經典題（一）
1、已知：如圖，o是半圓的圓心，c、e是圓上的兩點，cd⊥ab，ef⊥ab，eg⊥co．
求證：cd＝gf．（初二）
證明：過點g作gh⊥ab於h，連線oe
∵eg⊥co，ef⊥ab
∴∠ego=90°，∠efo=90°
∴∠ego+∠efo=180°
∴e、g、o、f四點共圓
∴∠geo=∠hfg
∵∠ego=∠fhg=90°
∴△ego∽△fhg
∴=∵gh⊥ab，cd⊥ab
∴gh∥cd∴∴
∵eo=co
∴cd=gf
2、已知：如圖，p是正方形abcd內部的一點，∠pad＝∠pda＝15°。
求證：△pbc是正三角形．（初二）
證明：作正三角形adm，連線mp
∵∠mad=60°，∠pad=15°
∴∠map=∠mad+∠pad=75°
∵∠bad=90°，∠pad=15°
∴∠bap=∠bad-∠pad=90°-15°=75°
∴∠bap=∠map
∵ma=ba，ap=ap
∴△map≌△bap
∴∠bpa=∠mpa，mp=bp
同理∠cpd=∠mpd，mp=cp
∵∠pad＝∠pda＝15°
∴pa=pd，∠bap=∠cdp=75°
∵ba=cd
∴△bap≌∠cdp
∴∠bpa=∠cpd
∵∠bpa=∠mpa，∠cpd=∠mpd
∴∠mpa=∠mpd=75°
∴∠bpc=360°-75°×4=60°
∵mp=bp，mp=cp ∴bp=cp ∴△bpc是正三角形
3、已知：如圖，在四邊形abcd中，ad＝bc，m、n分別是ab、cd的中點，ad、bc的延長線交mn於e、f．
求證：∠den＝∠f．
證明:連線ac，取ac的中點g,連線ng、mg
∵**=dn，cg=dg
∴gn∥ad，gn=ad
∴∠den=∠gnm
∵am=bm，ag=cg
∴gm∥bc，gm=bc
∴∠f=∠gmn
∵ad=bc
∴gn=gm
∴∠gmn=∠gnm
∴∠den=∠f
經典題（二）
1、已知：△abc中，h為垂心（各邊高線的交點），o為外心，且om⊥bc於m．
（1）求證：ah＝2om；
（2）若∠bac＝600，求證：ah＝ao．（初二）
證明：（1）延長ad交圓於f，連線bf，過點o作og⊥ad於g
∵og⊥af
∴ag=fg
∵=∴∠f=∠acb
又ad⊥bc，be⊥ac
∴∠bhd+∠dbh=90°
∠acb+∠dbh=90°
∴∠acb=∠bhd
∴∠f=∠bhd
∴bh=bf又ad⊥bc
∴dh=df
∴ah=ag+gh=fg+gh=gh+dh+df+gh=2gh+2dh=2（gh+dh）=2gd
又ad⊥bc，om⊥bc，og⊥ad
∴四邊形omdg是矩形
∴om=gd ∴ah=2om
（2）連線ob、oc
∵∠bac=60∴∠boc=120°
∵ob=oc，om⊥bc
∴∠bom=∠boc=60°∴∠obm=30°
∴bo=2om
由（1）知ah=2om∴ah=bo=ao
2、設mn是圓o外一條直線，過o作oa⊥mn於a，自a引圓的兩條割線交圓o於b、c及d、e，連線cd並延長交mn於q，連線eb並延長交mn於p.
求證：ap＝aq．
證明：作點e關於ag的對稱點f，連線af、cf、qf
∵ag⊥pq ∴∠pag=∠qag=90°
又∠gae=∠gaf ∴∠pag+∠gae=∠qag+∠gaf
即∠pae=∠qaf
∵e、f、c、d四點共圓
∴∠aef+∠fcq=180°
∵ef⊥ag，pq⊥ag
∴ef∥pq
∴∠paf=∠afe
∵af=ae
∴∠afe=∠aef
∴∠aef=∠paf
∵∠paf+∠qaf=180°
∴∠fcq=∠qaf
∴f、c、a、q四點共圓
∴∠afq=∠acq
又∠aep=∠acq
∴∠afq=∠aep
3、設mn是圓o的弦，過mn的中點a任作兩弦bc、de，設cd、eb分別交mn於p、q．
求證：ap＝aq．（初二）
證明：作of⊥cd於f，og⊥be於g，連線op、oq、oa、af、ag
∵c、d、b、e四點共圓
∴∠b=∠d，∠e=∠c
∴△abe∽△adc
∴∴△abg∽△adf
∴∠agb=∠afd
∴∠age=∠afc
∵am=an，
∴oa⊥mn
又og⊥be，
∴∠oaq+∠ogq=180°
∴o、a、q、e四點共圓
∴∠aoq=∠age
同理∠aop=∠afc
∴∠aoq=∠aop
又∠oaq=∠oap=90°，oa=oa
∴△oaq≌△oap
∴ap=aq
4、如圖,分別以△abc的ab和ac為一邊,在△abc的外側作正方形abfg和正方形acde，點o是df的中點，op⊥bc
求證：bc=2op（初二）
證明：分別過f、a、d作直線bc的垂線，垂足分別是l、m、n
∵of=od，dn∥op∥fl
∴pn=pl
∴op是梯形dfln的中位線
