1. （2011安徽蕪湖，21，8分）如圖，在梯形abcd中，dc‖ab，ad=bc, bd平分過點d作，過點c作，垂足分別為e、f，連線ef，求證：為等邊三角形.
【答案】
證明:因為dc‖ab，，所以.
又因為平分，所以 ……2分
因為dc‖ab，所以，所以
所以4分
因為，所以f為bd中點，又因為，
所以……6分
由，得，
所以為等邊三角形8分
2. （2011四川南充市，21，8分）如圖，等腰梯形abcd中，ad∥bc,ad=ab=cd=2,∠c=600,m是bc的中點。
（1）求證：⊿mdc是等邊三角形；
（2）將⊿mdc繞點m旋轉，當md(即md′)與ab交於一點e,mc即mc′)同時與ad交於一點f時，點e,f和點a構成⊿aef.試**⊿aef的周長是否存在最小值。如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出⊿aef周長的最小值.
【答案】（1）證明：過點d作dp⊥bc,於點p，過點a作aq⊥bc於點q,
∵∠c=∠b=600
∴cp=bq=ab,cp+bq=ab
又∵adpq是矩形，ad=pq,故bc=2ad,
由已知，點m是bc的中點，
bm=cm=ad=ab=cd,
即⊿mdc中，cm=cd, ∠c=600,故⊿mdc是等邊三角形.
（2）解：⊿aef的周長存在最小值，理由如下：
連線am,由（1）平行四邊形abmd是菱形，⊿mab, ⊿mad和⊿mc′d′是等邊三角形，
∠bma=∠bme+∠ame=600, ∠emf=∠amf+∠ame=600
∴∠bme=∠amf）
在⊿bme與⊿amf中，bm=am, ∠ebm=∠fam=600
∴⊿bme≌⊿amf(asa)
∴be=af, me=mf,ae+af=ae+be=ab
∵∠emf=∠dmc=600 ,故⊿emf是等邊三角形，ef=mf.
∵mf的最小值為點m到ad的距離，即ef的最小值是.
⊿aef的周長=ae+af+ef=ab+ef,
⊿aef的周長的最小值為2+.
3. （2011浙江杭州，22， 10)在直角梯形abcd中，ab∥cd，∠abc＝90°，ab＝2bc＝2cd，對角線ac與bd相交於點o，線段oa，ob的中點分別為點e，f．
(1)求證：△foe≌ △doc；
(2)求sin∠oef的值；
(3)若直線ef與線段ad，bc分別相交於點g，h，求的值．
【答案】(1)證明：∵e，f分別為線段oa，ob的中點，∴ef∥ab，ab＝2ef，∵ab＝2cd，∴ef＝cd，∵ab∥cd，∴ef∥cd，∴∠oef＝∠ocd，∠ofe＝∠odc，∴△foe≌ △doc；，
(2) 在△abc中，∵∠abc＝90°，
∴，．∵ef∥ab，∴∠oef＝∠cab，∴
(3) ∵△foe≌ △doc，∴oe＝oc，∵ae＝oe，ae＝oe＝oc，∴．
∵ef∥ab，∴△ceh∽△cab，∴，∴，
∵ef＝cd，∴
，同理，∴，
∴4. （2011四川重慶，24，10分）如圖，梯形abcd中，ad∥bc，∠dcb＝45°，cd ＝2，bd⊥cd ．過點c作ce⊥ab於e，交對角線bd於f．點g為bc中點，鏈結eg、af．
(1)求eg的長；
(2)求證：cf ＝ab ＋af．
【答案】 (1) 解∵bd⊥cd，∠dcb＝45°，∴∠dbc＝∠dcb＝45°，
∴cd＝db＝2，∴cb＝＝2，
∵ce⊥ab於e，點g為bc中點，∴eg＝cb＝．
(2)證明：證法一：延長ba、cd交於點h，∵bd⊥cd，∴∠cdf＝∠bdh＝90°，
∴∠dbh＋∠h＝90°，∵ce⊥ab於e，∴∠dcf＋∠h＝90°，
∴∠dbh＝∠dcf，又cd＝bd，∠cdf＝∠bdh，∴△cdf≌△bdh(asa)，
df＝dh， cf＝ bh＝ba＋ah，∵ad∥bc，∴∠dbc＝∠adf＝45°，
∠hda＝∠dcb＝45°，∴∠adf＝∠had，又df＝dh，da＝da，
∴△adf≌△adh(sas)，∴af＝ah，
又cf＝bh＝ba＋ah ，∴cf＝ab＋af．
