◆考點鏈結
幾何的證明與計算是中考的必考題型，幾何的證明題常以全等和相似為載體，與圓的有關知識相結合；幾何計算題則是把幾何知識與代數知識有機結合起來，滲透數形結合思想，重在考查分析問題的能力、邏輯思維和推理能力．
◆典例精析
【例題1】（天津）已知rt△abc中，∠acb=90°，ac=6，bc=8．
（1）如圖①，若半徑為r1的⊙o1是rt△abc的內切圓，求r1；
（2）如圖②，若半徑為r2的兩個等圓⊙o1、⊙o2外切，且⊙o1與ac、ab相切，⊙o2與bc、ab相切，求r2；
（3）如圖③，當n是大於2的正整數時，若半徑為rn的n個等圓⊙o1、⊙o2、…、⊙on依次外切，且⊙o1與ac、ab相切，⊙on與bc、ab相切，⊙o2、⊙o3、…、⊙on－1均與ab邊相切，求rn．
解：（1）∵在rt△abc中，∠acb=90°，ac=6，bc=8，∴ab==10．
如圖，設⊙o1與rt△abc的邊ab、bc、ca分別切於點d、e、f，連線o1d、o1e、o1f、ao1、bo1、co1．
於是，o1d⊥ab，o1e⊥bc，o1f⊥ac，
s△ao1c=ac·o1f=ac·r1=3r1，
s△bo1c =bc·o1e=bc·r1=4r1，
s△ao1b =ab·o1d=ab·r1=5r1，
s△abc =ac·bc=24．
又∵s△abc =s△ao1c +s△bo1c +s△ao1b，
∴24=3r1+4r1+5r1，
∴r1=2．
（2）如圖，連線ao1、bo2、co1、co2、o1o2，則
s△ao1c =ac·r2=3r2，
s△bo2c =bc·r2=4r2，
∵等圓⊙o1、⊙o2外切，
∴o1o2=2r2，且o1o2∥ab．
過點c作cm⊥ab於點m，交o1o2於點n，則
cm==，
cn=cm－r2=－r2，
∴s△co1o2 =o1o2·cn=（－r2）r2，
∴s梯形ao1o2b=（2r2+10）r2=（r2+5）r2．
∵s△abc =s△ao1c +s△bo2c +s△co1o2 +s梯形ao1o2b，
∴24=3r2+4r2+（－r2）r2+（r2+5）r2．
解得r2=．
（3）如圖，連線ao1、bon、co1、con、o1on，則
s△ao1c =ac·rn=3rn，
s△bonc =bc·rn=4rn，
∵等圓⊙o1、⊙o2、…、⊙on依次外切，且均與ab邊相切，
∴o1、o2、…、on均在直線o1on上，且o1on∥ab，
∴o1on=（n－2）2rn+2rn=2（n－1）rn．
過點c作ch⊥ab於點h，交o1on於點k，則ch=，ck=－rn．
∴s△co1on=o1on·ck=（n－1）（－rn）rn．
s梯形ao1onb= [2（n－1）rn+10]rn=[（n－1）rn+5]rn．
∵s△abc=s△ao1c+s△bonc+s△co1on+s梯形ao1onb，
∴24=3rn+4rn+（n－1）（－rn）rn+[（n－1）rn+5]rn，
解得rn=．
評析：通過面積關係，建立所求半徑的等量關係式，也是解決幾何計算題一種重要的途徑．
【例題2】如圖，ab是⊙o的直徑，ae平分∠baf交⊙o於e點，過點e作直線與af垂直交af的延長線於d點，交ab延長線於c點．
（1）求證：cd與⊙o相切於點e；
（2）若ce·de=，ad=3，求⊙o的直徑及∠aed的正切值．
解題思路：（1）連oe，證oe⊥cd；（2）利用三角形相似線段成比例求半徑．
解：（1）連oe，易證∠oea=∠oae=∠ead，∠oed=90°，得
oe⊥cd，cd與⊙o相切．
（2）連be有be=oe，易證rt△abe∽rt△aed，△cbe∽△cea，得
，設⊙o半徑為r，
則co=r+，ca=+2r，
∴，解得r=或r=－1（舍），
∴⊙o直徑為，由ce2=cb·ca=，
∴ce=，de=，tan∠aed=2．
評析：本題第（2）小題是幾何計算，不少考生怕這種題型，因它與證明題不同，證明題的結論是確定的，有目標可尋，而計算題則需要根據題設條件和學過的知識去分析和探索，包括一定的運算能力，這就要求考生平時多練習，多思考，增強信心，才能攻克這樣的難關．
◆**實踐
【問題】（重慶）已知四邊形abcd中，p是對角線bd上的一點，過p作mn∥ad，ef∥cd，分別交ab、cd、ad、bc於m、n、e、f，設a=pm·pe，b=pn·pf，解答下列問題：