∴dn+fl=2op
∵abfg是正方形
∴∠abm+∠fbl=90°
又∠bfl+∠fbl=90°
∴∠abm=∠bfl
又∠flb=∠bma=90°，bf=ab
∴△bfl≌△abm
∴fl=bm
同理△amc≌△**d
∴cm=dn
∴bm+**=fl+dn
∴bc=fl+dn=2op
經典題（三）
1、如圖，四邊形abcd為正方形，de∥ac，ae＝ac，ae與cd相交於f．
求證：ce＝cf．（初二）
證明：連線bd交ac於o。過點e作eg⊥ac於g
∵abcd是正方形
∴bd⊥ac又eg⊥ac
∴bd∥eg又de∥ac
∴odeg是平行四邊形
又∠cod=90°
∴odeg是矩形
∴eg=od=bd=ac=ae
∴∠eag=30°
∵ac=ae
∴∠ace=∠aec=75°
又∠afd=90°-15°=75°
∴∠cfe=∠afd=75°=∠aec
∴ce=cf
2、如圖，四邊形abcd為正方形，de∥ac，且ce＝ca，直線ec交da延長線於f．
求證：ae＝af．（初二）
證明：連線bd，過點e作eg⊥ac於g
∵abcd是正方形
∴bd⊥ac，又eg⊥ac
∴bd∥eg又de∥ac
∴odeg是平行四邊形
又∠cod=90°
∴odeg是矩形
∴eg = od =bd=ac=ce
∴∠gce=30°
∵ac=ec
3、設p是正方形abcd一邊bc上的任一點，pf⊥ap，cf平分∠dce．
求證：pa＝pf．（初二）
證明：過點f作fg⊥ce於g，fh⊥cd於h
∵cd⊥cg ∴hcgf是矩形
∵∠hcf=∠gcf ∴fh=fg
∴hcgf是正方形
∴cg=gf
∵ap⊥fp
∴∠apb+∠fpg=90°
∵∠apb+∠bap=90°
∴∠fpg=∠bap
又∠fgp=∠pba
∴△fgp∽△pba
∴fg：pb=pg：ab
4、如圖，pc切圓o於c，ac為圓的直徑，pef為圓的割線，ae、af與直線po相交於b、d．
求證：ab＝dc，bc＝ad．（初三）
證明：過點e作ek∥bd，分別交ac、af於m、k，取ef的中點h，
連線oh、mh、ec
∵eh=fh
∴oh⊥ef，∴∠pho=90°
又pc⊥oc，∴∠poc=90°
∴p、c、h、o四點共圓
∴∠hco=∠hpo
又ek∥bd，∴∠hpo=∠hek
∴∠hcm=∠hem
∴h、c、e、m四點共圓
∴∠ecm=∠ehm
又∠ecm=∠efa
∴∠ehm=∠efa
∴hm∥ac
∵eh=fh
經典題(四)
1、已知：△abc是正三角形，p是三角形內一點，pa＝3，pb＝4，pc＝5．
求∠apb的度數．（初二）
解：將△abp繞點b順時針方向旋轉60°得△bcq，連線pq
則△bpq是正三角形
∴∠bqp=60°，pq=pb=3
在△pqc中，pq=4，cq=ap=3，pc=5
∴△pqc是直角三角形
∴∠pqc=90°
∴∠bqc=∠bqp+∠pqc=60°+90°=150°
∴∠apb=∠bqc=150°
2、設p是平行四邊形abcd內部的一點，且∠pba＝∠pda．
求證：∠pab＝∠pcb．（初二）
證明：過點p作ad的平行線，過點a作pd的平行線，
兩平行線相交於點e，連線be
∵pe∥ad，ae∥pd
∴adpe是平行四邊形
∴pe=ad，
又abcd是平行四邊形
∴ad=bc
∴pe=bc
又pe∥ad，ad∥bc
∴pe∥bc
∴bcpe是平行四邊形
∴∠bep=∠pcb
∵adpe是平行四邊形
∴∠adp=∠aep
3、設abcd為圓內接凸四邊形，求證：ab·cd＋ad·bc＝ac·bd．（初三）
證明：在bd上去一點e，使∠bce=∠acd
∵=∴∠cad=∠cbd
∴△bec∽△adc
∴∴ad·bc=be·ac……………………①
∵∠bce=∠acd
∴∠bce+∠ace=∠acd+∠ace
即∠bca=∠ecd
∵=,∴∠bac=∠bdc
△bac∽△edc
∴∴ab·cd=de·ac……………………②
4、平行四邊形abcd中，設e、f分別是bc、ab上的一點，ae與cf相交於p，且
ae＝cf．求證：∠dpa＝∠dpc．（初二）
證明：過點d作dg⊥ae於g，作dh⊥fc於h，連線df、de
∴s△ade=ae·dg，s△fdc=fc·dh
又s△ade= s△fdc=s□abcd
∴ae·dg=fc·dh
又ae=cf
∴dg=dh
∴點d在∠apc的角平分線上
∴∠dpa＝∠dpc
經典題（五）
1、設p是邊長為1的正△abc內任一點，l＝pa＋pb＋pc， 求證：≤l＜2．
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