數學（文）試卷
(2023年4月10日)
考生注意：
1．每位考生應同時收到試卷和答題卷兩份材料，解答必須在答題卷上進行，寫在試卷上的解答一律無效；
2．答卷前，考生務必將姓名、准考證號等相關資訊在答題卷上填寫清楚；
3．本試卷共23道試題，滿分150分；考試時間120分鐘．
一．填空題(本大題滿分56分) 本大題共有14題，考生應在答題卷的相應編號的空格內直接填寫結果，每題填對得4分，否則一律得零分．
1．函式的定義域是
2．函式的最小正週期
3．已知全集，集合，．若，則實數的取值範圍是 ．
4．已知等差數列的公差為，，前項和為，則的數值是 ．
5．函式的單調遞增區間是
6．函式的反函式是，則反函式的解析式是
7．方程的解
8．在中，角所對的邊的長度分別為，且，
則 .
9．已知是虛數單位，以下同)是關於的實係數一元二次方程的乙個根，則實數
10．若用乙個平面去截球體，所得截面圓的面積為，球心到該截面的距離是，則這個球的表面積是
11．(文) 已知直線，則直線的夾角的大小是結果用反三角函式值表示)
12． (文) 已知實數滿足線性約束條件則目標函式的最大值是 ．
13． (文)某個不透明的袋中裝有除顏色外其它特徵完全相同的7個桌球(袋中僅有白色和黃色兩種顏色的球)，若從袋中隨機摸乙個桌球，得到的球是白色桌球的概率是，則從袋中一次隨機摸兩個球，得到乙個白色桌球和乙個黃色桌球的概率是 ．
14．已知函式是定義域為的偶函式. 當時， 若關於的方程有且只有7個不同實數根，則
(文) 的值是 ．
二．選擇題(本大題滿分20分) 本大題共有4題，每題有且只有乙個正確答案，考生應在答題卷的相應編號上，將代表答案的小方格塗黑，選對得5分，否則一律得零分．
15．已知，且，則下列結論恆成立的是答
a． b． c． d．
16．已知空間直線不在平面內，則「直線上有兩個點到平面的距離相等」是「」的
答a．充分非必要條件 b．必要非充分條件 c．充要條件 d．非充分非必要條件
17．已知，則直線與圓：的位置關係是
[答a．相交 b．相切 c．相離 d．不能確定
18．(文) 四稜錐的底面是矩形，錐頂點在底面的射影是矩形對角線的交點，四稜錐及其三檢視如下(ab平行於主檢視投影平面)
則四稜錐的體積答]( ) ．
a．24 b．18 c． d．8
三．解答題(本大題滿分74分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題卷的相應編號規定區域內寫出必要的步驟．
19．(本題滿分12分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分．
(文) 已知矩形是圓柱體的軸截面，分別是下底面圓和上底面圓的圓心，母線長與底面圓的直徑長之比為，且該圓柱體的體積為，如圖所示．
(1)求圓柱體的側面積的值；
(2)若是半圓弧的中點，點在半徑上，且，異面直線與所成的角為，求的值．
20．(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分．
已知複數．
(1)求的最小值；
(2)設，記表示複數z的虛部). 將函式的影象上所有點的橫座標伸長到原來的2倍(縱座標不變)，再把所得的影象向右平移個單位長度，得到函式的影象. 試求函式的解析式．
21．(本題滿分12分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分．
某通訊公司需要在三角形地帶區域內建造甲、乙兩種通訊訊號加強中轉站，甲中轉站建在區域內，乙中轉站建在區域內．分界線固定，且=百公尺，邊界線始終過點，邊界線滿足．
設()百公尺，百公尺.
(1)試將表示成的函式，並求出函式的解析式；
(2)當取何值時？整個中轉站的占地面積最小，並求出其面積的最小值．
22．(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分．
已知數列滿足()．
(1)求的值；
(2)求(用含的式子表示)；
(3) (文) 記，數列的前項和為，求(用含的式子表示)．
23．(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分．
(文) 已知點在雙曲線上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若過點且斜率為的直線與雙曲線有兩個不同交點，求實數的取值範圍；
(3)設(2)中直線與雙曲線交於兩個不同點，若以線段為直徑的圓經過座標原點，求實數的值．
參***和評分標準(2023年4月10日)
一、填空題
18．；
29． ；
310． ；
411． (文) ；
512．(文) ；
613． (文) ；
714． (文) .
二、選擇題： 15．c 16．b 17．b 18．d
三、解答題
19．本題滿分12分．
(文) 解(1)設圓柱的底面圓的半徑為，依據題意，有，
(2) 設是線段的中點，聯結，則．
因此，就是異面直線與所成的角，即
又，，20．本題滿分14分
解(1)∵，
∴當，即時
(2)∵，
將函式的影象上所有點的橫座標伸長到原來的2倍(縱座標不變)後，得到的影象所對應的函式是
把函式的影象向右平移個單位長度，得到的影象對應的函式是．
21．本題滿分12分．
解(1)結合圖形可知
於是 解得
(2)由(1)知，，
因此當且僅當，即時，等號成立)．
答：當公尺時，整個中轉站的占地面積最小，最小面積是平方公尺. 12分
22．本題滿分18分．
解(1) ()，
(2)由題知，有
． (文) (3)由(2)可知
23．本題滿分18分．
(文) 解(1)由題知，有
解得因此，所求雙曲線的方程是
(2) ∵直線過點且斜率為，
∴直線聯立方程組得
又直線與雙曲線有兩個不同交點，
解得(3)設交點為，由(2)可得
又以線段為直徑的圓經過座標原點，
因此，為座標原點
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