（1）當四邊形abcd是矩形時，見圖①，請判斷a與b的大小關係，並說明理由；
（2）當四邊形abcd是平行四邊形，且∠a為銳角時，見圖②，（1）中的結論是否成立？請說明理由；
（3）在（2）的條件下，設=k，是否存在這樣的實數k，使得？若存在，請求出滿足條件的所有k的值；若不存在，請說明理由．
解題思路：（1）利用面積關係可證a=b；（2）可證speam=pm·pe．sin∠mpe，spncf=pn·pf，sin∠fpn．由speam=spncf，可得a=b；（3）利用等高三角形面積比等於底邊之比可求k值．
（1）解：a=s矩形peam=s△bda－s△pmb －s△pde，
b=s矩形pncf=s△dbc －s△bfp －s△dpn，可證得a=b．
（2）解：成立．仿（1）有speam=spncf，作eh⊥mn，可證speam=eh·pm=pm·pe．sin∠mpe．同理spncf=pn·pf．sin∠fpn．由sin∠mpe=sin∠fpn，可得pm·pe=pn·pf．即a=b．
（3）解法一：存在．鏈結ap，設△pmb、△pma、△pea、△ped的面積分別為s1、s2、s3、s4，即．
∴2k2－5k+2=0，∴k1=2，k2=．
解法二：由（2）可知speam=ae·am．sina=ad·absina．
∴k=2或．
評析：巧用面積法解題，可化難為易，應引起注意．
◆中考演練
一、填空題
1．（黃岡）如圖1，在abcd中，ef∥ab，de：ea=2：3，ef=4，則cd=_______．
(1234)
2．（四川）如圖2，ab、ac是互相垂直的兩條弦，ab=8cm，ac=6cm，則⊙o半徑oa長為_______cm．
二、選擇題
1．（福州）如圖3，ef過矩形abcd對角線交於點o，且分別交ab、cd於e、f，那麼陰影部分的面積是矩形abcd面積的（ ）．
abc． d．
2．（黃岡）如圖4，△abc中，ab=ac，d為bc中點，e為ad上任意一點，過c作cf∥ab交be的延長線於f，交ac於g，鏈結ce，下列結論中不正確的是（ ）．
a．ad平分∠bac b．be=cf
c．be=ced．若be=5，ge=4，則gf=
三、解答題
1．（長春）如圖，在等腰梯形abcd中，ad∥bc，∠c=60°，ad=cd．e、f分別在ad、cd上，de=cf，af、be交於點p，請你量一量∠bpf的度數，並證明你的結論．
2．（青島）已知：如圖，ab是⊙o的直徑，c為⊙o上一點，且∠bce=∠cab，ce交ab的延長線於點e，ad⊥ab，交ec的延長線於點d．
（1）求證：de是⊙o的切線．
（2）若ce=3，be=2，求cd的長．
◆實戰模擬
一、填空題
1．（四川）如圖5，在半徑為3的⊙o中，b是劣弧ac的中點，鏈結ab並延長到d，使bd=ab，鏈結ac、bc、cd．如果ab=2，那麼cd
(567)
2．（杭州）如圖6，在等腰rt△abc中，ac=bc，以斜邊ab為一邊作等邊△abd，使點c、d在ab的同側；再以cd為一邊作等邊△cde，使點c、e在ad的異側．若ae=1，則cd的長為________．
3．（瀋陽）如圖7，已知在⊙o中，直徑mn=10，正方形abcd的四個頂點分別在半徑om、op以及⊙o上，並且∠pom=45°，則ab的長為________．
二、選擇題
1．（寧波）如圖8，在四邊形abcd中，e是ab上一點，ec∥ad，de∥bc．若s△bec=1，s△bec=3，則s△cde等於（ ）．
a．2 b． cd．
(8910)
2．（河南）如圖9，半徑為4的兩等圓相外切，它們的一條外公切線與兩圓圍成的陰影部分中，存在的最大圓的半徑等於（ ）．
a． b． cd．1
3．（深圳）如圖10，ab是⊙o直徑，點d、e是半圓的三等分點，ae、bd延長線交於點c．若ce=2，則圖中陰影部分的面積是（ ）．
abcd．
中考幾何證明與計算專題複習
1.如圖，abcd是正方形，點g是bc上的任意一點，於e，交ag於f 求證 2.如圖，將矩形紙片abcd沿對角線ac摺疊，使點b落到點b 的位置，ab 與cd交於點e.1 試找出乙個與 aed全等的三角形，並加以證明.2 若ab 8，de 3，p為線段ac上的任意一點，pg ae於g，ph ec於h...
中考專題複習3幾何的證明與計算 含答案
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