證法二：**段 dh上擷取ch=ca，鏈結dh．
∵bd⊥cd，be⊥ce，∴∠ebf＋∠efb＝90°，∠dcf＋∠dfc＝90°．
又∠efb=∠dfc，∴∠ebf=∠dcf．
又bd=cd，ba=ch，∴△abd≌△hcd．
∴ad=hd，∠adb=∠hdc．
又ad∥bc，∴∠adb＝∠dbc＝45°．
∴∠hdc＝45°．∴∠hdb＝∠bdc－∠hdc＝45°．
∴∠adb＝∠hdb．
又ad=hd， df=df，∴△adf≌△hdf，∴af＝hf．
∴cf＝ch＋hf=ab＋af．
5. （2011湖南益陽，21，12分）圖10是小紅設計的鑽石形商標，△abc是邊長為2的等邊三角形，四邊形acde是等腰梯形，ac∥ed，∠eac=60°，ae=1．
（1）證明：△abe≌△cbd；
（2）圖中存在多對相似三角形，請你找出一對進行證明，並求出其相似比（不新增輔助線，不找全等的相似三角形）；
（3）小紅發現am=mn=nc，請證明此結論；
（4）求線段bd的長．
【答案】⑴證明： ，，，
在． ⑵答案不唯一．如．
證明：，，
．其相似比為：．
⑶ 由（2）得，．
同理.．
作，，．
，，，．
．6. （2011廣東茂名，22，8分）如圖，在等腰△abc中,點d、e分別是兩腰ac、bc上的點，連線ae、bd相交於點o，∠1＝∠2．
(1)求證：od＝oe3分)
(2)求證：四邊形abｅd是等腰梯形3分)
(3)若ab＝3de, △dce的面積為2, 求四邊形abed的面積2分)
【答案】(1)證明：如圖，∵△abc是等腰三角形，∴ac＝bc ， ∴∠bad＝∠abe，
又∵ab＝ba、∠2＝∠1， ∴△abd≌△bae(asa)，
∴bd＝ae，又∵∠１＝∠２，∴oa＝ob，
∴bd－ob＝ae－oa，即：od＝oe．·
(2) 證明：由(1)知：od＝oe，∴∠oed＝∠ode，
∴∠oed＝－∠doe)，
同理：∠1＝－∠aob)，
又∵∠doe＝∠aob，∴∠1＝∠oed，∴de∥ab，
∵ad、be是等腰三角形兩腰所在的線段，∴ad與be不平行，
∴四邊形abed是梯形， 又由(1)知∴△abd≌△bae，∴ad＝be
∴梯形abed是等腰梯形．
(3)解：由(2)可知：de∥ab，∴△dce∽△acb，
∴，即：，
∴△acb的面積＝18，
∴四邊形abed的面積＝△acb的面積－△dce的面積＝18－2＝16 ．
7. （2011重慶市潼南,24,10分） 如圖,在直角梯形abcd中，ab∥cd,ad⊥dc,ab=bc,且ae⊥bc.
⑴ 求證：ad=ae；
⑵ 若ad=8，dc=4，求ab的長.
【答案】解：（1）連線ac1分
∵ab∥cd
∴∠acd=∠bac
∵ab=bc
∴∠acb=∠bac
∴∠acd=∠acb2分
∵ad⊥dc ae⊥bc
∴∠d=∠aec=900
∵ac=ac3分
∴△adc≌△aec4分
∴ad=ae5分
（2）由（1）知：ad=ae ，dc=ec
設ab＝x, 則be=x－4 ，ae=86分
在rt△abe中 ∠aeb=900
由勾股定理得8分
解得：x=10
∴ab=1010分
8. （2011山東棗莊，24，10分）如圖，直角梯形abcd中，ad∥bc，∠a=90°，，交ab於e，df平分∠edc交bc於f，鏈結ef．
（1）證明：；
（2）當時，求ef的長．
解：（1）過d作dg⊥bc於g．
由已知可得，四邊形abgd為正方形． …………１分
∵de⊥dc，
∴∠ade+∠edg=90°=∠gdc+∠edg，
∴∠ade=∠gdc3分
又∵∠a=∠dgc，且ad=gd，
∴△ade≌△gdc ．
∴de=dc，且ae=gc4分
在△edf和△cdf中，
∠edf=∠cdf，de=dc，df為公共邊，
∴△edf≌△cdf．
∴ef=cf6分
（2）∵tan∠ade7分
設，則，be=6－2=4.
由勾股定理，得 ．
解之，得 ， 即10分
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