於函式是奇函式，
由題設真命題知，函式影象對稱中心的座標是。
（2）設的對稱中心為，由題設知函式是奇函式。
設則，即。
由不等式的解集關於原點對稱，得。
此時。任取，由，得，
所以函式影象對稱中心的座標是。
（3）此命題是假命題。
舉反例說明：函式的影象關於直線成軸對稱影象，但是對任意實數和，函式，即總不是偶函式。
修改後的真命題：
「函式的影象關於直線成軸對稱影象」的充要條件是「函式是偶函式」。
2023年上海市春季高考數學試卷
2012年上海市普通高等學校春季招生考試 數學試卷 一.填空題 本大題滿分56分 本大題共有14題，直接填寫結果，每題答對得4分，否則一律得零分.二 選擇題 本大題滿分16分 本大題共有4題，每題都給出四個結論，其中有且只有乙個結論是正確的，考生必須把正確結論的代號寫在題後的圓括號內，選對得 5分，...
2023年上海市春季高考數學模擬試卷一版含答案
2015年上海市春季高考模擬試卷一 一 填空題 本大題共12小題，每小題3分，共36分 請將答案填入答題紙填空題的相應答題線上 1 函式的定義域是 2 已知全集，集合，則 3 已知函式是函式的反函式，則要求寫明自變數的取值範圍 4 雙曲線的漸近線方程是 5 若函式與函式的最小正週期相同，則實數a 6...
2023年上海市高考數學試題 理科
一 填空題 56分 1 函式的反函式為 2 若全集，集合，則 3 設為常數，若點是雙曲線的乙個焦點，則 4 不等式的解為 5 在極座標系中，直線與直線的夾角大小為 6 在相距2千公尺的 兩點處測量目標，若，則 兩點之間的距離是千公尺。7 若圓錐的側面積為，底面積為，則該圓錐的體積為 8 函式的最大值...