14、如何做幾何證明題
【知識精讀】
1. 幾何證明是平面幾何中的乙個重要問題，它對培養學生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本型別：
一是平面圖形的數量關係；二是有關平面圖形的位置關係。這兩類問題常常可以相互轉化，如證明平行關係可轉化為證明角等或角互補的問題。
2. 掌握分析、證明幾何問題的常用方法：
（1）綜合法（由因導果），從已知條件出發，通過有關定義、定理、公理的應用，逐步向前推進，直到問題的解決；
（2）分析法（執果索因）從命題的結論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然後再把所需的條件看成要證的結論繼續推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實為止；
（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合併使用，比較起來，分析法利於思考，綜合法易於表達，因此，在實際思考問題時，可合併使用，靈活處理，以利於縮短題設與結論的距離，最後達到證明目的。
3. 掌握構造基本圖形的方法：複雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善於將複雜圖形分解成基本圖形。
在更多時候需要構造基本圖形，在構造基本圖形時往往需要新增輔助線，以達到集中條件、轉化問題的目的。
【分類解析】
1、證明線段相等或角相等
兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關係。很多其它問題最後都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質，其它如線段中垂線的性質、角平分線的性質、等腰三角形的判定與性質等也經常用到。
例1. 已知：如圖1所示，中，。
求證：de＝df
分析：由是等腰直角三角形可知，，由d是ab中點，可考慮鏈結cd，易得，。從而不難發現
證明：鏈結cd
說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應該鏈結cd，因為cd既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。
本題亦可延長ed到g，使dg＝de，鏈結bg，證是等腰直角三角形。有興趣的同學不妨一試。
例2. 已知：如圖2所示，ab＝cd，ad＝bc，ae＝cf。
求證：∠e＝∠f
證明：鏈結ac
在和中，
在和中，
說明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，製造全等三角形，這時應注意：
（1）製造的全等三角形應分別包括求證中一量；
（2）添輔助線能夠直接得到的兩個全等三角形。
2、證明直線平行或垂直
在兩條直線的位置關係中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內錯角或同旁內角的關係來證，也可通過邊對應成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉化為證乙個角等於90°，或利用兩個銳角互餘，或等腰三角形「三線合一」來證。
例3. 如圖3所示，設bp、cq是的內角平分線，ah、ak分別為a到bp、cq的垂線。
求證：kh∥bc
分析：由已知，bh平分∠abc，又bh⊥ah，延長ah交bc於n，則ba＝bn，ah＝hn。同理，延長ak交bc於m，則ca＝cm，ak＝km。
從而由三角形的中位線定理，知kh∥bc。
證明：延長ah交bc於n，延長ak交bc於m
∵bh平分∠abc
又bh⊥ah
bh＝bh
同理，ca＝cm，ak＝km
是的中位線
即kh//bc
說明：當乙個三角形**現角平分線、中線或高線重合時，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把乙個直角三角形沿一條直角邊翻摺（軸對稱）而成乙個等腰三角形。
例4. 已知：如圖4所示，ab＝ac，。
求證：fd⊥ed
證明一：鏈結ad
在和中，
說明：有等腰三角形條件時，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。
證明二：如圖5所示，延長ed到m，使dm＝ed，鏈結fe，fm，bm
說明：證明兩直線垂直的方法如下：
（1）首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，見本題證二。
（2）找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個銳角互餘。
（3）證明二直線的夾角等於90°。
3、證明一線段和的問題
（一）在較長線段上擷取一線段等一較**段，證明其餘部分等於另一較**段。（截長法）
例5. 已知：如圖6所示在中，，∠bac、∠bca的角平分線ad、ce相交於o。
求證：ac＝ae＋cd
分析：在ac上擷取af＝ae。易知，。由，知。，得：
證明：在ac上擷取af＝ae
又即（二）延長一較**段，使延長部分等於另一較**段，則兩較**段成為一條線段，證明該線段等於較長線段。（補短法）
例6. 已知：如圖7所示，正方形abcd中，f在dc上，e在bc上，。
求證：ef＝be＋df
分析：此題若仿照例1，將會遇到困難，不易利用正方形這一條件。不妨延長cb至g，使bg＝df。
證明：延長cb至g，使bg＝df
在正方形abcd中，
又即∠gae＝∠fae
4、中考題：
如圖8所示，已知為等邊三角形，延長bc到d，延長ba到e，並且使ae＝bd，鏈結ce、de。
求證：ec＝ed
證明：作df//ac交be於f
是正三角形
是正三角形
又ae＝bd
即ef＝ac
題型展示：
證明幾何不等式：
例題：已知：如圖9所示，。
求證：證明一：延長ac到e，使ae＝ab，鏈結de
在和中，
證明二：如圖10所示，在ab上擷取af＝ac，鏈結df
則易證說明：在有角平分線條件時，常以角平分線為軸翻摺構造全等三角形，這是常用輔助線。
【實戰模擬】
1. 已知：如圖11所示，中，，d是ab上一點，de⊥cd於d，交bc於e，且有。求證：
2. 已知：如圖12所示，在中，，cd是∠c的平分線。
求證：bc＝ac＋ad
3. 已知：如圖13所示，過的頂點a，在∠a內任引一射線，過b、c作此射線的垂線bp和cq。設m為bc的中點。
求證：mp＝mq
4. 中，於d，求證：
【試題答案】
1. 證明：取cd的中點f，鏈結af
又2. 分析：本題從已知和圖形上看好象比較簡單，但一時又不知如何下手，那麼在證明一條線段等於兩條線段之和時，我們經常採用「截長補短」的手法。
「截長」即將長的線段截成兩部分，證明這兩部分分別和兩條**段相等；「補短」即將一條**段延長出另一條**段之長，證明其和等於長的線段。
證明：延長ca至e，使ce＝cb，鏈結ed
在和中，
又3. 證明：延長pm交cq於r
又是斜邊上的中線
4. 取bc中點e，鏈結ae
如何做證明題 一
1.幾何證明是平面幾何中的乙個重要問題，它對培養學生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本型別 一是平面圖形的數量關係 如線段的長度或相等，角的度數或相等 二是有關平面圖形的位置關係 如線的平行或垂直 這兩類問題常常可以相互轉化，如證明平行關係可轉化為證明角等或角互補的問題。2.掌握分析 證明...
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